青岛版（2024）2.5 解直角三角形的应用完美版教学ppt课件

这是一份青岛版（2024）2.5 解直角三角形的应用完美版教学ppt课件，文件包含253解直角三角形的应用同步练习原卷版docx、253解直角三角形的应用同步练习解析版docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共0页， 欢迎下载使用。

2.5.3解直角三角形的应用（同步练习）（解析版）一、单选题1．如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）  A．100米 B．200米 C．米 D．米【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解答本题的关键．根据山坡的坡度比，即可作答．【详解】解：∵山坡的坡度为，米．∴解得：(米)，则小明上升的高度是100米，故选：A．2．5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题．【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，在中，∵，∴，∵，∴，，在中，，∵，，∴，则，在中，，∵，，∴，则，∴，解得．故选：B．3．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（    ）（参考数据：，，）A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米【答案】B【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角与俯角问题以及坡度问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．延长、交于点G，作于H，于M，则是等腰直角三角形，得，由的坡度得，设米，则米，米，米，在中，由三角函数定义得出，解得，进而得出答案．【详解】解：如图，延长、交于点G，作于H，于M，则，米，米，，，∠，∴是等腰直角三角形，∴，∵的坡度，∴,∴，设米，则米，∴米，∴米，在中，，∴，解得：，∴米，米，∴米；故选：B．4．河堤横断面如图所示，米，迎水坡AB的坡度是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（   ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：先根据坡度的定义得到，然后利用比例的性质求出的长，根据坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比计算是关键．【详解】解：根据题意得：即故选：D．5．图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳AB与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得，，米，米，，，由的坡度为，可得，进而得到，即得，得到，过点作于，可得米，解得米，进而解可得米，即可得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，，∵的坡度为，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，过点作于，∴米，∵在中，米，，∴，∴米，∵在中，米，，∴，∴米，∴米，∴点到地面的距离为米，故选：．6．某斜坡的坡度，则它的坡角是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了坡度坡角问题，以及特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．根据坡角和坡度的概念，得，再有特殊角的三角函数值求得即可．【详解】解：设直角为，∵，∴，∴．故选：C．7．如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．  A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，则四边形是矩形，可得米，米，再分别解直角三角形求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴米，米，∵背水坡的坡度为，∴，∴米，在中，，∴米，∴米，故选：D．  8．如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ）A．2米 B．6米 C．米 D．米【答案】B【分析】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为，而不是，即可求解．【详解】解：如图所示：  由题意得：在中，，∴，∴，故选：B．9．如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，进而求出，根据梯形的面积公式求出梯形的面积，进而求出需要土石的立方数．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，∵，，∴，，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形，米，米，在中，，米，则米，在中，，米，，（米），米，维修此大坝需要土石：（立方米），故选：D．10．如图，某市准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答此类题目的关键．在中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边的长度．【详解】解：在中，，设，，则，又∵，∴，解得：，∴；故选C．二、填空题11．某水库大坝，其坡面AB的坡度 ，则斜坡AB的坡角的度数为 ．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡AB的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵ ， ∴，故答案为：．12．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为 米．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．过B作地面于C，根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．【详解】解：过B作地面于C，如图所示：，米，，在中（米），物体从A到B所经过的路程为米，故答案为：．13．农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度，背阳坡的坡脚满足，棚宽，则拱高 ．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、正弦、坡度等知识点，灵活运用正弦和坡度的知识是解题的关键．设，根据正弦和勾股定理可得，再根据坡度可得，最后根据列方程求解即可．【详解】解：设，∵,∴，解得：，∴，∵迎阳坡的坡度，∴,即，解得：，∵,∴，解得：．故答案为：3.3m14．如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米．【答案】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用.先解直角三角形，求出的长，证明三角形为等腰直角三角形，得到，据此求解即可.【详解】解：由题意，得：，，，∴在中，，∵斜面坡度为，∴，∴，∴，∵，∴；故答案为：.15．小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看山顶的角度为，则山高为 米．【答案】【分析】本题主要考查坡比，仰俯角解直角三角形的运用，掌握勾股定理，解直角三角形的计算方法是解题的关键．根据坡比设米，米，可得米，米，由题意可知，四边形为矩形，运用特殊角的三角函数可得，，再根据即可求解．【详解】解：如图所示，∵斜坡的坡度为，设米，∴米，由勾股定理得：，解得：，∴米，米，由题意可知，四边形为矩形，∴米，，在中，，则，在中，，且，，∴，解得：，∴山高（米）．三、解答题16．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．(1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度；(2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，）【答案】(1)上升的高度为6米(2)大树的高度约为24米【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形函数的相关定义和运算是解题关键．（1）作于，根据题意可得，然后利用勾股定理求解即可；（2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得，进一步可得，，然后利用三角函数求解即可．【详解】（1）解：作于，如图所示，在中，∵，∴，∵，∴，∴（米）．答：乙同学从点到点的过程中，他上升的高度为6米；（2）解：如图所示，过点作于点，∵，∴四边形为矩形，∴，，设米，在中，，∴，∴，由（1）得，∴在矩形中，，，在中，，∵，∴，解得 ，答：大树的高度约为24米．17．如图，小光为测量学校旗杆的高度，从距旗杆正前方处的点C出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，，，求旗杆的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）【答案】旗杆的高度约为【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点F，过点E作，垂足为G，根据题意可得：，，，，再根据已知易得：在中，，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【详解】解：延长交于点F，过点E作，垂足为G，由题意得：，，，，斜坡的坡度为，，在中，，，，，，，，，在中，，，，答：旗杆的高度约为．18．为了方便市民出行，市政府决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为 的改造为坡角为的，已知 ，点A，B，C，D，E，F在同一平面内．(1)求的距离(结果保留根号)．(2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为， ，若 ，求此时货车顶端E到水平线的距离．(结果精确到，参考数据： ，)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题；（1）过点作，交AB的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）延长DE交于点，根据题意可得：，，从而可得，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出的长，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：过点作，交AB的延长线于点，在中，，，，，在中，，，，的距离为；（2）解：延长DE交于点，由题意得：，，，，，，，，在中，，，，，，在中，，， (米)，此时货车顶端到水平线CD的距离DE约为．19．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，）(1)填空：_____；(2)求斜坡上点D到的距离；(3)求大树的高度（结果精确到米）．【答案】(1)61(2)点D到的距离为3米(3)大树的高度约为米【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解．（1）由坡度可求，由平行线的性质和已知条件可求；（2）过点D作于点F，利用含的直角三角形的性质进行求解；（3）D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解．【详解】（1）解：斜坡的坡度，，，，故答案为：61．（2）如图2，过点D作于点F．在中，，，．答：点D到的距离为3米．（3）过点D作于点H，则四边形是矩形．． 设，则．在中，， ．在中，．，在中，，．解得，答：大树的高度约为米．20．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．【答案】(1)；(2)电线塔的高度．【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：作于点，则四边形是矩形，，，设，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴答：电线塔的高度．