江苏省泰兴中学2023-2024学年高二上学期阶段测试（三）数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰兴中学2023-2024学年高二上学期阶段测试（三）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
2．函数在处的导数是( )
A.B.C.2D.4
3．某直线运动的物体从时刻t到的位移为,那么为( )
A.从时刻t到物体的平均速度
B.从时刻t到位移的平均变化率
C.当时刻为时该物体的速度
D.该物体在t时刻的瞬时速度
4．已知圆与直线,下列选项正确的是( )
A.直线与圆相切B.直线与圆相离
C.直线与圆相交且所截弦长最短为D.直线与圆相交且所截弦长最短为4
5．函数的图象如图所示,为函数的导函数,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
6．设B是椭圆的上顶点,点P在C上,则的最大值为( )
A.B.C.D.2
7．在等比数列中,,,则( )
A.B.C.D.11
8．已知正数a,b满足（e为自然对数的底数）,则下列关系式中不正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设数列的前n项和为,关于数列,下列命题中正确的是( )
A.若,则既是等差数列又是等比数列
B.若(A,B为常数),则是等差数列
C.若,则是等比数列
D.若是等比数列,则,,也成等比数列
10．若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为( )
A.B.C.D.
11．如图,已知椭圆的左､右顶点分别是,,上顶点为,在椭圆上任取一点C,连结交直线于点P,连结交于点M(O是坐标原点),则下列结论正确的是( )
A.为定值B.
C.D.的最大值为
12．函数满足,则正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．曲线在处的切线方程为____________．
14．已知点P为椭圆上的任意一点,P到焦点的距离最大值为,最小值为,则的取值范围是___________.
15．若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是______.
四、双空题
16．已知数列满足,,则__________;数列的前20项和__________．
五、解答题
17．等差数列满足,,前n项和为.
（1）求数列的通项公式;
（2）求的最大值.
18．如图,椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于P,Q两点,且
（1）若,求椭圆的标准方程
（2）若求椭圆的离心率
19．已知函数.讨论函数的单调性.
20．已知直线l经过,且与圆相交于A、B两点．
（1）若,求直线l的斜率;
（2）若,求的取值范围．
21．设数列满足：,,且对任意的,都有．
（1）从下面两个结论中选择一个进行证明．
①数列是等差数列;
②数列是等比数列;
（2）求数列的前n项和．
22．已知函数,.
（1）求的单调区间;
（2）证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：由得,即,故准线方程为,
故选：C.
2．答案：A
解析：由,得,
所以函数在处的导数是,
故选：A.
3．答案：D
解析：根据题意,直线运动的物体,从时刻t到时,时间的变化量为,而物体的位移为,那么为该物体在t时刻的瞬时速度.故选:D.
4．答案：C
解析：由题意,圆的圆心,半径,
直线变形得,得直线过定点,
∵,所以点在圆内,∴直线与圆必相交,故A,B错;
由平面几何知识可知,当直线与过定点和圆心的直线垂直时,弦长有最小值,
此时弦长为,故C对,D错.
故选：C.
5．答案：C
解析：由图象可知,在区间,上,
在区间,上,
所以不等式的解集为.
故选：C.
6．答案：A
解析：设点,因为,,
所以,
而,所以当时,的最大值为．
故选：A．
7．答案：A
解析：设,
则
,所以.故选:A
8．答案：C
解析：由题意得,
令,,则恒成立,
所以在上单调递增,
故,
所以,B正确,
,A正确,
,D正确,
C选项,,
,
又在上单调递增,,
故,所以,
故,
设,,
则,
当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
又,故,即,当且仅当时,等号成立,
故,
则,所以,
又,故,C错误.
故选：C.
9．答案：BC
解析:对于选项A:因为,即,可知数列是等差数列,
当时,数列不是等比数列,故A错误;
对于选项B:因为,
当时,;
当时,;
可知时,符合上式,
综上所述:,
可得,所以数列是等差数列,故B正确;
对于选项C:因为,
当时,;
当时,;
可知时,符合上式,
综上所述:,
可得,所以数列是等比数列,故C正确;
对于选项D:当数列是等比数列时,取,则,
此时显然,,不是等比数列,故D错误;
故选:BC.
10．答案：CD
解析：已知，函数定义域为R，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减：
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，
若函数在区间内有最小值，
此时，
解得，
当，即时，
整理得，
解得或，
所以，
综上，满足条件m的取值范围为.
11．答案：ABC
解析：椭圆的左右顶点分别,,
因为点C在椭圆上,所以设点C的坐标为,,
对于A,,所以A正确;
对于B,因为,
所以直线为,令,得,所以点的坐标为,所以,所以,所以B正确;
对于C,因为,所以,
所以,所以C正确;
对于D,直线为,直线为,
由两直线的方程联立方程组,解得,
所以点M的坐标为,
因为,
所以
当时,
所以的最大值为错误,
故选：ABC.
12．答案：AC
解析：令,则,从而递减,
则,即,,,.
故选：AC.
13．答案：
解析：的导数为,
可得曲线在处的切线斜率为,
切点为,则切线的方程为．
故答案为：．
14．答案：
解析：因为点P到椭圆焦点的距离的最大值为,最小值为,
所以,所以,
所以,
因为,
又,所以当
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为函数在区间上单调递增,
所以在区间上函数,所以
设,,
函数在区间上单调递增,
所以只需即可.
故答案为：.
16．答案：①2②.
解析：由数列满足,,
可得,
又由,所以
因为,可得,
所以,
由,可得,所以,
所以数列表示首项为,公比为的等比数列,可得,
所以,则,
因为,适合上式,所以,
所以数列的前20项的和为：.
17．答案：（1）
（2）77
解析：（1）设首项为,公差为d,
因为等差数列满足,,
所以,解得,
所以;
（2）因为当时,,当时,,
所以的最大值为,
因为,
所以.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由椭圆的定义,,故
设椭圆的半焦距为c,由已知,
因此即
从而
故所求椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的定义,,从而由,
有
又由,知,因此,
,从而
由,知,
因此
19．答案：答案见解析
解析：（ⅰ）由已知可得,,定义域,
所以.
当时,.
当时,有,在上单调递增;
当时,有,在上单调递减.
（ⅱ）当时,,
解,
可得,或（舍去负值）,且.
解可得,或,所以在上单调递增,在上单调递增;
解可得,,所以在上单调递减.
（ⅲ）当时,在上恒成立,
所以,在上单调递增.
综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递增.
20．答案：（1）或1
（2）．
解析：（1）由题意易知圆心,半径,易知直线l存在斜率,设其方程为：,
若,则为等腰直角三角形,
所以圆心到直线的距离为或;
（2）同上,设l方程为：,圆心到l的距离为,
则易知,
,
而,
易知,
所以.
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,
又,,
,从而
因此,数列是以3为首项,2为公比的等比数列,
于是,
证明：①,
数列是等差数列,其首项为,公差为.
②由(*)可知,,
数列是等比数列,其首项为,公比为2.
（2）由①可知,即,
由②可知,即
,
,
两式相减得,
22．答案：（1）单调递减区间为,单调递增区间为
（2）证明见解析
解析：（1）的定义域为,
.
令,得,此时函数单调递增;
令,得,此时函数单调递减.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
（2）证明：令,
则.
当时,.
当时,令,则,
因为,,所以,即单调递减.
又,,
所以存在,使.
当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,
即可得.
因为,所以,
即,所以.
因为,所以,且在上单调递减,
所以,同时,可得.
因为,所以,
又因为,所以,
即.