吉林省通化市梅河口市第五中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在等比数列中，已知，，则（ ）
A. B. 27C. D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
详解】由题意可知公比所以，
故选：B
2. 设是可导函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的定义即可得到答案.
【详解】.
故选：C.
3. 已知由小到大排列的5个样本数据的极差是15，则的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由极差的公式求解．
【详解】由题知最小的数据是，最大的数据是23，则极差为，解得.
故选：C.
4. 若圆被直线平分，则（ ）
A -2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线经过圆心进行求解．
【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得.
故选：D.
5. 下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的性质，并结合奇函数的定义，即可判断选项.
【详解】根据二次函数和指数函数的性质可知，和不是奇函数，故AB错误；
的定义域为，且满足，所以函数是奇函数，
当x∈0,1时，，所以函数在0,1先增后减，故C错误；
的定义域为，且满足f-x=-fx，所以函数是奇函数，
并且是增函数，也是增函数，所以在0,1单调递增，故D正确.
故选：D
6. 等差数列前项和为，则（ ）
A. 44B. 48C. 52D. 56
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可
【详解】.
故选：C.
7. 双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据双曲线的离心率为，求得，即可得到双曲线的渐近线方程.
详解：由题意，双曲线的离心率为，
即，所以，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故选B.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质——渐近线方程的求解，根据双曲线的离心率，得到是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
8. 已知分别是函数的零点，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得函数与直线的交点为，与直线的交点为，而与互为反函数，则由反函数的性质可得和关于直线对称，从而得，，进而可求得答案.
【详解】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标，
则两函数图象的交点坐标为， ，
函数的零点为函数与直线的交点的横坐标，
则两函数图象的交点坐标为，，
因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称，
所以点和关于直线对称，
所以，
所以.
故选：C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为18D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性判断AB；由对称性求出，再求出最小值判断C；利用期望的性质计算判断D.
详解】随机变量，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，由，得，即，
则，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，则，D正确.
故选：ACD
10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ）
A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法
B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法
C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法
D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性.
【详解】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确；
若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B正确；
因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的，
所以共有种不同安排方法，故C正确；
添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况，
共有种不同的安排方法，故D错误.
故选：.
11. 已知函数，下列选项正确的是（ ）
A. 有最大值
B.
C. 若时，恒成立，则
D. 设为两个不相等的正数，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.
【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，
令，解得0则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
则，
所以，故B错误；
对于选项C：构建，则，
因为，且当时，恒成立，
则，解得，
若，则当时恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意
综上所述：符合题意，故C正确；
对于选项D：因为，
整理得，即，
由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，
不妨设，
构建，
因为在上恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即，
可得，
注意到在上单调递减，且，
所以，即，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得.
【详解】令，则，
于是有，所以.
故答案为：
13. 曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接计算得到，，然后使用切线的定义即可.
【详解】由，知.
所以，，故所求切线是经过点且斜率为的直线，即.
故答案为：.
14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】构造函数，证明其为奇函数且单调递增，再对不等式变形为，即，则得到，再利用导数即可得到值.
【详解】令，其定义域为为，
则，则为奇函数，
且，
因为和在上均单调递增，且恒成立，
则在上单调递增，
由得，
即，则.
令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，
故时取最小值0，
故不等式的解为.
故答案为：1.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造，再利用其单调性和奇偶性得到不等式，最后利用导数即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在数列中，已知．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和Sn．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）等式两边同除以，根据等比数列的定义可得答案；
（2）利用错位相减求和可得答案．
【小问1详解】
由题意知，，
两边同除以，得，
，
，则，
根据等比数列的定义知，是首项为3，公比为3的等比数列，
，；
【小问2详解】
由（1）知，，
，①
，②
①②，得
，
．
16. 某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为，乙产品的优质品率为23．
（1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；
（2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2），分布列见解析
【解析】
【分析】(1)根据分层抽样方法可知，甲产品具有件，乙产品具有件，从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，可得抽取的方法种类为，至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为，求出概率；
(2)由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有件优质品，有件不是优质品，乙产品中有件优质品，有件不是优质品，则的所有可能取值为,求出概率，写出分布列，计算期望.
【小问1详解】
由分层随机抽样方法知，抽取的容量为10的样本中，甲产品有件，乙产品有件，
从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为，其中至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为，
至少抽到2件乙产品的概率为．
【小问2详解】
由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有件优质品，有件不是优质品，乙产品中有件优质品，有件不是优质品，则的所有可能取值为1，2，3，4．
，，
，，
的分布列为
．
17. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，求的周长l的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角化简求解即得；（2）由正弦定理，根据边及角得， 再将周长化边为角，结合辅助角公式求解范围可得.
【小问1详解】
由正弦定理，得，
∵，，
∴，即，
又∵，则，
，则；
【小问2详解】
由（1）及正弦定理可知，，
，
，
∴，
又，，∴，
∴，
∴，即，
∴的周长l的取值范围为．
18. 已知正项数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）已知，求出.
（2）先求出，再求出新数列的通项公式，再放缩求和即可.
【小问1详解】
当时，,得，
当时，，
又，两式相减得整理得到，，又∵，∴，
∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴．
【小问2详解】
∵，
∴时，，时，，
∴
∴成立．
19. 已知函数.
（1）若方程有两解，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据题意可知构造新的函数，则求出的单调区间，确定极值，即可求得实数的取值范围；
(2)若对任意的，不等式恒成立，只需要求出最小值大于等于，对 求导可得出单调区间以及极值，在确定即可求得.
【小问1详解】
（1）由，得，即，
令，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，，当时，，
，
因方程有两解，即有两个零点，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
对任意的，不等式恒成立，
在上恒成立，
令，则，
令，则，
在上为增函数，
又，
，使得，即，
时，在上单调递减，
时，在上单调递增，
，
由，可得，
令，则，
又在上单调递增，
，
，
.
综上所述，满足条件的实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：是构造新的函数，在对新的函数求导确定函数单调性以及极值点也是最值点，把已知条件变形代入即可得到结果.1
2
3
4