重庆市西南大附属中学2023年八年级数学第一学期期末质量检测试题【含解析】

这是一份重庆市西南大附属中学2023年八年级数学第一学期期末质量检测试题【含解析】，共19页。试卷主要包含了计算结果正确的是，下列代数式中,是分式的为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．1876年，美国总统Garfield用如图所示的两个全等的直角三角形证明了勾股定理，若图中，，，则下面结论错误的是( )
A．B．C．D．是等腰直角三角形
2．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
3．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，连接DH，则下列选项错误的是（ ）
A．△ADH是等边三角形B．NE=BC
C．∠BAE=15°D．∠MAH+∠NEH=90°
4．已知点到轴的距离为3，到轴距离为2，且在第四象限内，则点的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（2，-3）C．（3，-2）D．不能确定
5．计算（3x-1）(1-3x)结果正确的是（）
A．B．C．D．
6．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 （ ）
A．相等B．不相等C．互余或相等D．互补或相等
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣6（k＜0）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）．
A．或 B．或 C．或D．或或
9．下列方程中，不论m取何值，一定有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列代数式中,是分式的为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．数据-3、-1、0、4、5的方差是_________．
12．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是__________．
13．如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、，下列说法：①和的面积相等，②，③，④，⑤，其中一定正确的答案有______________．（只填写正确的序号）
14．张小林从镜子里看到镜子对面墙上石英钟指示的时间是2点30分，则实际时间为____．
15．如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A(2,−3),B(4,−1)．
(1)若P(p,0)是x轴上的一个动点，则△PAB的最小周长为___________
(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点，则当a=___________时，四边形ABDC的周长最短；
16．多项式因式分解为 _________
17．将一副三角板如图叠放，则图中∠AOB的度数为_____．
18．若分式有意义，则实数的取值范围是_______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
20．（6分）计算：.
21．（6分）如图，点，在的边上，，.求证：.
22．（8分）先化简，再求代数式的值，其中
23．（8分）命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：________________
求证：___________________
证明：____________________．
24．（8分）在△ABC中，高AD和BE所在直线交于点H，且BH=AC，则∠ABC=____．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；
（2）求线段DF的长．
26．（10分）如图，在中，，，平分，且，连接、
（1）求证：；
（2）求的度数
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】由全等三角形的性质可得AB=EC=a，BE=CD=b，AE=DE，∠AEB=∠EDC，可求∠AED=90°，且AE=DE，即AE=DE=4，即可判断各个选项．
【详解】解：∵△ABE≌△ECD
∴AB=EC=a，BE=CD=b，AE=DE，∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°
∴∠AEB+∠DEC=90°
∴∠AED=90°，且AE=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，AE2+DE2=AD2=32，
∴AE=4=DE，
∴AB2+BE2=AE2，
∴a2+b2=16，
故A、B、D选项正确
∵S△ADE=AE×DE=8
故C选项错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
2、A
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，再根据三角形内角和定理即可求出∠EAD的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝40°，∠C＝75°，
∴∠B＝∠D＝40°，∠E＝∠C＝75°，
∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝65°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质及三角形内角和，掌握全等三角形的性质是解题的关键.
3、B
【分析】依据折叠的性质以及正方形的性质，得到△ADH是等边三角形；依据AM=AD=AH，得到∠AHM=30°，进而得出∠BAE=15°；依据∠AHE=∠B=90°，∠AMH=∠ENH=90°，即可得到∠MAH+∠NEH=90°．
【详解】由折叠可得，MN垂直平分AD，AB=AH，
∴DH=AH=AB=AD，
∴△ADH是等边三角形，故A选项正确；
∵BE=HE＞NE，
∴BE＞BN，
∴NE=BC不成立，故B选项错误；
由折叠可得，AM=AD=AH，
∴∠AHM=30°，∠HAM=60°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠BAH=30°，
由折叠可得，∠BAE=∠BAH=15°，故C选项正确；
由折叠可得，∠AHE=∠B=90°，
又∵∠AMH=90°，
∴∠AHM+∠HAM=90°，∠AHM+∠EHN=90°，
∴∠HAM=∠EHN，
同理可得∠NEH+∠AHM，
∴∠MAH+∠NEH=90°，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得三角形ADH是一个等边三角形是解题的关键．
4、B
【分析】根据第四象限内的点的坐标第四象限（+，-），可得答案．
【详解】解：M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第四象限内，
则点M的坐标为（2，-3），
故选：B．
【点睛】
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5、C
【解析】试题解析：（3x-1）（1-3x）
=-（3x-1）（3x-1）
=-9x2+6x-1．
故选C．
6、D
【分析】作出图形，然后利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△DEH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠DEH，再分∠E是锐角和钝角两种情况讨论求解．
【详解】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AG、DH分别是△ABC和△DEF的高，且AG=DH，
在Rt△ABG和Rt△DEH中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△DEH（HL），
∴∠B=∠DEH，
∴若∠E是锐角，则∠B=∠DEF，
若∠E是钝角，则∠B+∠DEF=∠DEH+∠DEF=180°，
故这两个三角形的第三边所对的角的关系是：互补或相等．
故选D.
7、B
【分析】一次函数y＝kx+b中，k的符号决定了直线的方向，b的符号决定了直线与y轴的交点位置，据此判断即可．
【详解】∵一次函数y＝kx﹣6中，k＜0
∴直线从左往右下降
又∵常数项﹣6＜0
∴直线与y轴交于负半轴
∴直线经过第二、三、四象限
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象问题，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
8、C
【分析】根据三角形内角和为180°且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即可求解．
【详解】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且，
情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，
此时可爱角为∠A=72°，
情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴4∠C=180°，即∠C=45°，
此时可爱角为∠A=45°，
故选：C．
【点睛】
本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角相等及三角形内角和为180°．
9、B
【分析】分别计算△，再根据△与0的关系来确定方程有无实数根．
【详解】解：A，，，当时，方程无实数根，故选项错误；
B，，，不论m取何值，方程一定有实数根，故选项正确；
C，，，当时，方程无实数根，故选项错误；
D，，，当时，方程无实数根，故选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查根的判别式，解题的关键是注意分三种情况进行讨论．
10、B
【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】这个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、9.1．
【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差．
【详解】这组数据的平均数是：

方差是．
故答案为：9.1．
【点睛】
本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可．
12、
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而得出答案．
【详解】解：∵点，
∴与点P关于x轴对称的点的坐标为，
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
13、①③④⑤
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确；利用“SAS”证明③△BDF≌△CDE正确，根据全等三角形对应边相等，证明⑤正确，根据全等三角形对应角相等得∠F=∠DEF，再根据内错角相等，两直线平行可得④正确.
【详解】解：由题意得 BD=CD,点A到BD,CD的距离相等
∴△ABD和△ACD的面积相等，故①正确；
虽然已知AD为△ABC的中线，但是推不出来∠BAD和∠CAD一定相等,故②不正确；
在△BDF和△CDE中,
∴△BDF≌△CDE,故③正确；
∴CE=BF，故⑤正确；
∴∠F=∠DEF
∴BF∥CE，故④正确；
故答案为①③④⑤.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形面积相等，熟练掌握三角形判定的方法并准确识图是解题的关键.
全等三角形的判定：SSS；SAS；ASA；AAS；H.L；
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等.
14、9点1分
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案．
【详解】解：2：1时，分针竖直向下，时针指2，3之间，根据对称性可得：与9：1时的指针指向成轴对称，故实际时间是9：1．
故答案为：9点1分
【点睛】
本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
15、
【分析】（1）根据题意，设出并找到B（4，-1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），算出AB′+AB进而可得答案；
（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，-1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．
【详解】解：（1）设点B（4，-1）关于x轴的对称点是B'，可得坐标为（4，1），连接AB′，
则此时△PAB的周长最小，
∵AB′=，AB=，
∴△PAB的周长为，
故答案为：；
（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．作点F（1，-1），连接A'F．那么A'（2，3）．
设直线A'F的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线A'F的解析式为y=4x-5，
∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，
∴a=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查最短路径问题，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识．
16、x(x-10)
【分析】利用平方差公式分解因式再化简得出即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了平方差公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
17、
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
由三角形的外角的性质可知，∠AOB=∠CAO-∠B=60°-45°=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
18、
【分析】根据分式有意义的条件，即可求出x的取值范围.
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分时有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，即分母不等于0.
三、解答题(共66分)
19、BC=10；CD=1
【分析】连接BD，构建等边△ABD、直角△CDB．利用等边三角形的性质求得BD=8；然后利用勾股定理来求线段BC、CD的长度．
【详解】解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=10°．
则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=10°．
又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．
设BC=x，CD=11﹣x，由勾股定理得：x2=82+（11﹣x）2，
解得x=10，11﹣x=1
所以BC=10，CD=1．
【点睛】
本题考查勾股定理；等边三角形的判定与性质．
20、﹣1．
【分析】利用二次根式的化简、有理数的乘方和二次根式的运算进行计算即可．
【详解】原式=
=﹣1．
【点睛】
考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21、证明见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形全等的判定定理得出，最后根据三角形全等的性质即可得证．
【详解】
（等边对等角）
在和中，
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质，熟记各性质和判定定理是解题关键．
22、，．
【分析】先利用分式的基本性质对原代数式进行通分，约分，然后求出x的值，再将x的值代入到化简之后的代数式中即可．
【详解】原式=
∴原式=
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
23、见解析
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，求出，利用全等三角形的判定，证明,由全等三角形的性质即可证明．
【详解】已知：在中，，、分别是和的角平分线，
求证：.
证明：,
,
、分别是和的角平分线,
,
,
在和中
，
，
即等腰三角形两底角的角平分线相等．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质和判定定理是解题的关键．
24、45°或135°
【分析】根据题意画出三个图形，证，推出，推出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．
【详解】解：分为三种情况：
①如图1，
、是的高，
，，
，，
，
在和中
，
，
，
，
，
②如图2，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
③高和所在的直线交于点，
，
，，
，
在和中
，
，
，
，
故答案：45°或135°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．
25、（1）见解析；（2）
【分析】（1）分别作出点B与点C关于x轴的对称点，再与点A首尾顺次连接即可得．
（2）利用勾股定理进行计算可得线段DF的长．
【详解】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）由勾股定理得，线段DF的长为＝．
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，解题关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
26、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）利用等腰三角形等边对等角的性质求得，利用角平分线的定义求得，然后再利用等腰三角形等边对等角的性质求得，从而求得，使问题得证；
（2）延长到点，使得，根据SAS定理证明，从而得到，，设，则，然后利用三角形内角列方程求得α的值，从而使问题得解．
【详解】（1）∵，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）延长到点，使得，连接CE，
∵，
∴（SAS）
∴，
∴
设
∵ ∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，及三角形内角和的应用，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．