2024年甘肃省武威市凉州区四坝教研联片中考模拟三模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A. 5和B. 0.25和C. 100和0.001D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是倒数．根据倒数的定义“乘积是1的两数互为倒数”解答即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
2. 一件商品售价元，利润率为，则这种商品每件的成本是（ ）元．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据售价（利润率）成本求出即可.
【详解】解:∵售价（利润率）成本，商品售价元，利润率为，
∴成本，
∴故选: C
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确掌握售价（利润率）成本是解题关键.
3. 如图，在数轴上A，B，C，D四个点所对应的数中是不等式组的解的是（ ）
A. 点A对应的数B. 点B对应的数
C. 点C对应数D. 点D对应的数
【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，然后判断即可得出答案．
【详解】解∶
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解为，
∴在数轴上B点所对应的数是不等式组的解．
故选∶B．
【点睛】本题考查了解不等式组和数轴上点的特征，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
4. 如图，在多边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和定理，用多边形的内角和减去与的差值，进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接BD
∵多边形的内角和为，
∴；
故选C．
5. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，，由等角对等边得出，，再根据计算即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
的平分线分别交边于点，
，，
，，
，，
，
故选：B．
6. 如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质．先根据，求出S与x之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得，则，
∴，
，
∴
，
∵，
∴S与x之间的函数图象为开口向上的抛物线的一段，
当时，有最小值，最小值为6，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
7. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数，方差，根据方差越小越稳定决策即可．
【详解】解：丙的平均数最大，方差最小，
丙成绩好且状态稳定，
故选：C．
8. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
连接，先求出，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
∵五边形OABCD是正五边形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵点作的切线，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质．依据题意，首先求出点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【详解】解：在反比例函数上，
．
又在反比例函数上，
．
．
结合图象，
当时，或．
故选：A．
10. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】勾股定理逆定理，得到为直角三角形，作图得到平分，，推出，三线合一，得到垂直平分，得到，过点作，利用平行线分线段成比例，进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴ ，
过点作，

则：为等腰直角三角形，
设，则：，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键的掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形．
二、填空题（共24分）
11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式、分式有意义的条件，根据二次根式、分式有意义的条件可求解x的取值范围，进而可求解．
【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，
则，解得：．
故答案为：．
12. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是___．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，先分别求出和，再根据“两直线平行，内错角相等”求出和，即可得出答案．
【详解】∵，，
∴，．
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
13. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，先解不等式组和分式方程，根据不等式组解集的情况和分式方程解的情况，求出所有整数的值，再求和即可，熟练掌握由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值是解题的关键．
【详解】解：，
解得：，
又∵关于的一元一次不等式组的解集为，
∴；
，
解得：，
又∵关于的分式方程的解是整数，
∴为整数，且．
综上所述，要满足：，为整数，且，
∴整数的值可以为：，，，，，
∴符合条件的所有整数的和，
故答案为：．
14. 某地区青少年、成年人和老年人的人数比约为3∶5∶2，现从中抽取一个样本容量为1000的样本，调查了解他们对新闻、体育、动画三类节目的喜爱情况．老年人应抽取________人．
【答案】200
【解析】
【分析】老年人抽取的人数应按照该地区的青少年、成年人和老年人的人数比来分配，故可列出式子求解.
【详解】依题意应抽取老年人人数为1000=200人.
【点睛】此题主要考查样本比例的计算，正确把握计算方法是解题的关键.
15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系．如图连接，由直角三角形的性质和旋转的性质可得，可求出，由三角形的三边关系可求解．掌握辅助线的作法及旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
在中，
∵，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，即，
∴的最小值为（此时、、共线）．
故答案为：．
16. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由三视图还原为立体图形求表面积，涉及求圆锥表面积、求圆柱表面积等，作出立体图形，如图所示，从而根据扇形面积公式、圆面积公式，将立体图形表面积表示出来即可得到答案，根据三视图还原成立体图形是解决问题的关键．
【详解】解：根据三视图，还原为立体图形，如图所示：
圆锥底面半径为，圆锥母线长为，
这个几何体的表面积是，
故答案为：．
17. 如图，抛物线的解析式为，将抛物线绕点O顺时针旋转得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是通过旋转的性质得出点坐标．
由题意可知，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形的对称轴为直线，设直线与抛物线在第一象限的交点为，把绕点顺时针旋转得到，然后解方程组求出点坐标，求出即可．
【详解】解：由题意可知，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形的对称轴为直线，
设直线与抛物线在第一象限的交点为，
把绕点顺时针旋转得到，如图所示：
联立方程组得：，
解得或，
点坐标为，
，
即，
对称性，
，
的面积为．
故答案为：．
18. 小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据得到a，b，c之间的关系，再等量代换得到a，c的关系．
本题考查与成比例线段相关的比例式的计算，根据比例相等得到等量关系是解决问题的关键．
【详解】，
，
，
，
故答案为 2．
三、解答题（共9小题，满分66分）
19. （）解方程：；
（）解不等式组：
【答案】（），；（）不等式组无解．
【解析】
【分析】（）利用因式分解法解答即可求解；
（）按照解一元一次不等式组的步骤解答即可求解；
本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：（）∵，
∴，
∴或，
∴，；
（），
由得，，
由得，，
∴不等式组无解．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质．
21. 按要求画图．

（1）将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形；
（2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形．
（3）连接，、，则的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）15
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）分别作出的对应点即可；
（3）利用割补法即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示；
【小问3详解】
解：的面积为，
故答案为：15．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查了切线判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理即可得证；
（2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：如答图，连接，

∵为直径，
∴，
即．
又∵，，
∴，
∴，
即．
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∵，，，
∴
∴，
∴．
∵，是的直径，
∴是的切线．
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
解得．
23. 如图，，，垂足分别为B，E，且，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．
（1）利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质求得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即．
∵，，．
和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
24. 下图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．（参考数据：，，，，，）
（1）求该支架的边和的长；
（2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到米）
【答案】（1）该支架的边的长为米，的长为米；
（2）支架的边的顶端到地面的距离为米．
【解析】
【分析】（）解直角三角形可求出，进而得出的长，再解直角三角形即可得到的长；
（）过点作于，过点作于，则四边形是矩形，得米，，进而得，即得，解直角三角形得到的长，即可求出的顶端到地面的距离；
本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：在中，，，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
在中，，，米，
∴米，
∴该支架的边的长为米，的长为米；
【小问2详解】
解：如图，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，
∴米，，
∴，
∴，
在中，米，
∴米，
∴支架的边的顶端到地面的距离为米．
25. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（面点社团）D（街舞社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是________；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团D（街舞社团），他俩决定各自随机选择第2个社团，请用列表法或树状图求他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率．
【答案】（1）
（2）他俩选到相同社团的概率是
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性结果数，再找到他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有4个社团，每个社团被选择的概率相同，
∴小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果数有3种，
∴他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率为．
26. 公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【小问1详解】
设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
27. 如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）
（2）最大值，
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点B作，交y轴于点F，根据，易证，再证明 ，是等腰直角三角形，求出，F0,1，根据，利用三角形相似的性质得到，进而得到，求出直线的解析式为，设点，则，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由点B，点C的坐标得出的长，原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，即原抛物线向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到新拋物线，令，求出，分为点T在x轴上方和下方两种情况，利用直角三角形的特征及解直角三角形解答即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
拋物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图，过点B作，交y轴于点F，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
在中，令，则，
或，
，
，
也是等腰直角三角形
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，，
当时，由最大值，最大值为，
取得最大值，此时；
【小问3详解】
解：存在点，使得，理由如下：
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，C0,-3，
∴，，
∴，
∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线，
，
∴，
如图，当点T在x轴下方时，延长交于点Q，过点T作轴，垂足为R，
，，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
整理得：，
解得：或（与点N重合，舍去），
；
如图，当点T在x轴上方时，过点T作轴，垂足为K，
同理得，
，，
，
，
设，则，
，即，
整理得：
解得：或（与点N重合，舍去），
；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数的最值，平移及对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数
92
98
98
91
方差
1
小宇
小江