吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

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长春市田家炳实验中学
数 学 试 题
命题人 ：高一数学组 考试时间：120分钟 满分： 150分
一、单选题
1．空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（ ）
A．8.9B．8.8C．8.7D．8.6
3．如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（ ）
A．B．4C．D．
4．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
6．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）.
A．不存在点，使得
B．点到平面的距离为
C．点到直线的距离为1
D．点在棱上，且，存在点，使得
10．下列关于各事件发生的概率判断正确的是（ ）

A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为
B．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为
11．在中，面积，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若是锐角三角形，则
C．若，则
D．若角的平分线长为，则
三、填空题
12．圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为 .
13．如图，在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正切值为 .
14．数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是 .

四、解答题
15．已知分别为三个内角的对边，且
D．已知集合，，在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为
(1)求；
(2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
16．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判.
(1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由；
(2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率.
17．某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.
(1)求；
(2)若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
(3)每户用电量不超过度的电费是0.5元/度，超出度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少的住户电费都不超过0.5元/度，则至少应为多少（为整数）？
18．在四棱台中，，平面平面，，，，.
(1)求证：平面；
(2))若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.
(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到直线距离的最大值.