重庆市秀山县2023-2024学年八年级数学第一学期期末统考试题【含解析】

这是一份重庆市秀山县2023-2024学年八年级数学第一学期期末统考试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列运算结果正确的是，的值是，与是同类二次根式的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若分式有意义，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．且
2．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（ ）
A．14cmB．10cmC．14cm或10cmD．12cm
3．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A．​ B．​ C．​ D．​
4．八年级1班生活委员小华去为班级购买两种单价分别为8元和10元的盆栽，共有100元，若小华将100元恰好用完，共有几种购买方案（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图所示，在中，，平分，交于点D，，，DE⊥AB，则（ ）
A．B．C．D．
6．某文具超市有四种水笔销售，它们的单价分别是5元，4元，3元，1.2元．某天的水笔销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的水笔的单价的平均值是（ ）
A．4元B．4.5元C．3.2元D．3元
7．下列运算结果正确的是( )
A．＝﹣3B．(﹣)2＝2C．÷＝2D．＝±4
8．的值是（ ）
A．0B．1C．D．以上都不是
9．与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
10．某地区开展“二十四节气”标识系统设计活动，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知直线x+2y=5与直线x+y=3的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．
12．数据-3、-1、0、4、5的方差是_________．
13．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为_____cm．
14．如图，，的平分线相交于点，过点作，交于，交于，那么下列结论：①，都是等腰三角形；②；③的周长为；④．其中正确的是________．
15．如图，是的中线，，，则和的周长之差是 ．
16．已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为______________．
17．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______.
18．如图，，交于，于，若，则等于_______
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，这是由8 个同样大小的立方体组成的魔方，体积为．
（1）这个魔方的棱长为________．
（2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的周长．
20．（6分）如图，等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于，连．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求证：．
21．（6分）小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间每次总是加油，小慧的爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花元钱加油．假设某天白天油的价格为每升元，夜间油的价格为每升元．
问：（1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？
（2）谁的加油方式更合算？请你通过数学运算，给以解释说明．
22．（8分）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．
（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为： （不写证明过程）
23．（8分）设，求代数式和的值
24．（8分）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1．5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，设前一个小时的行驶速度为
（1）直接用的式子表示提速后走完剩余路程的时间为
（2）求汽车实际走完全程所花的时间．
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶()，朋友提醒他一半时间以的速度行驶,另一半时间以的速度行驶更快，你觉得谁的方案更快？请说明理由．
25．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上求作一点P，使△PAC的周长最小，并直接写出P的坐标．
26．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）作出与△ABC关于y轴对称△A1B1C1，并写出三个顶点的坐标为：A1（_____），B1（______），C1（_______）；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】∵分式有意义，
∴，
∴且，解得且.
故选D.
2、A
【解析】由等腰三角形的两边长分别为6cm和2cm，分别从若2cm为腰长，6cm为底边长与若2cm为底边长，6cm为腰长去分析求解即可求得答案．
【详解】若2cm为腰长，6cm为底边长，
∵2+2=4＜6，不能组成三角形，
∴不合题意，舍去；
若2cm为底边长，6cm为腰长，
则此三角形的周长为：2+6+6=14cm．
故选A．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用．
3、A
【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
【详解】解：连接AM，
∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM=
=
=4，
又S△AMC=MN•AC=AM•MC，
∴MN=
= ．
故选A．
【点睛】
综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
4、A
【解析】解：设购买单价为8元的盆栽x盆，购买单价为10元的盆栽y盆，根据题意可得：
8x+10y=100，当x=10，y=2，当x=5，y=6，当x=0，y=10（不合题意，舍去）．
故符合题意的有2种，故选A．
点睛：此题主要考查了二元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
5、C
【分析】根据线段的和差即可求得DC，再根据角平分线的性质即可得出DE=DC．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，平分，DE⊥AB，
∴DE=DC=6cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的性质．角平分线上的点到角两边距离相等．
6、D
【分析】首先设这天该文具超市销售的水笔共有支，然后根据题意列出关系式求解即可.
【详解】设这天该文具超市销售的水笔共有支，则其单价的平均值是
故选：D.
【点睛】
此题主要考查平均数的实际应用，熟练掌握，即可解题.
7、B
【分析】根据平方根和算术平方根的知识点进行解答得到答案．
【详解】A. ，错误；
B. （﹣）2=2，正确；
C. ，错误；
D. ，错误；
故选B.
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质与化简，仔细检查是关键.
8、B
【解析】由零指数幂的定义可知=1.
【详解】由零指数幂的定义可知=1，故选B.
【点睛】
此题主要考察零指数幂.
9、D
【分析】根据同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得答案．
【详解】解：A、=，故A错误；
B、与不是同类二次根式，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
10、D
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【详解】解：∵直线x+2y=5与直线x+y=3的交点坐标是（1，2），
∴方程组的解为
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程（组），利用数形结合思想解题是关键．
12、9.1．
【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差．
【详解】这组数据的平均数是：

方差是．
故答案为：9.1．
【点睛】
本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可．
13、1
【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可构造直角三角形用勾股定理解答．
【详解】解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x1＝31+41，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝1cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是1cm，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，并在实际问题中构造直角三角形是解答的关键.
14、①②③
【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等量代换即可判定；③根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC ，然后再判定即可；④无法判断．
【详解】解：①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形，
同理可得是等腰三角形，故①正确；
②∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF
同理：EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE,故②正确；
③∵DF=BD,EF=EC
∴的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③正确；
④无法判断BD=CE，故④错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，涉及面较广，因此灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
15、1
【分析】根据中线可得AD=CD,周长之差就是AB与BC的差,计算即可．
【详解】∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD,
∴△ABD和△CBD的周长之差就是AB与BC的差,即AB－BC=1cm,
故答案为:1．
【点睛】
本题考查三角形中线相关的计算,关键在于熟悉中线的性质．
16、
【解析】试题解析：设原来的平均速度为x千米/时，列车大提速后平均速度为x+70千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了3小时，列方程：＝＋3，
故答案为＝＋3.
17、1
【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=10°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=10°，BD=AD=6，再由10°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【详解】∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=10°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=10°，
∴BD=AD=6，
∴CD=BD=6×=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、含10°角的直角三角形、等腰三角形的判定以及角的平分线的性质．解题的关键是熟练掌握有关性质和定理．
18、1
【解析】过点P做PE⊥OB，根据角平分线的性质可得PD=PE，利用平行线的性质求得∠BCP=10°，然后利用含10°直角三角形的性质求解．
【详解】解：过点P做PE⊥OB
∵，，PE⊥OB
∴∠AOB=10°，PD=PE
又∵
∴∠PCE=∠AOB=10°
在Rt△PCE中，∠PCE=10°,PC=6
∴PE=
∴PD=1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，平行线的性质，含10°直角三角形的性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）2cm；（2）cm
【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长；
（2）根据魔方的棱长为2 cm，所以小立方体的棱长为1 cm，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的斜边长再乘4，即为阴影部分的周长．
【详解】（1）=2（cm），
故这个魔方的棱长是2cm；
（2）∵魔方的棱长为，
∴小立方体的棱长为，
阴影部分的边长为，
阴影部分的周长为cm．
【点睛】
本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意，通过证明，再由等腰三角形的性质即可得解；
（2）根据题意，在FB上截取，连接AM，通过证明，再由等边三角形的判定及性质进行证明即可得解.
【详解】（1）∵AF平分∠CAE，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）如下图，在FB上截取，连接AM．
∵，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定及等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关证明方法是解决本题的关键.
21、（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：元；小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：元；（2）小慧的爸爸的加油方式比较合算．
【分析】（1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；
（2）根据题意利用作差法进行分析比较即可.
【详解】解：（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元）
小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元）
（2），
而，，，所以
从而，即．
因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算．
【点睛】
本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键.
22、（1）见解析；（2）CD＝AD+BD，理由见解析；（3）CD＝AD+BD
【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝AD，可得结论；
（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，即可解决问题；
【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）CD＝AD+BD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴DE＝AD，
∵CD＝DE+CE，
∴CD＝AD+BD；
（3）作AH⊥CD于H．
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠DAE＝120°，AD＝AE，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD，
∴DH＝＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，
故答案为：CD＝AD+BD．
【点睛】
本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.
23、；
【分析】直接将代入，再分母有理化即可；先求得，的值，再将变形为，的形式即可求解．
【详解】；
∵，
，
∴．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识点有分母有理化、完全平方公式的应用、平方差公式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式的结构特征是解题的关键．
24、（1）；（2）小时；（3）故朋友方案会先到达
【分析】（1）根据题意即可用的式子表示提速后走完剩余路程的时间；
（2）根据题意可以列出相应的分式方程，求出x，即可求出汽车实际走完全程所花的时间；
（3）设出总路程和两种方案所用时间，作比后利用不等式的性质比较两种方案所用时间的大小．
【详解】（1）用的式子表示提速后走完剩余路程的时间为
故答案为；
（2）由题意可得，+1+=，
解得，x＝60
经检验x＝60时，1.5x≠0，
∴x＝60是原分式方程的解，
即原计划行驶的速度为60km/h．
∴汽车实际走完全程所花的时间为+1=小时；
（3）设总路程s，司机自己的方案时间为t1，朋友方案时间t2，
则t1=
∴t2= ，
∴
因为m≠n，
所以，（m＋n）2＞4mn，
所以＞1，
所以，＞1．
t1＞t2．
故朋友方案会先到达．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，注意要验根．
25、（1）详见解析；（2）图详见解析，P（0，）．
【分析】（1）根据轴对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）连接A1C交y轴于P，连接AP，则点P即为所求，再根据C（3，4），A1（-1，1），求得直线A1C解析式为y=x+，最后令x=0，求得y的值，即可得到P的坐标．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）连接A1C交y轴于P，连接AP，则点P即为所求．
根据轴对称的性质可得，A1P＝AP，
∵A1P+CP＝A1C（最短），
∴AP+PC+AC最短，即△PAC的周长最小，
∵C（3，4），A1（﹣1，1），
∴直线A1C解析式为y＝x+，
∴当x＝0时，y＝，
∴P（0，）．
【点睛】
本题主要考查了运用轴对称变换进行作图，以及待定系数法求一次函数解析式的运用，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．解题时注意：两点之间，线段最短．
26、（1）﹣1，1；﹣4，2；﹣3，4；（2）作图见解析；点P坐标为（2，0）．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，再连接A′B，与x轴的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图知，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2）C1（﹣3，4），
故答案为：﹣1，1；﹣4，2；﹣3，4；
（2）如图所示，作出点A关于x轴的对称点A′，再连接A′B，与x轴的交点即为所求点P，其坐标为（2，0）．
【点睛】
本题考查了轴对称作图、对称点的坐标特征及距离最短问题，利用对称点的坐标特征作图是关键.