高中人教B版 (2019)6.2.1 向量基本定理同步训练题

这是一份高中人教B版 (2019)6.2.1 向量基本定理同步训练题，共6页。试卷主要包含了2.1　向量基本定理，如图，向量a－b等于，))等内容，欢迎下载使用。

1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2
B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2
D．e1，e1＋e2
2．如图，向量a－b等于( )
A.－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
3．如图所示，矩形ABCD中，若 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝5e1， eq \(DC,\s\up6(→)) ＝3e2，则 eq \(OC,\s\up6(→)) 等于( )
A. eq \f(1,2) (5e1＋3e2)
B． eq \f(1,2) (5e1－3e2)
C． eq \f(1,2) (3e2＋5e1)
D． eq \f(1,2) (5e2－3e1)
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
5．设D为△ABC所在平面内一点， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(CD,\s\up6(→)) ，则( )
A． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→))
B． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
D． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
6．如图，四边形OADB是以向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b为边的平行四边形．又BM＝ eq \f(1,3) BC，CN＝ eq \f(1,3) CD，试用a，b表示 eq \(OM,\s\up6(→)) ， eq \(ON,\s\up6(→)) ， eq \(MN,\s\up6(→)) .

7．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则 eq \f(λ1,λ2) ＝ eq \f(μ1,μ2)
D.若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
8．(多选)已知a，b为非零不共线向量，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝( )
A．2 eq \r(2) B．－2 eq \r(2)
C．－8 D．8
9．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若2 eq \(PD,\s\up6(→)) ＝(1－λ) eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(CB,\s\up6(→)) ，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部
10．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
11．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
12．已知两个非零向量a和b不共线， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝2a－3b， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝a＋2b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ka＋12b.
(1)若2 eq \(OA,\s\up6(→)) －3 eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
13．如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(NC,\s\up6(→)) ， eq \(BN,\s\up6(→)) 与 eq \(CM,\s\up6(→)) 相交于点E，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b，试以a，b为基底表示 eq \(AE,\s\up6(→)) .
14．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P， eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OB,\s\up6(→)) 不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PB,\s\up6(→)) ，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝r eq \(OB,\s\up6(→)) ＋s eq \(OA,\s\up6(→)) ，求r＋s的值；
(2)如图，点P满足 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝m eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) (m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
参考答案与解析
1．答案：B
解析：因为e1和e2是两个不共线向量，所以e1和5e2、e1和e1＋e2分别是两个不共线向量，所以A、C、D均能作为基底；B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两向量是共线向量，不能作为基底．
2．答案：C
解析：不妨令a＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ，b＝ eq \(CB,\s\up6(→)) ，
则a－b＝ eq \(CA,\s\up6(→)) － eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ，
由平行四边形法则可知 eq \(BA,\s\up6(→)) ＝e1－3e2.
3．答案：A
解析： eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) ( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) (5e1＋3e2).
4．答案：A
解析：由平面向量基本定理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3.))
∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.
5．答案：A
解析：∵ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(CD,\s\up6(→)) ，∴ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3( eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) )，
即4 eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3 eq \(AD,\s\up6(→)) ，∴ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→)) .
6．解析： eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) eq \(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) ( eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,6) (a－b)，
∴ eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BM,\s\up6(→)) ＝b＋ eq \f(1,6) (a－b)＝ eq \f(1,6) a＋ eq \f(5,6) b.
∵ eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) eq \(OD,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,6) eq \(OD,\s\up6(→))
＝ eq \f(2,3) eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) ( eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(2,3) (a＋b).
eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \(ON,\s\up6(→)) － eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) (a＋b)－( eq \f(1,6) a＋ eq \f(5,6) b)＝ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,6) b.
7．答案：BC
解析：由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.
8．答案：AB
解析：∵向量8a－kb与－ka＋b共线，
∴存在实数λ，使得8a－kb＝λ(－ka＋b)，即8a－kb＝－kλa＋λb.
又∵a，b为非零不共线向量，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8＝－kλ，,－k＝λ，)) 解得k＝±2 eq \r(2) ，故选AB.
9．答案：C
解析：由2 eq \(PD,\s\up6(→)) ＝(1－λ) eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(CB,\s\up6(→)) 得
2( eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) )＝ eq \(PA,\s\up6(→)) －λ eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(CB,\s\up6(→)) ，
2 eq \(PA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(PA,\s\up6(→)) －λ eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(CB,\s\up6(→)) ，
eq \(PA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(CB,\s\up6(→)) ＝－λ eq \(PA,\s\up6(→)) .
∵边AB的中点为D，
∴ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝－λ eq \(PA,\s\up6(→)) ，
∴点P在直线AC上．
10．答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb即得λ≠4.
11．答案： eq \f(1,4)
解析：如图，分别在 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 上取点E，F，
使 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
在 eq \(BC,\s\up6(→)) 上取点G，
使 eq \(BG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→)) ，
则EG∥AC，FG∥AE，所以 eq \(AG,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AM,\s\up6(→)) ，
所以M与G重合，所以 eq \f(S△ABM,S△ABC) ＝ eq \f(BM,BC) ＝ eq \f(1,4) .
12．解析：(1)2 eq \(OA,\s\up6(→)) －3 eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，
∴2(2a－3b)－3(a＋2b)＋ka＋12b＝(1＋k)a＝0，
∵a≠0，∴k＋1＝0，∴k＝－1.
(2)∵A，B，C三点共线，∴ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ＝λ( eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )，
∴(k－1)a＋10b＝－λa＋5λb，
∵a，b不共线，
∴由平面向量基本定理得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－1＝－λ，,10＝5λ，)) 解得k＝－1.
13．解析：∵ eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) b， eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) a，
由N，E，B三点共线知存在实数λ满足 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AN,\s\up6(→)) ＋(1－λ) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) λb＋(1－λ)a.
由C，E，M三点共线知存在实数μ满足
eq \(AE,\s\up6(→)) ＝μ eq \(AM,\s\up6(→)) ＋(1－μ) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(μ,2) a＋(1－μ)b.
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－λ＝\f(μ,2)，,1－μ＝\f(λ,3)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,5)，,μ＝\f(4,5)．))
∴ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,5) a＋ eq \f(1,5) b.
14．解析：(1)因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PB,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) ( eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )＝ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ，
又因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝r eq \(OB,\s\up6(→)) ＋s eq \(OA,\s\up6(→)) ，所以r＝ eq \f(2,3) ，s＝－ eq \f(2,3) ，
所以r＋s的值为0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以 eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OP,\s\up6(→)) ＋ eq \(OA,\s\up6(→)) ，又因为 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝m eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋(m＋1) eq \(OA,\s\up6(→)) ，
依题意 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) 是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.