高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案，共14页。
知伿概要
1.随机试验
随机事件可以在相同条件下重复进行; 试验的所有可能结果是明确可知的, 并且不止一个; 每次试验总是恰好出现这些可能结 果中的一个, 但事先不能确定出现哪一个 结果.
2.样本点和样本空间 通常情况下, 我们用 表示样本空间, 用 表示样本点.
3.事件的分类
(1) 随机事件: 是样本空间 的子集, 简称 “事件”, 只包含一个样本点的事件称为基本事件.
(2) 必然事件: 作为自身的子集, 包含了所有的样本点, 在每次试验中总有一个样 本点发生, 所以 总会发生, 我们称 为必 然事件.
(3) 不可能事件: 空集 不包含任何样本 点, 在每次试验中都不会发生, 我们称 为不 可能事件.
4.古典概型
一般地, 如果随机试验的样本空间的样 本点个数是有限的 (简称为有限性), 而且可以认为每个样本点发生的可能性是相等的 (简称为等可能性), 则将这样的随机试验称为古典概型试验, 其数学模型称为古典概率模型 (简称为古典概型).
5. 概率的性质
性质 1 : 对任意的事件 , 都有 .
性质 2 : 必然事件的概率为 1 , 不可能事 件的概率为 , 即 .
性质 3 : 如果事件 与事件 互斥, 那么
推广: 如果事件 两两 互斥, 那么事件 发生的概 率等于这 个事件分别发生的概率之和, 即
.
性质 如果事件 和事件 互为对立 事件, 那么 .
性质 5 : 如果 , 那么 .
性质 6 : 设 是一个随机试验中的两 个事件, 我们有
.
高妙思想
【例 1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1) 中国运动员将在下届奥运会上获得 首枚金牌;
(2) 三角形的两边之和大于第三边;
(3) 没有空气和水, 人类可以生存下去;
(4)下届奥运会上, 我国运动员取得的金 牌数排名第一;
(5) 无论科学技术多少发达, “永动机”都 不会出现.
解析 由题意知, (1) (4) 中事件可能发 生, 也可能不发生, 所以是随机事件.
(2) 所有三角形的两边之和都大于第三 边, 所以是必然事件.
(3) 空气和水是人类生存的必要条件, 没 有空气和水, 人类无法生存, 所以是不可能事件.
(5) 由能量守恒定律可知, 不需任何能量的“永动机”不会出现, 所以是必然事件.
点睛 判断一个事件是哪类事件的方法: 一看条件, 因为三种事件都是相对于一定条件而言的;二看结果是否发生, 一定发生的是必然事件, 不一定发生的是随机事件, 一定不发生的是不可能事件.
【例 2】同时转动如图所示的两个转盘, 记转盘甲得到的数为 , 转盘乙得到的数为 , 结果为 .
（1）写出这个试验的样本空间;
（2）求这个试验包含的样本点的总数;
（3）用集合表示下列事件:
= 1 \* GB3 ① ;
= 2 \* GB3 ② , 且 ”;
= 3 \* GB3 ③ " ".
解析 (1) , .
(2) 样本点总数为 16 .
(3) (1) “ ” 包含以下 4 个样本点: .
所以 .
(2) “ , 且 ” 包含以下 6 个样本 点: .
所以 , .
(3) “ ” 包含以下 3 个样本点: , .
所以 .
点睛 本题关键是不漏不重, 用枚举的方法去计算要求的指定事件.
【例 3】在试验 “连续抛郑一枚硬币 3 次, 观察落地后正面、反面出现的情况” 中, 设事件 表示随机事件“第一次出现正面”, 事 件 表示随机事件“3 次出现同一面”,事件 表示随机事件“至少 1 次出现正面”.
(1) 试用样本点表示事件 ,
(2)试用样本点表示事件 ,
(3) 试判断事件 与 与 与 是否为互斥事件.
解析 用 代表“出现正面”, 用 代 表“出现反面”.
, THT, TTH, TTT},
,
，
, .
(1) , ,
, THH, THT, TTH ,
.
(2) THH, THT, TTH,TTT, ,
,
(3) 因为 HHH, HHT, HTT, HTH ,
所以 与 不互斥, 与 不互斥, 与 不互斥.
变式 1:（多选)下列各组事件中是互斥事件的是（ ）
A. 一个射手进行一次射击, 命中环数大于 8 与命中环数小于 6
B. 统计一个班的数学成绩, 平均分不低 于90 分与平均分不高于 90 分
C. 播种 100 粒菜籽, 发芽 90 粒与发芽 80 粒
D. 检验某种产品, 合格率高于 与合 格率低于
解析 对于 ,一个射手进行一次射击, 命中环数大于 8 与命中环数小于 6 不可能同 时发生, 故 中两事件为互斥事件.
对于 , 设事件 为平均分不低于 90 分, 事件 为平均分不高于 90 分, 则 为平均分等于 90 分, 可能同时发生,故它们不是互斥事件.
对于 C，播种菜籽 100 粒, 发芽 90 粒与 发芽 80 粒不可能同时发生,故 中两事件为互斥事件.
对于 , 检验某种产品, 合格率高于 与合格率低于 不可能同时发生, 故 中两事件为互斥事件.
故选 ACD.
变式 2 : 抛掷一颗质地均匀的骰子, 有如 下随机事件: “点数为 ”, 其中 , “点数不大于 “点数大于 "点数大于 “点数为奇数”, “点数为偶数”. 判断下列结论是否正确.
(1) 与 互斥; (2) 为对立事 件; (3) ; (4) ;
(5) , (6) (7) ;
(8) 为对立事件; (9) .
解析 该试验的样本空间可表示为 ,
由题意知 , .
(1) , 满足 , 所以 与 互斥, 故正确.
(2) , 满足 但不满足 , 所以为互斥事件, 但不是对立事件,故错误.
根据对应的集合易得, (3) (4) (5) (9) (10)正确.
(6) , 所以 , 故 正确.
(7) , 故 , 正确.
(8) 因为 , 所以 , 为对立事件, 故正确.
点睛 互斥事件与对立事件的关系: 两 个事件 与 是互斥事件, 包括如下三种情况:
(1)若事件 发生, 则事件 就不发生;
(2)若事件 发生,则事件 就不发生;
(3)事件 都不发生. 而两个事件 是对立事件, 仅有前两种情况, 因此事件 与 是对立事件, 则 是必然事件, 但若 与 是互斥事件, 则 不一定是必然事件, 即事件 的对立事件只有一个, 而事件 的互 斥事件可以有多个.
【例 4】袋中有 6 个大小、质地完全相同 的球, 其中 4 个白球, 2 个红球, 从袋中任意取出两球, 求下列事件的概率:
(1) 事件 : 取出的两球都是白球;
(2) 事件 : 取出的两球一个是白球, 另一个是红球.
解析 设 4 个白球的编号为 , 2 个红球的编号为 5,6 . 从袋中的 6 个球中任 取 2 个球的样本空间 , 4),
, , 6) , 共有 15 个样本点.
(1) 因为 , 所以 , 从而
.
(2) 因为 , , 所以 ,
从而 .
变式 1 : 小李在做一份调查问卷, 共有 5 道题, 其中有两种题型, 一种是选择题, 共 3 道, 另一种是填空题, 共 2 道.
(1) 小李从中任选 2 道题解答, 每一次选一题 (不放回), 求所选的题不是同一种题型的概率;
(2) 小李从中任选 2 道题解答, 每一次选一题 (有放回), 求所选的题不是同一种题型的概率.
解析 将 3 道选择题依次编号为 1,2 , 道填空题依次编号为 4,5 .
(1) 从 5 道题中任选 2 道题解答, 每一次 选一题 (不放回), 则样本空间 ,
,, , 共 20 个样本点, 而且这些样本,点发 生的可能性是相等的.
设事件 为 “所选的题不是同一种题 型”, 则事件
, 共 12 个样本点, 所以
(2) 从 5 道题中任选 2 道题解答, 每一次 选一题 (有放回), 则样本空间 ,
, ,
, , 共 25 个样本点, 而且这些样本点发生的可能性是相等的.
设事件 为 “所选的题不是同一种题 型”, 由 (1) 知所选题不是同一种题型的样本点共 12 个, 所以 .
点睛 古典概型的计算一般经历三个步 骤:
(1) 算出样本空间所包含的样本点的总个 数
(2) 求出事件 所包含的样本点个数;
(3) 代入公式求出概率 .
变式 从含有 2 件正品 和 1 件次 品 的三件产品中,每次任取一件.
(1)若每次取后不放回,连续取 2 次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;
(2) 若每次取后放回,连续取 2 次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解析 (1)每次取出一个, 取后不放回地连续取两次, 其一切可能的结果组成的样本点有 6 个,
即 , . 其中小括号内左边的字 母表示第 1 次取出的产品, 右边的字母表示 第 2 次取出的产品. 总的事件个数为 6 , 而且可以认为这些样本点是等可能的.
设事件 为 “取出的两件中恰有一件次 品", 所以 ,
所 以 .从而 .
(2)有放回地连续取出两件, 其所有可能 的结果为 , , 共 9 个样本点. 由于每一件产品被取到的机会均 等, 故可以认为这些样本点的出现是等可能 的. 设事件 为 “恰有一件次品”,
则 , 所以 , 从而 .
【例 5】古代“五行”学说认为: “物质分 金、木、水、火、土五种属性,金克木，木克土， 土克水,水克火, 火克金." 从五种不同属性的物质中随机抽取两种, 则抽取的两种物质不 相克的概率
为（ ）
A. B. C. D.
解析 试验的样本空间 金木, 金 水, 金火, 金土, 木水, 木火, 木土,水火, 水土, 火土 }, 共 10 个样本点,事件 “抽取的两种物 质不相克”包含 5 个样本点, 故其概率为 . 故选 C.
变式 1: 某射击运动员在一次射击中射 中 10 环、 9 环、8 环、 7 环、7 环以下的概率分别为 . 计算这个运动员在一次射击中,
（1）射中 10 环或 9 环的概率;
（2）至少射中 7 环的概率;
（3）射中环数小于 8 环的概率.
解析 设“射中 10 环”“射中 9 环” “射中 8 环” “射中 7 环” “射中 7 环以下” 的事件分别为 , 则
(1) .
所以射中 10 环或 9 环的概率为 .
（2）因为射中 7 环以下的概率为 , 所 以由对立事件的概率公式得, 至少射中 7 环的概率为 .
(3) 事件 “射中环数小于 8 环”包含事件 “射中 7 环" 与事件 “射中 7 环以下”两个事 件, 则 (射中环数小于 8 环) .
变式 2 : 在掷骰子的游戏中, 向上的数字是 5 或 6 的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
解析 事件 “向上的数字是 5 ”与事件 “向上的数字是 6 ”为互斥事件, 且二者发生 的概率都是 , 所以 “向上的数字是 5 或 6 ” 的 概率是 . 故选 B.
点睛 回答含 “至多” “至少”等词语的概 率问题应注意以下几点:
(1)互斥事件的概率加法公式 ;
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最 少”等关键词语时, 常常考虑其反面, 通过求其反面, 然后转化为所求问题.
【例 6】联欢会上设有一个抽奖游戏. 抽 奖箱中共有 12 张纸条, 分一等奖、二等奖、三 等奖、谢谢光临四种. 从中任取一张,不中奖 的概率为 , 中二等奖或三等奖的概率为 .
(1)求任取一张, 中一等奖的概率;
(2)若中一等奖或二等奖的概率是 , 求 任取一张,中三等奖的概率.
解析 (1) 设任取一张, 抽得一等奖、二 等奖、三等奖、谢谢光临的事件分别为 , , 它们是互斥事件.
由题意得 . 由对立事件的概率公式得
,
所以任取一 张, 中一等奖的概率为 .
(2) 因为 , 又 , 所以 ,
又 , 所以 , 所以任取一张, 中三等奖的概率为 .
点睛 求复杂互斥事件概率的两种方法: (1)将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和; (2) 先求该事件的对立事件的概率, 再由 求解. 当题目涉及“至多” “至少”问题时，多考虑间接法.
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一、单选题
1.关于样本点、样本空间,下列说法错误的是（ ）
A. 样本点是构成样本空间的元素
B. 样本点是构成随机事件的元素
C. 随机事件是样本空间的子集
D. 随机事件中样本点的个数可能比样本 空间中的多
2. 易经》是中国文化的精髓,下图是易经八 卦图 (含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兄八卦)， 每一卦由三根线组成 (一表示一根阳线, 一口表示一根阴线). 从八卦中任取一卦,这 一卦的三根线中恰有 3 根阳线的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.一批产品共有 100 件,其中 5 件是次品, 95 件是合格品.从这批产品中任意抽取 5 件, 现给出以下四个事件 :
事件 : 恰有 1 件次品;事件 : 至少有 2 件次品;
事件 : 至少有 1 件次品；事件 : 至多有 1 件次品.
并给出以下结论: (1) ; (2) 是必然事件; (3) （4）
其中正确结论的序号是（ ）
A. (1)(2)B. (3) (4)C. (1)(3)D. (2)(3)
4.从装有 3 个红球和 3 个白球的口袋里任取 3 个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少 2 个白球, 都是红球B. 至少 1 个白球, 至少 1 个红球
C. 至少 2 个白球, 至多 1 个白球D. 恰好 1 个白球, 恰好 2 个红球
5.将一枚质地均匀的骰子向上抛郑 1 次. 设 事件 表示向上的一面出现奇数点, 事件 表示向上的一面出现的点数不超过 3 , 事件 表示向上的一面出现的点数不小 于 4 , 则（ ）
A. 与 是互斥而非对立事件B. 与 是对立事件
C. 与 是互斥而非对立事件D. 与 是对立事件
6.生物实验室有 5 只兔子, 只有其中 3 只测 量过某项指标, 若从这 5 只兔子中随机取 出 3 只, 则恰有 2 只测量过该指标的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.如果事件 互斥,记 分别为事件 的对立事件,那么（ ）
A. 是必然事件B. 是必然事件
C. 与 一定互斥D. 与 一定不互斥
8.某袋中有编号为 的 6 个小球 (小球除编号外完全相同), 甲先从袋中摸 出一个球, 记下编号后放回, 乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ）
A. B.C.D.
二、多选题
9.射击训练中,某运动员最近几次的环数情况如下表：
记该运动员在一次射击训练中,射中7环或8环为事件,射中9环或10环为事件,低于7环为事件.用频率估计概率的方法,得到的下述结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.某人有6把钥匙,其中把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,设第二次才能打开门的概率为,则下列结论正确的是（ ）
A.当时,B.当时,
C.当时,D.当时,
11.下列命题不正确的是（ ）
A.事件发生的概率等于事件发生的频率.
B.一个质地均匀的骰子郑一次得到3点的概率是,说明这个骨子掷6次一定会出现一次3点.
C.郑两枚质地均匀的硬币,事件为“一枚正面朝上,一枚反面朝上",事件为“两枚都是正面朝上”,则.
D.对于两个事件,若,则事件与事件互斥.
三、填空题
12.抛掷一枚质地均匀的骰子,落地后记事件为“奇数点向上”,事件为“偶数点向上”,事件为“向上的点数是2的倍数”,事件为“2点或4点向上”.则下列每对事件互斥但不对立的是 .(填序号)
(1)与; (2)与;(3)与;(4)与.
13.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设两次都击中飞机两次都没击中飞机恰有一枚炮弹击中飞机至少有一枚炮弹击中飞机,其中互为互斥事件的是 ,互为对立事件的是
14.甲、乙两人做掷骰子游戏,两人郑同一枚骰子各一次,则至少出现一个5点或6点的概率是 ;如果谁郑的点数大谁就取胜,则甲取胜的概率为
15.若随机事件互斥,发生的概率均不等于0,且分别为,,则实数的取值范围为
四、解答题
16.一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)、2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件为“第一次摸到红球”,事件为“第二次摸到红球”,事件为“两次都摸到红球”,事件为“两次都摸到绿球”,事件为“两次摸到的球颜色相同”,事件为“两次摸到的球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件与与与之间各有什么关系?
(3)事件与事件的并事件与事件有什么关系?事件与事件的交事件与事件有什么关系?
17.判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
18.为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:克),按照，分为5组,其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中的值;
(2)估计这种植物果实重量的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
（3）已知这种植物果实重量不低于克的即为优质果实.若所取样本容量40,从该样本分布在和,的果实中,随机抽取2个,求抽到的都是优质果实的概率.
19.受疫情的影响,某市一个小区505人参加某次核酸检测,根据年龄段采用分层抽样的方法从中随机抽取101人,记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员,按年龄段分为5组:,,得到如图所示频率分布直方图,其中年龄在的有20人.
(1)估计此次核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数;
(2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数;
(3)若此次核酸检测呈阳性的人中,男女比例为,从中任选2人,求至少选到一名男性的概率.
20.海关同时对从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口的此种商品的数量(单位:件)如下表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中分别来自三个地区的商品数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
21.沿某条公路行驶,从甲地到乙地一共200公里,遇到的红灯个数的概率如下表:
(1)求表中字母的值;
(2)求至少遇到4个红灯的概率;
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
22.下面的三个游戏都是在袋子中装球,然后从袋子中不放回地取球,分别计算三个游戏中甲获胜的概率.你认为哪个游戏是公平的?
名校有约
1.(多选题)4支足球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间胜率都是.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论正确的是
A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件
B.有可能出现恰有三支球队并列第一名
C.恰有两支球队并列第一名的概率为
D.只有一支球队名列第一名的概率为射击次数
射中7环或8环的次数
射中9环或10环的次数
100
55
18
地区
数量/件
50
150
100
红灯个数
0
1
2
3
4
5
6个及以上
概率
项目
游戏1
游戏2
游戏3
袋中球的数量
和颜色
1个红球和1个白球
21个红球和21个白球
31个红球和1个白球
取球规则
取1个球
依次取出2个球
依次取出2个球
获胜规则
取到红球甲胜
两个球同色甲胜
两个球同色甲胜
取到白球乙胜
两个球补同色乙胜
两个球补同色乙胜