安徽省六校2024届高三下学期第二次素养测试（2月）数学试卷(含答案)

这是一份安徽省六校2024届高三下学期第二次素养测试（2月）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集，集合，，则等于( )
A.B.C.D.
2．若，则( )
A.0B.1C.D.2
3．的展开式中的系数为160，则( )
A.2B.C.4D.
4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A.甲地：总体均值为3，中位数为4B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C.丙地：中位数为2，众数为3D.丁地：总体均值为2，总体方差为3
5．椭圆经过点，则其离心率( )
A.B.C.D.
6．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知等基数列的前n项和为，，且，则( )
A.B.
C.当时，取最大值D.当时，n的最小值为19
10．已知直线与圆交于点A，B，点，中点为Q，则( )
A.的最小值为B.的最大值为4
C.为定值D.存在定点M，使得为定值
11．已知函数，的定义域均为R，，，，且当时.，则( )
A.B.
C.函数关于直线对称D.方程有且只在2个实根
三、填空题
12．抛物线的焦点为F，过F的直线l与曲线C交于A，B两点，点A的横坐标为6，则______.
13．已知正方形的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心地为正方形各边的中点（如图），若P在上，且，则的最大值为______.
14．设是以定点为球心半径为r的球面，是一个固定平面，到的距离为a，.设是以点M为球心的球面，它与外切并与相切.令A为满足上述条件的球心M构成的集合.设平面与平行且在上有A中的点.设是平面与之间的距离.则的最小值为______.
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分別为a，b，c，.
（1）求角C；
（2）若，，求角C的平分线的长度.
16．如图，四棱锥的底面是菱形，点F，G分別在棱上，，，.
（1）证明：平而；
（2）落二面角大小为，求与平面所成角的正弦值.
17．（1）已知，证明：；
（2）证明：.
18．某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，.
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率.
附：，；
19．已知点，，M是四上任意一点，点关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C.
（1）水曲线C的方程；
（2）若点，，直线，过点H的直线与C交于D、E两点，直线、与直线l分别交于点P、Q.证明：的中点为定点.
参考答案
1．答案：B
解析：由，即，解得，
所以，
又，
所以.
故选:B.
2．答案：C
解析：
则，.
故选:C.
3．答案：B
解析：二项式展开式的通项为(其中且)，
令，可得，所以，解得.
故选:B.
4．答案：D
解析：因为平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，
当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，
中位数和众数也不能确定，故C不正确，
当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，所以总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7.故D正确.
故选：D.
5．答案：A
解析：将代入可得
化简可得，
又，解得或(舍去)，
故椭圆方程为，
所以，，
故，
故.
故选:A.
6．答案：A
解析：当，则，依题意可得，解得，即的取值范围是.故选:A.
7．答案：D
解析：如图：
设O为正四面体的外接球球心，为的中心，H为的中心，M为的中点，由正四面体可知平面，
因为平面，所以，
又因为棱长为8，所以
，
设正四面体外接球球心为O，则O在，则为外接球半径，由得，解得，即，
在正四面体中，易得，
，所以
则该八面体的外接球半径
所以该球形容器表面积的最小值为.故答案为:.
8．答案：A
解析：由题目条件可得:.
令，可得:，
则，即，.
令，则；
.
因为，所以，
则函数在区间上单调递增，
所以，即.
所以方程有两个不同的实数解等价于方程有两个实数解，
即函数与的图象有两个不同的交点.
因为，
令，得；令，得.
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
则.
又因为当时，;当时，.
所以，解得:.
又因为，
所以.
故选:A.
9．答案：ABD
解析：对A，，则，
由等差数列性质可得，即.
因为，若公差，则，不满足，故，则.
则，，故A正确;
对B，由A，，，故，.
则，则，
又，故，故B正确;
对C，由，可得，，故当时，取最大值，故C错误；
对D，由，
，可得.
故当时，需要满足
，故n的最小值为19，故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ACD
解析：直线，即，故直线过定点，且圆的圆心为，半径为2，
因为，故在圆C内，
对于A，当和直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，距离，此时最小，，故A正确;
对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心，
因为方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误;
对于C，设，，
则
当直线l斜率不存在时，，联立圆得，，
此时;
当直线l斜率存在时，设直线，联立圆，
得，即，
所以，
因为，
所以$
代入化简整理得：
所以为定值，故C正确;
对于D，因为中点为Q，所以，且在上，
所以，故是直角三角形，
当M为中点时，为定值，故D正确.
故选:ACD.
11．答案：AC
解析：对于A:由，可得，所以，所以，即，
所以，，得.
故为周期函数，且周期为4，
又，可得，故，
令可得，
令中的可得，
所以，A正确;
对于B:因为当时，，所以，
由得，所以，
由得，所以，又，
所以，B错误;
对于C:由，可得
故，即，，由，
可得
故，即，所以，故为奇函数，关于对称，且周期为4，又当时.，作出的图象如下:
由图可知函数关于直线对称，C正确;
对于D:方程，即，由图可知，函数的图象和的图象有3个交点，即方程有3个实根，D错误.
故选AC
12．答案：
解析：由题意可得抛物线的焦点为，由抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，则点B在第四象限，
因为点A的横坐标为6，
所以，解得，不妨设，
所以，所以直线l的方程为，
设，联立，可得，
所以，，解得，
所以.
故答案为:.
13．答案：
解析：如图，以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，，
由题意:，，，，
则，，，
由，可得
即，解得
所以
因为，则，所以当时，取得最大值1，则的最大值为.
故答案为:.
14．答案：
解析：过作的垂线，交于O.以O为原点，为面建立空间直角坐标系使得的坐标为.
则平面与之间的距离为z.当且仅当
，即，
故.
因此，当时，z取最小值.
故答案为:.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由得.
由正弦定理得，
得，
得.
因为，所以，
即，
又，所以.
（2）由余弦定理，，
可得，
又，
则
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取棱上一点H，使得，连接，，
，
，且，
，且，
，且，
又平面，平面
平面
（2）取中点O，连接，，作，垂足为K，
菱形中，，
为等边三角形，
，，，
是二面角的平面角，即，且平面
，即
又，
又平面
又，
平面
平面
分别以为，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系
则点，，，，
所以，，
设平面，，记与平面所成角大小为，
由，取
，
综上，与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
证明：（1）令，，，
则在单调递增，所以即；
令，，，
则在单调递增，所以即
所以，，所以
综上，；
（2）结合第（1）问，对任意的恒成立，
令，则，
即，，，，
.
所以.
18．答案：（1）在不同区域就餐与学生性别没有关联；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：（1）依据表中数据，，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联.
（2）设“第i天去甲餐厅用餐”，“第i天去乙餐厅用餐”，“第i天去丙餐厅用餐”，则、、两两互灰，.
根据题意得，，，，，
，，.
（ⅰ）由，结合全概率公式，得
，
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为.
（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，
则，，由全概率公式，
得
故①
同理②
③
④
由①②，，
由④，，
代入②，得：，即，
故是首项为，公比为的等比数列，
即，
所以
于是，当时
综上所述：
19．答案：（1）;
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可得，且M为的中点，
又O为的中点，
所以，且.
因为点关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线相交于点T，
由垂直平分线的性质可得，
所以，
所以由双曲线的定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的双曲线.
，，，
故曲线C的方程为
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，，，
联立方程，消去y得：，
则，
解得，且
，，①
由，得直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
所以的中点为定点.
性别
就餐区域
合计
南区
北区
男
33
10
43
女
38
7
45
合计
71
17
88
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635