第2章解直角三角形（单元测试）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

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第2章解直角三角形（单元测试）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（共30分）1．（本题3分）在中，若，则的度数为(　　)A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据非负数的性质求出与的值，进而得出与的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴．故选：D．【点睛】此题考查了非负形式：绝对值和平方、特殊角的三角函数、三角形内角和定理等知识，熟练掌握特殊角的三角函数和三角形内角和定理是解题的关键．2．（本题3分）如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在x轴上，则的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，连接，过点作于点．解直角三角形求出，结合勾股定理列式计算，再根据正弦值列式计算，即可作答．本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：连接，过点作于点，连接点坐标为，点坐标为，，，，，．， ∴的正弦值为．故选：D．3．（本题3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，按如图方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则tan∠BEF＝（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】过点E作EG⊥BC于点G，在直角△ABE中，根据勾股定理求出AE，BE，再求出BG、GF，进而即可求解．【详解】如图，过点E作EG⊥BC于点G，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8cm，AB＝DC＝4cm，设BE＝DE=λ，CF＝C′F=μ，则AE＝8﹣λ，BF＝8﹣μ；在直角△ABE中，由勾股定理得：λ2＝（8﹣λ）2+42，解得：λ＝5，∴AE＝8﹣5＝3cm，在直角△BFC′中，同理可求：μ＝3，∴BF＝8﹣3＝5cm，∵BG＝AE＝3cm，∴GF＝5﹣3＝2cm；∵GE＝AB＝4cm，∴tan∠EFG＝,∵∠BEF＝∠DEF，ED∥CF，∴∠EFG＝∠DEF=∠BEF，∴tan∠BEF＝2．故选：A．  【点睛】本题主要考查矩形中的折叠问题，掌握折叠的性质，勾股定理，平行线的性质定理以及正切三角函数的定义，是解题的关键．4．（本题3分）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，∴∠BCF+∠BFC＝90°，根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，∴∠AFE+∠BFC＝90°，∴∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理得：BF＝＝＝6，则tan∠BCF＝＝，∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．5．（本题3分）如图，从山顶望地面、两点，测得它们的俯角分别为和，已知米，点在BD上，则山高（         ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】直角△ABC与直角△ABD有公共边AB，若设AB=x，则在直角△ABC与直角△ABD就满足解直角三角形的条件，可以用x表示出BC与BD的长，根据BD-BC=CD，即可列方程求解．【详解】设AB=x米，在直角△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=x米，在直角△ABD中，∠D=30°，tanD=，∴BD==3x，∵BD-BC=CD，∴3x-x=100，得：x=50（3+1）．故选D．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的方法，解决的关键是注意到两个直角三角形有公共的边，利用公共边表示其它的量，从而把问题转化为方程问题．6．（本题3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且 sin A＝，cos B＝，则△ABC三个角的大小关系是（    ）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠C＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠C＞∠B＞∠A【答案】D【分析】因为sinA=，cosB=，所以可得∠A、∠B的值，进而求出∠C的值．【详解】∵sinA=，cosB=，∴∠A=30°，∠B=45°．∴∠C=180°-30°-45=105°．∴∠C＞∠B＞∠A．故选D．【点睛】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．7．（本题3分）如图，菱形的边长为6，对角线，相交于点O，交的延长线于E，若，则的长为（    ）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后勾股定理求出，得到，然后利用代数求出，然后利用勾股定理求解即可．此题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．【详解】∵菱形的边长为6，∴，∵∴∴∵∴∴解得∴．故选：B．8．（本题3分）图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i=：1，若大树CD的高为8米，则大坝的高为（　 　）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】作DP⊥AB、AQ⊥BC，由∠DBC=60°、CD=83求得BD==16，再根据坡度求得∠ABQ=∠EAB=∠ABD=60°，从而得PD=BDsin∠ABD=83，BP=BDcos∠ABD=8，再由∠DAP=45°知PA=PD=83，从而得到AB的长，根据AQ=ABcos∠ABQ可得答案．【详解】如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q， ∵∠DBC=60°，CD=83，∴BD===16，∵AB的坡度i=tan∠ABQ=3，∴∠ABQ=∠EAB=60°，∴∠ABD=60°，∴PD=BDsin∠ABD=16×=83，BP=BDcos∠ABD=16×=8，∵∠EAD=15°，∴∠DAP=∠BAE﹣∠EAD=45°，∴PA=PD=83，则AB=AP+BP=83+8，∴AQ=ABcos∠ABQ=（8+83）×=43+12≈19，故选B．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．9．（本题3分）用科学计算器求sin 9°的值,以下按键顺序正确的是(　　)A．sin9= B．9sin=C．sin9°'″ D．9sin°'″【答案】A【详解】根据科学计算器求三角函数值的方法，按键顺序为A.10．（本题3分）在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据菱形性质和已知条件判断△ABD为等边三角形，可得∠BAD=60°，由特殊角的三角函数值解答即可．【详解】如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．∵AB=BD，∴AB=AD=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°．∴sin∠BAD=sin60°=．故选C．【点睛】本题涉及到菱形及等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，具有一定的综合性，但难度适中．二、填空题（共18分）11．（本题3分）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是 ．【答案】【分析】设，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．【详解】设由题意得：解得经检验，是分式方程的根即为锐角故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．12．（本题3分）如图是一个可调节台灯，既可调节支点在立柱上的高度，又可调节灯杆与立柱的夹角．小张同学想知道灯芯到顶部的距离，经历了如图1的测量过程：他先将锁定，再将高度调整为，量得灯在桌面的照射直径为；继续将高度升到时，量得照射直径为．此时，小张算得为 ．若继续操作，调整大小，使光线垂直于桌面，如图2所示，已知的长为，则此时灯芯距离桌面的高度为 ．  【答案】 6 【分析】本题考查了相似三角形及解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决．本题先在图1中，根据相似三角形的性质求出的长度，然后在图2中，过点作，过点作，过点作，解，求得的长度，再结合图中相关线段间的和差关系 解，求得的长度．【详解】解：如图1所示：  由题意可知：，，则，，，，则，，设 ，灯移动前后，灯光与桌面夹角不变，，，解得：，即：，如图2所示：过点作，过点作，过点作，则有，，，，，，又，，，，，，，．故答案为：6，．13．（本题3分）若等腰三角形的两边长分别为和，则底角的正切值为 ．【答案】或【分析】已知边长6和8，故腰为6,6,8或者8,8,6两种情况讨论.【详解】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=∠α，过A作AD⊥BC于D.(1)当AB=6，BC=8时，则CD=4，在Rt△ACD中,AD为.则底角tanα==；(2)当AB=8，BC=6时，则CD=3，在Rt△ACD中,AD为.则底角tanα=.故答案为或.【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形边的讨论是解题的关键.14．（本题3分）如图，在中，若，则的值是 ．【答案】【分析】根据同角的三角函数关系式： ，=，进行计算即可．【详解】∵，sinA=，∴cosA=，∴tanA== ，故答案为【点睛】本题考查了同角的三角函数关系，熟练运用同角的三角函数关系进行求解是解题关键．15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的解析式为，点A坐标为，过A作，垂足为点；过点作轴，垂足为点；再过点作，垂足为点；再过点作轴，垂足为点，这样一直作下去，则的纵坐标为 ．【答案】【分析】根据确定，利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，确定，，确定变化规律计算即可．【详解】∵∴，∴，∵点A坐标为，∴，，∴，同理可得，故，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，规律的探索，熟练掌握直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，确定正确的变化规律是解题的关键．16．（本题3分）小明发现妈妈的耳环设计非常巧妙，如图1所示，其形状像中国数学家赵爽使用的弦图，用该弦图证明勾股定理在数学史上有着重要地位，将耳环中弦图顺时针旋转得到如图2图形，若这四个全等的直角三角形都有一个角为，且，则面积为 ；将多个弦图如图3摆放，使得顶点，，，…，，，，，…，分别在直线和x轴上，则正方形的面积是 ．【答案】 【分析】①根据特殊角的三角形函数计算出三角形的两条直角边，再根据三角形与正方形面积关系即可求出结果；②等腰直角三角形的性质即可得到三角形的两直角边，再根据正方形面积与直角三角形的面积的关系以此类推即可得到结论．【详解】解：①∵在中，，，∴，，∴，∴故答案为：②设与轴两交点分别为，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，∵轴，，∴，∴，，∴，∴同理可得：，依此类推：第四个图形为，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数，等腰直角三角形的性质，正方形的面积，三角形的面积，根据题意找出数量关系是解题的关键．三、解答题（共72分）17．（本题6分）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】先把分式进行化简，然后计算特殊角的三角函数值，再代入进行计算即可．【详解】解：原式∵∴∴把代入，则原式．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．18．（本题6分）计算∶．【答案】【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，绝对值的性质等知识的综合，实数混合法则是解题的关键．先分别算出特殊角的三角函数值，二次根式的化简，去绝对值，负整数指数幂，再根据实数的运算法则即可求解．【详解】解：原式．19．（本题8分）（1）计算： （2）已知求代数式的值．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了整式的乘法运算﹣化简求值，实数的运算．解答本题的关键是明确整式化简求值的方法以及实数运算法则．（1）先根据负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值、零指数幂的意义以及绝对值的性质化简，再根据实数混合运算的顺序计算即可；（2）根据平方差公式以及乘法分配律化简题目中的式子，然后根据，即可解答本题．【详解】（1）解：原式             ；（2）解：由得原式                        ．20．（本题8分）在某次反潜演习中，我军舰A测得离开海平面的下潜潜艇C的俯角为，位于军舰A正上方1100米的反潜飞机B测得此时潜艇C的俯角为．求潜艇C离开海平面的下潜深度．（参考数据：）  【答案】500【分析】本题考查俯角的定义、解直角三角形的应用等知识点，借助俯角构造直角三角形并解直角三角形成为解题的关键．如图：作于点D．设米，在直角中利用三角函数用x表示出，然后在直角中利用三角函数列方程求解即可．【详解】解：如图：作交延长线交于点D．设米，  ∵在直角中，，∴．∴,∵直角中，，∴，解得：．答：潜艇下潜深度是500米．21．（本题8分）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）；(2)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．【答案】(1)海里(2)海里【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键．（1）先利用等腰三角形的性质先说明与的关系，再在中利用直角三角形的边角间关系得结论；（2）先说明四边形是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论．【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，，，是等腰三角形海里，在中，，海里，海里；灯塔到轮船航线的距离为海里；（2），，、都是正北方向，四边形是矩形，海里，，在中，，海里，海里，在中，，是等腰直角三角形，海里，海里，港口与灯塔的距离为海里．22．（本题10分）已知：菱形对角线相交于点O，，点E是线段上一个动点，连接，把线段以点E为旋转中心逆时针旋转，点D的对应点F落在的延长线上．  (1)如图1，当时，①求证：；②求的值；(2)如图2，当时，求的长．【答案】(1)①见解析；②(2)【分析】（1）①由菱形的性质得出，求出，证出，由旋转的性质得出，根据可证明；②设，则，过点E作于点M，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出，则可得出答案；（2）证明，由相似三角形的性质得出，得出，设，则，解方程可求出答案．【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵线段以点E为旋转中心逆时针旋转，∴，在和中，，∴；②解：设，则，过点E作于点M，  ∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵线段以点E为旋转中心逆时针旋转，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴又∵∴，设，∴，∴，∴．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．23．（本题12分）如图，在四边形中，，，E为边上的点，为等边三角形，．(1)求证：．(2)求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后根据三角形内角和和平角的定义可即可证明结论成立；（2）过点A作交于点H，过点E作交于点F，根据证明得，根据30度角的性质求得的长，再由得到，求得和，则可求得答案．【详解】（1）∵为等边三角形，∴，∵，，又，∴，（2）过点A作交于点H，过点E作交于点F，如图，在和中，，∴，∴.∵，，∴，∵，∴．∴．∵，∴，∴，，则，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，准确理解锐角三角函数的定义和作辅助线是解题的关键．24．（本题14分）某电水壶采用的是蒸气智能感应控温，具有水沸腾后自动断电、防干烧断电的功能．如图1，将壶盖打开时，壶盖与闭合时盖面之间的夹角可抽象为，壶身侧面与底座（壶盖及底座厚度忽略不计）之间的夹角可抽象为（如图2所示）．若壶嘴及手柄部分不考虑，量得壶盖直径和底座直径分别为，，．（1）求底座周长比壶盖周长长多少；（结果保留）（2）将壶盖打开时，若量得，求壶盖最高点A距离底座所在平面的高度．（参考数据：，结果精确到）【答案】（1）底座周长比壶盖周长长cm；（2）壶盖最高点到底座所在平面的距离约为19.0 cm．【分析】（1）根据圆的周长公式计算即可；（2）如图作辅助线，求出DF＝2cm，AO＝BO＝8cm，然后分别解直角△ODF和直角△AHO，求出OF和AH即可解决问题．【详解】解：（1）∵壶盖和底座的直径分别为，，∴，即底座周长比壶盖周长长cm；（2）由题意得，四边形BCDO是等腰梯形，过点A作AE⊥CD于E，AE交BO于H，则AH⊥BO，过点O作OF⊥CD于F，∵壶盖和底座的直径分别为，，∴DF＝cm，∵，∴，∴cm，∵AO＝BO＝8cm，，∴，∴cm，易得四边形HEFO是矩形，∴HE＝OF＝11.34cm，∴AE＝AH＋HE＝7.68＋11.34≈19.0cm，即壶盖最高点到底座所在平面的距离约为19.0 cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造出直角三角形，并熟练应用三角函数是解题的关键．