高一开学学情调研卷02（摸底考试）-【学情调研】2024年高一数学秋季开学考试（安徽专用）

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1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．多项式4ab2+16a2b2−12a3b2c的公因式是（ ）
A．4ab2cB．ab2C．4ab2D．4a3b2c
【答案】C
【分析】根据公因式的定义即可得到答案.
【详解】根据公因式的定义可得4ab2+16a2b2−12a3b2c的公因式是:4ab2,
故选：C.
2．若a与−3互为倒数，则a等于（ ）
A．13B．−13C．3D．−3
【答案】B
【分析】由倒数的定义判断．
【详解】−3的倒数是1−3=−13．
故选：B．
3．如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）
A．a＋1B．a2+1C．a2+2a+1D．a+2a+1
【答案】D
【分析】根据完全平方数的定义，比a大1的数的平方即为所求.
【详解】根据完全平方数的定义，
存在自然数m，使得m2=a，则m=a，
则与a之差最小且比a 大的一个完全平方数是(a+1)2=a+2a+1，
故选：D
4．已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+mx=5的根是（ ）
A．0，4B．1，5C．1，−5D．−1，5
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，求得m=−4，得到方程x2−4x=5，结合一元二次方程的解法，即可求解.
【详解】由抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，可得−m2×1=2，解得m=−4，
所以方程x2+mx=5，即为x2−4x=5，即x2−4x−5=(x−5)(x+1)=0，
解得x1=5,x2=−1.
故选：D．
5．若x>0，y>0，且3x−2y=−xy，则xy的值为（ ）
A．1B．49C．94D．1或49
【答案】B
【分析】等式3x−2y=−xy两边同时平方，x=y或xy=49，验证即可.
【详解】由题意知，等式3x−2y=−xy两边同时平方，
得9x2−13xy+4y2=0，即(x−y)(9x−4y)=0，
解得x=y或xy=49，
当x=y时，3x−2y=x,−xy=−x，所以与3x−2y=−xy矛盾.
所以xy=49.
故选：B
6．如果m，n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根，那么多项式2n2−mn−2m的值是（ ）
A．6B．10C．14D．16
【答案】C
【分析】由m，n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根，可得m+n=−1,mn=−4，n2+n=4，然后对2n2−mn−2m化简计算可得答案
【详解】因为m，n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根，
所以m+n=−1,mn=−4，n2+n=4，
所以2n2−mn−2m=2(4−n)−mn−2m
=8−2(m+n)−mn
=8−2×(−1)−(−4)=14，
故选：C
7．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝cx,x32B．抛物线与x轴的另一个交点在0与-1之间
C．−120，可求出c的范围，判断选项A正确；根据二次函数的图象与x的交点关于对称轴对称，可判断另一个交点的位置，从而可判断选项B；根据对称轴为x=1，可得b=−2a,结合图象x=3时的图象关系，建立不等式，可得a的范围，从而可判断选项C;根据a,c的取值范围及b=−2a,可判断选项D.
【详解】∵抛物线开口向下，∴a0；
∵直线y=−12x+c经过点A，点A在点(3,0)的右侧，
∴−12×3+c>0，∴c>32，故A正确；
∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线x=1，
且与x轴交点A在点(3,0)的右侧，
∴与x轴另一个交点在点(−1,0)的左侧，故B错误；
由图象可知，当x=3时，9a+3b+c>−32+c，
∴9a+3b>−32，∴3a>−32，∴a>−12，∴−123
【分析】直接根据Δ3.
14．如图1，是一张长方形纸片ABCD，现折叠该矩形，如图2,B,C两点恰好重合落在AD边上的点P处，若∠MPN=90∘,PM=3,PN=4，则图2中梯形MNGH的面积是 .
【答案】725/14.5
【分析】根据勾股定理以及折叠前后的图形变化的性质可以得到梯形的上底和下底以及高，进而可以求得梯形的面积.
【详解】因为∠MPN=90∘,PM=3,PN=4，所以MN=5，所以根据折叠的性质可知，BC=3+4+5=12，A=90∘，D=90∘，过点P作PQ⊥MN，如图所示：
在△PAH和△PQM中，∠PAH=∠PQM=90∘，AP=PQ，∠APH=∠MPQ=90∘，则△PAH ≅ △PQM，所以HM=PM=3，
同理可以证得△PQN≅△PDG，所以PG=PN=4，所以
HG=7，设点P到MN的距离为ℎ，则根据等面积法5ℎ=12，所以ℎ=125，梯形MNGH的面积是S=12(5+7)×125=725.
故答案为：725
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，菜苗基地每捆B种菜苗的价格是菜苗基地每捆A种菜苗的价格的54倍，用300元购买B种菜苗比购买的A种菜苗少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
(2)学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A、B两种菜苗均提供九折优惠，且购买总费用不超过1900元，求本次购买A种菜苗最少花费多少钱．
【答案】(1)20元
(2)1404元
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题中信息可得出关于x的方程，解之即可；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗100−m捆，根据题意可得出关于m的不等式，解出m的取值范围，根据m是正整数，可得出m的最小值，进而可求得本次购买A种菜苗最少花费.
【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：300x=30054x+3，
解得x=20，经检验，x=20是原方程的解，
故菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元．
（2）解：菜苗基地每捆B种菜苗的价格为54×20=25元，
设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗100−m捆，则20m+25100−m×0.9≤1900，
因为−4.5m+2250≤1900，所以，m≥7779，
因为m是正整数，所以，m最小是78，即菜苗基地购买A种菜苗至少78捆，
本次购买A种菜苗最少花费78×20×0.9=1404元，
故本次购买A种菜苗最少花费1404元．
16．（15分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D.过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)已知AB=4，AE=3，求BF的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)BF=2
【分析】（1）连接OD，AD，根据等腰三角形三线合一得BD=CD，根据三角形的中位线可得OD//AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）证明△ODF∽△AEF，再根据相似的性质计算可得．
【详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD//AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD//AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴ ODAE=OFAF，
∵AB=4，AE=3，
∴ 23=BF+2BF+4，
∴BF=2．
17．（15分）已知A1,2、B3,1．

(1)画出线段CD，使A、B刚好是CD的三等分点，C、A、B、D依次排列，请直接写出点C坐标______，点D坐标______；
(2)平移线段AB，使A的对应点A1刚好落在x轴上，B的对应点B1刚好落在y轴上，在图上画出四边形AA1B1B，并直接写出该四边形的面积为______；
(3)在（2）的条件下，若AA1交y轴于点E，直接写出线段EB1的长．
【答案】(1)−1,3，5,0
(2)作图见解析；7
(3)73
【分析】（1）根据题意画出图形可得答案，
（2）根据题意画出四边形AA1B1B，从而可求出其面积，
（3）根据平移求出点E的坐标，从而可求出EB1的长.
【详解】（1）根据题意作图如下，点C与点D即为所求作的点：
由图可知：C−1,3，D5,0
故答案为：−1,3，5,0
（2）∵点A要平移到x轴上需要向下平移2个单位长度，点B要平移到y轴上需要向左平移3个单位长度，
∴将线段AB向下平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，作图如下，四边形AA1B1B即为所求作的四边形：
如下图所示，用粗线框的面积减去四个直角三角形的面积即可求出四边形AA1B1B的面积：
∴S四边形AA1B1B=5×3−12×1×2−12×3×2−12×1×2−12×3×2=7，
故答案为：7
（3）在图上作出点E，如下图所示：
∵A1−2,0，A1,2，∴点A1向上平移2个单位，再右平移3到点A，
又∵点A1平移到y轴需要向右平移2个单位，
∴为保证点A1到点A与点A1到点E的方向一致，点A1需要在向右平移2个单位的基础上再向上平移43个单位到点E，
∴E0,43
又∵B10,−1，∴EB1=73
18．（17分）如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．
(1)试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
(2)若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．
①是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）．
【答案】(1)四边形OMPN为矩形，理由见解析
(2)①存在，8