最新高考数学一轮复习-第一章-集合常用逻辑用语【导学案】

这是一份最新高考数学一轮复习-第一章-集合常用逻辑用语【导学案】，共30页。
课程标准
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
4．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
[由教材回扣基础]
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2.集合间的基本关系
3.集合的三种基本运算
4.集合基本运算的性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
澄清微点·熟记结论
1．有限集的子集个数
设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集．
(1)A的子集个数是2n；
(2)A的真子集个数是2n－1；
(3)A的非空子集个数是2n－1；
(4)A的非空真子集个数是2n－2.
2．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
3．∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
[练小题巩固基础]
一、准确理解概念(判断正误)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或x＝1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、练牢教材小题
1．(新人教B版必修①P9 T4改编)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
答案：1或4
2．(新人教A版必修①P14习题1.3 T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________.
答案：{x|x≤2或x≥10} {x|2＜x＜3或7≤x＜10}
3．(新北师大版必修①P7练习T3改编)集合{x|(x－1)(x－2)(x－3)2＝0}的子集个数为________，非空真子集的个数为________．
答案：8 6
三、练清易错易混
1．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝( )
A．1 B．0或1或3
C．0或3 D．1或3
解析：选C 由B⊆A，得m＝3或m＝eq \r(m)，解m＝eq \r(m)，得m＝0或m＝1，由集合元素的互异性知m≠1.∴m＝0或m＝3.
2．(忽视空集的情形)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－1或1 D．0或1或－1
解析：选D 由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，eq \f(1,a)＝a，解得a＝±1，故a的值为±1,0.
3．(忽视集合运算中端点取舍)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：由A∪B＝A，得B⊆A，如图所示，所以m≥3.
答案：[3，＋∞)
命题视角一 集合的基本概念(自主练通)
1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：选A 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
2．如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值为( )
A．0 B．4
C．0或4 D．不能确定
解析：选C 当a＝0时，集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，由集合A中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.综上，a的值为0或4.
3．设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
解析：因为4∈A，即4∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，所以a2－3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4.若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.由a2－3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠－1.故a＝－2或a＝4.又4∉B，所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．
答案：{4}
4．设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________．
解析：由题意知9∈A.若2a－1＝9，即a＝5，此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，则集合A，B中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a＝－3.
答案：－3
[一“点”就过]
与集合元素有关问题的解题策略
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
命题视角二 集合间的基本关系
[典例] (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
[解析] (1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集的个数为23－1＝7.
(2)因为B⊆A，所以，①若B＝∅，则2m－10，a≠1)是增函数”的一个充分不必要条件是( )
A．0－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A．－1－1 D．－10的解集为R，则m>1”，
∵当m＝0时，解集不是R，∴应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ1.
∴③是真命题；
④中原命题为真，逆否命题也为真．综上，故选C.
11．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋10}，则a>1；若函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－4a2eq \f(1,2).若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a≤\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a>\f(1,2)，))即eq \f(1,2)1，n∈N*，))
所以1＋m＝2×1－1，解得m＝0.
答案：0
命题视角二 全称量词与存在量词
考法(一) 全(特)称命题的否定
[例1] (1)(2022·郑州质量预测)命题“∀x>0，eq \f(x,x－1)>0”的否定是( )
A．∃x0,0≤x≤1
C．∀x>0，eq \f(x,x－1)≤0 D．∀x0
B．∀x∉R，ex－x－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1≥0
D．∃x0∈R，ex0－x0－1>0
[解析] (1)因为eq \f(x,x－1)>0，所以x1，所以eq \f(x,x－1)>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x>0,0≤x≤1”，故选B.
(2)命题p：“∃x0∈R，ex0－x0－1≤0”的否定为“∀x∈R，ex－x－1>0”．故选A.
[答案] (1)B (2)A
[方法技巧]
全(特)称命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
考法(二) 全(特)称命题的真假判断
[例2] 已知命题p：∃x∈R，x－1≥lg x，命题q：∀x∈(0，π)，sin x＋eq \f(1,sin x)>2，则下列判断正确的是( )
A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题
C．p∨(綈q)是假命题 D．p∧(綈q)是真命题
[解析] 对于命题p，当x＝10时，x－1≥lg x成立，所以命题p是真命题；对于命题q，当x＝eq \f(π,2)时，sin x＋eq \f(1,sin x)>2不成立，所以命题q是假命题．根据复合命题真假的判断，可知p∧(綈q)是真命题，故选D.
[答案] D
[方法技巧]
判断全称命题、特称命题真假的思路

考法(三) 根据全(特)称命题的真假求参数
[例3] 已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
[解析] 当原命题为真命题时，a>0且Δ4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.
[答案] C
[方法技巧]
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
[针对训练]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2,1]
C．(1,2) D．(1，＋∞)
解析：选C p：方程x2＋ax＋1＝0无实根等价于Δ＝a2－4