浙江省百校起点（强基联盟）2024届高三上学期9月调研测试数学试题

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、侳位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若数列的通项公式为，则（ ）
A. 数列是首项为，公比为的等比数列
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. 数列是首项为，公比为的等比数列
D. 数列是首项为，公比为的等比数列
3. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 10C. D. 40
5. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的体积为（ ）

A. B. C. D.
6. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，直线与交于另一点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图像关于直线对称
C. D. 的图像关于点对称
10. 有一组样本数据，，…，，其中任何两个数都不相等，现在删去其中一个数据，得到一组新数据，则下列判断正确的是（ ）
A. 新数据的极差可能等于原数据的极差
B. 新数据中位数可能等于原数据的中位数
C. 若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的方差大于原数据的方差
D. 若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的分位数小于原数据的分位数
11. 已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（ ）
A. 不是奇函数
B. 既是奇函数又是偶函数
C. 是奇函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
12. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，则（ ）

A. 三棱锥的体积为
B. 点到直线的距离为
C. 二面角的正切值为
D. 三棱锥外接球球心到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为__________．
14. 在矩形中，为对角线的交点，为上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则__________．
15. 已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为__________．
16. 已知，则当取得最大值时，__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在正方体中，为的中点，，．

（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值的平方．
18. 天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处（平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为（）.
（1）设平面过且平行于地平面，点C到平面的距离为h米，求与的长（用h表示）；
（2）已知，求天门山的海拔.
19. 艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问．已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器（记为）和一个人（记为）各提出一个问题，并根据机器和人的作答来判断谁是机器，若机器能让至少一半的测试者产生误判，则机器通过本轮的图灵测试．假设每名测试者提问相互独立，且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相同，而每名测试者有的可能性会向和问同一个题．当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器被误判的可能性为，当同一名测试者提的两个问题不相同时，机器被误判的可能性为．

（1）当回答一名测试者的问题时，求机器被误判的概率；
（2）按现有设置程序，求机器通过本轮图灵测试的概率．
20. 已知为数列的前项和，，．
（1）证明：．
（2）求通项公式．
（3）若，求数列前项和．
21. 已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
（1）若，证明：直线过定点．
（2）已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极大值点，求的取值范围．