陕西省咸阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份陕西省咸阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．数列1,3,7,13,21,…的一个通项公式为( )
A.B.C.D.
2．设数列为等比数列,若,,则数列的前6项和为( )
A.18B.16C.9D.7
3．已知直线的方程是,的方程是,则下列各图形中,可能正确的是( )
A.B.C.D.
4．双曲线的右顶点到直线的距离为,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
5．已知两条异面直线的方向向量分别是,,这两条异面直线所成的角为( )
A.B.C.D.
6．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为( )
A.10B.3C.D.
7．已知半径为3的圆C的圆心与点关于直线对称，则圆C的标准方程为( )
A.B.
C.D.
8．中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图,,,是拱骨，,,,是相等的步，相邻的拱步之比分别为，,,若,,是公差为-0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.565，则( )
二、多项选择题
9．已知数列的前n项和,则下列说法正确的有( )
A.是递减数列B.是等比数列C.D.
10．已知三条直线:直线,,不能围成一个封闭图形,则实数a的值可以是( )
A.B.1C.2D.3
11．在空间直角坐标系Oxyz中,若,,,D四点可以构成一个平行四边形,则D的坐标可以为( )
A.B.C.D.
12．新定义：如图,与直线a相离,过圆心I作直线a的垂线,垂足为H,交于P,Q两点（Q在P,H之间）,我们把点Q称为关于直线a的“近点”,把的值称为关于直线a的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点,点F是坐标平面内一点,以F为圆心,1为半径作.若与直线l相离,点是关于直线l的“近点”,且关于直线l的“秘钥数”是6,则直线l的表达式为( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．在等差数列中,若,则______________.
14．已知抛物线的焦点为F,点M在抛物线上,垂直x轴于点N,若,则____________.
15．当直线被圆截得的弦长最短时,实数___________．
16．已知椭圆的左,右焦点分别为,,O为坐标原点,若以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P,且是等边三角形,则椭圆E的离心率为____________.
四、解答题
17．已知三角形三顶点,,求：
（1）AC边上的高所在的直线方程;
（2）AB边的中线所在的直线方程.
18．已知圆锥曲线C的方程是.
（1）若C表示焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
（2）若C表示焦点在x轴上且焦距为8的双曲线,求m的值.
19．如图,在平行六面体中,,.设,,.
（1）用基底表示向量,,;
（2）证明：平面.
20．已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8
（1）求等差数列的通项公式：
（2）若，，成等比数列，求数列的前10项和.
21．如图,在直角梯形中,,,.以直线为轴,将直角梯形旋转得到直角梯形,且.
（1）求证：平面;
（2）在线段上是否存在点P,使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
22．已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1.
（1）求抛物线E的方程;
（2）直线,满足,,交E于A,C两点,交E于B,D两点.求四边形面积的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：根据题意,对于数列1,3,7,13,21,…,
有,,,,,
归纳可得: .
故选：C.
2．答案：C
解析：设等比数列 的公比为q,
则解得,
因此,数列的前6项和为 .
故选:C.
3．答案：D
解析：
4．答案：C
解析：由双曲线 的右顶点为A,点A到直线 距离为,
可得 ,解得,故 ,可得C的离心率为:.
故选:C.
5．答案：A
解析：两条异面直线的方向向量分别是,,
,
这两条异面直线所成的角满足,
这两条异面直线所成的角为.
故选:A.
6．答案：D
解析：由，得点P到平面的距离.
7．答案：C
解析：设圆心坐标为，由圆心C与点P关于直线对称，知直线CP与直线垂直，则直线CP的斜率为，所以，化简得①.又CP的中点在直线上，得，化简得②.由①②，可得，，所以圆C的标准方程为.
8．答案：B
解析：由题可知因为
所以，
又,,是公差为-0.1的等差数列，所以，
所以，
故选:B.
9．答案：ABC
解析：对于A,因为,所以,
故,则,
所以是递减数列,故A正确;
对于B,当时,,
当时,,
经检验,满足,
所以,
故当时,,所以是等比数列,故B正确;
对于C,由选项B知,故C正确;
对于D,因为,,
所以,故D错误.
故选:ABC.
10．答案：ABC
解析：若,,中有两条相互平行,或三条线过同一点都不可以围成封闭图形,
若,由两直线平行与斜率之间的关系可得;
若,由两直线平行与斜率之间的关系可得;
联立,可得,可知,的交点为,
若,,交于同一点,可得,
故选:ABC.
11．答案：ABC
解析：,,.设D的坐标为.
若四边形ABDC为平行四边形,则,则,此时D的坐标为.若四边形ABCD为平行四边形,则,则,,此时D的坐标为.
若四边形ADBC为平行四边形,则,则,此时D的坐标为.
12．答案：BD
解析：过圆心I作直线l的垂线,垂足为E,直线与的交点分别为D,N,其中点是关于直线l的“近点”,
I.若直线l与x轴垂直,则,此时,不合题意;
II.若直线l不与x轴垂直,设直线,则有：
（1）若,则,,,符合题意;
（2）若,设直线l与x轴的交点为,
因为,由,可得,结合（1）可知,,
分别过E,M作x轴垂线,垂足分别为B,A,
可知,,,
可得,则,即,解得,
可知直线l过,,
则,解得,所以直线;
综上所述：直线l的表达式为或.
故选：BD.
13．答案：52
解析：由于数列是等差数列,
则 ,得,
所以,
故答案为：52.
14．答案：4
解析：
15．答案：-1
解析：将直线,化为,
令,解得,所以直线l过定点,
又圆C的标准方程为,则圆心为,
由,则点P在圆C内,
故当时,圆心C到直线l的距离取得最大值,此时直线l被圆C截得的弦长最短,
则,解得．
故答案为：-1．
16．答案：
解析： 以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P,
,又是等边三角形,
,又 ,
,
,
椭圆E的离心率为 ,
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）AC边所在直线的斜率为,
AC边上的高所在的直线的斜率为2.
AC边上的高所在的直线方程为,即.
（2）易知AB边的中点为,则边的中线过点和.
所以AB边的中线所在直线方程为,即.
18．答案：（1）
（2）-1
解析：（1）由曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,可得,
解得,
的取值范围为.
（2）由曲线C表示焦点在x轴上的双曲线,可得,,
,即,
再由焦距为8,可得,解得,
的值-1.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）,,,
,
.
（2）证明：设,
又,
则.,
,
即,
同理可得,
又,
平面.
20．答案：（1）或
（2）105
解析：（1）设等差数列的公差为d，则，，
由题意得，解得或，
所以由等差数列通项公式可得或.
故或；
（2）当时，，，分别为-1，-4，2，不成等比数列；当时，，，分别为-1，2，-4成等比数列，满足条件.
故，
记数列的前n项和为，
.
21．答案：（1）见解析
（2）在线段上存在点P,使得直线和平面所成角的正弦值为,此时
解析：（1）证明：将直角梯形绕着旋转得到直角梯形,
故且,
故四边形为平行四边形,
,
又平面,平面,
平面.
（2）易知,,两两垂直,
以A为坐标原点,以,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,,
设,则,设,
则,解得,,故,
,,.
当时,此时P与D重合,直线和平面垂直,不符合题意;
当时,设平面的法向量为,
则令,则,,
平面的一个法向量为.
设直线和平面所成角为,
则,
解得或（舍去）,
综上,在线段上存在点P,使得直线和平面所成角的正弦值为,此时.
22．答案：（1）
（2）四边形面积的最小值为32
解析：（1）由抛物线的性质可得M到焦点的距离等于到准线的距离,
再由M到焦点F的距离比M到轴的距离大1,可得准线到y轴的距离为1,
即,可得,
抛物线E的方程为：.
（2）由（1）可得焦点,
由题意直线,的斜率均存在,且不为0,
设直线的方程为,,,
联立整理得,
可得,,
由抛物线的性质可得,
同理可得,
,
当且仅当,即时,取等号,
四边形面积的最小值为32.