高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用同步达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用同步达标检测题，共7页。

1．在四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝－4a－b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5 eq \r(3) N B．5 N
C．10 N D．5 eq \r(2) N
3．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
4．一航船用5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
5．在△ABC中，已知 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) .用平面向量证明：MN∥BC且MN＝ eq \f(2,3) BC.
6．如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
7．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与 eq \(AB,\s\up6(→)) 共线的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→))
B． eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→))
C． eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(BM,\s\up6(→)) ＋ eq \(CM,\s\up6(→))
D．3 eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→))
8．(多选)在水流速度为4 eq \r(3) km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中正确的是( )
A．这艘船航行速度的大小为12 eq \r(3) km/h
B．这艘船航行速度的大小为8 eq \r(3) km/h
C．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为150°
D．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为120°
9．已知△ABC满足 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|) － eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|) ＝k eq \(BC,\s\up6(→)) (其中k是非零常数).则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
10．(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足| eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PC,\s\up6(→)) |－| eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) －2 eq \(PA,\s\up6(→)) |＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
11．已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则| eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MD,\s\up6(→)) |的取值范围为________．
12．如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.
13．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点．若 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝y eq \(AC,\s\up6(→)) ，试问： eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) 是否为定值？
参考答案与解析
1．答案：D
解析：∵ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝－4a－b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－5a－3b，∴ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝2(－4a－b)＝2 eq \(BC,\s\up6(→)) ，∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形．
2．答案：B
解析：设合力为F，由题意可知，|F1|＝|F|cs 60°＝5 N．
3．答案：D
解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝(1，2).
4．解析：如图， eq \(OA,\s\up6(→)) 表示水流速度， eq \(OB,\s\up6(→)) 表示船向垂直于对岸行驶的速度， eq \(OC,\s\up6(→)) 表示船实际速度，∠AOC＝30°，| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝5 km/h.
∵四边形OACB为矩形，| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,tan 30°) ＝ eq \f(|\(OB,\s\up6(→))|,tan 30°) ＝5 eq \r(3) km/h.
| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝ eq \f(|\(OB,\s\up6(→))|,sin 30°) ＝10 km/h.
∴水流速度为5 eq \r(3) km/h，船实际速度为10 km/h.
5．证明：∵ eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，∴ eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \(AN,\s\up6(→)) － eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ，∴MN∥BC，且MN＝ eq \f(2,3) BC.
6．证明：以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．
令| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝1，则| eq \(DC,\s\up6(→)) |＝1，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝2.
∵CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).
(1)∵ eq \(ED,\s\up6(→)) ＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，
eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
∴ eq \(ED,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ，∴DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M(0， eq \f(1,2) )，
∴ eq \(MD,\s\up6(→)) ＝(－1，1)－(0， eq \f(1,2) )＝(－1， eq \f(1,2) )，
eq \(MB,\s\up6(→)) ＝(1，0)－(0， eq \f(1,2) )＝(1，－ eq \f(1,2) ).
∵ eq \(MD,\s\up6(→)) ＝－ eq \(MB,\s\up6(→)) ，∴ eq \(MD,\s\up6(→)) ∥ eq \(MB,\s\up6(→)) .
又 eq \(MD,\s\up6(→)) 与 eq \(MB,\s\up6(→)) 有公共点M，∴D，M，B三点共线．
7．答案：C
解析：A中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AC,\s\up6(→)) ，与 eq \(AB,\s\up6(→)) 不共线；
B中， eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ，与 eq \(AB,\s\up6(→)) 不共线；
C中， eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(BM,\s\up6(→)) ＋ eq \(CM,\s\up6(→)) ＝0，与 eq \(AB,\s\up6(→)) 共线；
D中，∵ eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ).
∴3 eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(AC,\s\up6(→)) ，与 eq \(AB,\s\up6(→)) 不共线.
8．答案：BD
解析：如图所示，设 eq \(AB,\s\up6(→)) 表示水流速度， eq \(AC,\s\up6(→)) 表示船垂直于对岸行驶的速度，以 eq \(AB,\s\up6(→)) 为一边， eq \(AC,\s\up6(→)) 为一对角线作▱ABCD，则 eq \(AD,\s\up6(→)) 就是船的航行速度．
∵| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝4 eq \r(3) ，| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝12，∴| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝8 eq \r(3) ，tan ∠ACB＝ eq \f(4\r(3),12) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即这艘船航行速度的大小为8 eq \r(3) km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
9．答案：C
解析：如图，取 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|) ， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|) ，
∴| eq \(AE,\s\up6(→)) |＝| eq \(AF,\s\up6(→)) |＝1.
又∵ eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|) － eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|) ＝k eq \(BC,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \(AF,\s\up6(→)) ＝k eq \(BC,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(FE,\s\up6(→)) ＝k eq \(BC,\s\up6(→)) ，∴EF∥BC，
∴ eq \f(AE,AB) ＝ eq \f(AF,AC) ，
∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．
10．答案：AD
解析：∵P是△ABC所在平面内一点，且| eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PC,\s\up6(→)) |－| eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) －2 eq \(PA,\s\up6(→)) |＝0，
∴| eq \(CB,\s\up6(→)) |－|( eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) )＋( eq \(PC,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) )|＝0，
即| eq \(CB,\s\up6(→)) |＝| eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) |，
∴| eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) |＝| eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) |，
由向量加法减法的几何意义知四边形ABDC为矩形，
∴ eq \(AC,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AB,\s\up6(→)) ，∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．
11．答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，2\r(2)))
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) (0≤λ≤1)，
则M(λ，2λ)，
故 eq \(MD,\s\up6(→)) ＝(－λ，2－2λ)， eq \(MB,\s\up6(→)) ＝(2－λ，－2λ)，
则 eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MD,\s\up6(→)) ＝(2－2λ，2－4λ)，
| eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MD,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（2－2λ）2＋（2－4λ）2)
＝ eq \r(20（λ－\f(3,5)）2＋\f(4,5)) ，
当λ＝0时，| eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MD,\s\up6(→)) |取得最大值为2 eq \r(2) ，当λ＝ eq \f(3,5) 时，| eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MD,\s\up6(→)) |取得最小值为 eq \f(2\r(5),5) ，
∴| eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MD,\s\up6(→)) |∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，2\r(2))) .
12．解析：(1)因为 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
又因为E，F都是中点，所以
eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(EB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \(EF,\s\up6(→)) .
另外， eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(EO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OF,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(EO,\s\up6(→)) ＋2 eq \(OF,\s\up6(→)) .
设 eq \(AO,\s\up6(→)) ＝s eq \(OF,\s\up6(→)) ， eq \(CO,\s\up6(→)) ＝t eq \(OE,\s\up6(→)) ，
则有s eq \(OF,\s\up6(→)) －t eq \(OE,\s\up6(→)) ＝2 eq \(EO,\s\up6(→)) ＋2 eq \(OF,\s\up6(→)) ，即
(s－2) eq \(OF,\s\up6(→)) ＝(t－2) eq \(OE,\s\up6(→)) .
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1.
(2)证明：要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可．
由(1)可知， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ，
eq \(BO,\s\up6(→)) ＝ eq \(BF,\s\up6(→)) ＋ eq \(FO,\s\up6(→)) ＝ eq \(BF,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \(BF,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AF,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) ( eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) ( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )，
又 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )，
∴ eq \(BO,\s\up6(→)) ∥ eq \(BD,\s\up6(→)) ，
又 eq \(BO,\s\up6(→)) 与 eq \(BD,\s\up6(→)) 有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点O.
13．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜ eq \r(2) )，
则A(0，1)，P( eq \f(\r(2),2) λ， eq \f(\r(2),2) λ)，E(1， eq \f(\r(2),2) λ)，F( eq \f(\r(2),2) λ，0)，
∴ eq \(PA,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(\r(2),2) λ，1－ eq \f(\r(2),2) λ)， eq \(EF,\s\up6(→)) ＝( eq \f(\r(2),2) λ－1，－ eq \f(\r(2),2) λ)，
∴| eq \(PA,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（－\f(\r(2),2)λ）2＋（1－\f(\r(2),2)λ）2) ＝ eq \r(λ2－\r(2)λ＋1) ，
| eq \(EF,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（\f(\r(2),2)λ－1）2＋（－\f(\r(2),2)λ）2) ＝ eq \r(λ2－\r(2)λ＋1) ，
∴| eq \(PA,\s\up6(→)) |＝| eq \(EF,\s\up6(→)) |，∴PA＝EF.
14．解析：设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b，
则 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝xa， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝yb，
eq \(AG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,4) (a＋b).
所以 eq \(MG,\s\up6(→)) ＝ eq \(AG,\s\up6(→)) － eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) (a＋b)－xa
＝( eq \f(1,4) －x)a＋ eq \f(1,4) b，
eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \(AN,\s\up6(→)) － eq \(AM,\s\up6(→)) ＝yb－xa＝－xa＋yb.
因为 eq \(MG,\s\up6(→)) 与 eq \(MN,\s\up6(→)) 共线，且a，b不共线，
所以有( eq \f(1,4) －x)y＝ eq \f(1,4) (－x)，
即 eq \f(1,4) x＋ eq \f(1,4) y＝xy，
得 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝4，
所以 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) 为定值．
核心素养升级练
进阶训练第三层