人教版九下数学期末测试卷【C卷】（解析版）

这是一份人教版九下数学期末测试卷【C卷】（解析版），共168页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试范围：9下整册；考试时间：100分钟；命题人：书生宝剑；满分:120分

第I卷（选择题）

一、单选题(共30分)
1．(本题3分)直线与双曲线相交于点，点的纵坐标为4，的值为（ ）．
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
先把A点纵坐标代入一次函数求出A点坐标，再代入反比例函数即可得到k的值.
【详解】
先把A点纵坐标=4代入一次函数，
解得x=2，∴A（2,4）
∴k=2×4=8，
故选D.
【点睛】
此题主要考查反比例函数解析式，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式的方法.
2．(本题3分)若线段的长为，点是线段的黄金分割点，则较长的线段的长为（ ）
A．（）cmB．C．（）cmD．
【答案】A
【解析】
【分析】
较长的线段MP的长为cm，则较短的线段长是（2−）cm．根据黄金分割的定义即可列方程求解
【详解】
解：较长的线段MP的长为cm，则较短的线段长是（2−）cm．
则，
解得或（舍去）．
故答案选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，解题关键是正确理解黄金分割的定义．
3．(本题3分)下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项错误；
B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项错误；
C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项正确．
故选 D．
【点睛】
本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.
4．(本题3分)在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．1C．5D．
【答案】A
【分析】
由勾股定理求出AC，根据正弦函数的定义可得答案.
【详解】
由勾股定理得，
∴sin∠BAC=，
故选A.
【点睛】
本题考查求正弦值，熟练掌握正弦函数的定义，找到∠BAC所在的直角三角形是关键.
错因分析 容易题.失分原因是：①不能利用勾股定理求出AC的长；②正弦和余弦的计算公式混淆.
5．(本题3分)已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则csα等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据等腰直角三角形的锐角为45°求解．
解：csα=cs45°=．
故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
6．(本题3分)如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B
向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得
BC=3.2m"，CA=0.8m， 则树的高度为（ ）
A．4.8mB．6.4mC．8mD．10m
【答案】C
【详解】
解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则，即
∴x=8
故选C．
7．(本题3分)已知△ABC的三个顶点A（5，6）、B（7，2）、C（4，3），先将△ABC向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（3，1）C．（2，3）D．（3，3）
【答案】C
【解析】
分析：平移后的三角形记作△A1B1C1，连接OA1、OB1、OC1，分别取OA1、OB1、OC1的中点A′、B′、C′，△A′B′C′即为所求．
详解：△A′B′C′如图所示，由图象可知，则点A的对应点A′的坐标为（2，3）．
故选C．
点睛：本题考查了位似变换、平移变换、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，属于基础题中考常考题型．
8．(本题3分)在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把的P'(，)称为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y的图象上，若AB，则k的值为( )
A．B．C．5D．10
【答案】A
【分析】
设点A（a，-2a+1），B（b，-2b+1）（a＜b），则A'(，)，B'(，)，由AB可得出b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．
【详解】
设点A(a，﹣2a+1)，B(b，﹣2b+1)(a＜b)，则A'(，)，B'(，)．
∵AB(b﹣a)，
∴b﹣a=1，即b=a+1．
∵点A'，B'均在反比例函数y的图象上，
∴k••，
解得：k．
故选：A．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．
9．(本题3分)如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，CE、BA的延长线交于点F，下列结论错误的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
因为，四边形ABCD是平行四边形，所以，AB∥CD,AD∥BC,由平行线分线段成比例性质定理逐个分析可得答案.
【详解】
因为，四边形ABCD是平行四边形，
所以，AB∥CD,AD∥BC,
所以，，，,;
所以，选项C错误.
故选C
【点睛】
本题考核知识点：平行线分线段成比例性质定理. 解题关键点：理解平行线分线段成比例性质定理.
10．(本题3分)如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC．则△ABC的周长为( ).
A．35B．40C．81D．84
【答案】D
【分析】
首先设BC=a，AC=b，由勾股定理与正方形的性质，可得：a2+b2=352，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab，解方程组即可求得．
【详解】
解：如图，设BC=a，AC=b，
则a2+b2=352=1225．①
又Rt△AFE∽Rt△ACB，
所以，即，
故12（a+b）=ab．②
由①②得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），
解得a+b=49（另一个解-25舍去），
所以a+b+c=49+35=84．
故答案为D．
【点睛】
考核知识点：相似三角形 判定和性质.

第II卷（非选择题）

二、填空题(共40分)
11．(本题4分)若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30cm，则宽为_____cm．（结果保留根号）
【答案】15﹣15
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义即可进行计算.
【详解】
解：根据题意得：
这本书的宽＝30×＝（15﹣15）cm．
故答案为：15﹣15．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
12．(本题4分)已知在△ABC中，AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，sinA＝_____．
【答案】
【分析】
先利用勾股定理可得BC＝5，再根据三角函数的定义求解可得．
【详解】
解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝5，
则sinA＝＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义．
13．(本题4分)如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm）可求得这个几何体的体积为_______
【答案】
【详解】
试题分析：根据几何体的三视图的特征结合长方体的体积公式即可求得结果.
由图可得这个几何体的体积
考点：几何体的三视图，长方体的体积公式
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握几何体的三视图，即可完成.
14．(本题4分)如图所示，已知点A坐标为(5，0)，直线y＝x＋b（b＞0)与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为________．
【答案】
【分析】
先求出直线y＝x＋b求出与x轴的夹角（∠1）的度数，再利用外角的性质求出∠BAO的度数，利用锐角三角函数求出OB即可求出B点坐标，代入一次函数关系式即可.
【详解】
解：∵直线y＝x＋b中k=1
∴∠1=45°
又∵∠α是三角形的外角
∴∠BAO=∠α－∠1
=30°
在Rt△AOB中
OB=OA·tan∠BAO
=
=
∴B点坐标为（0，）
将B点坐标代入y＝x＋b
解得b=
故答案为：
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式和三角形外角的性质.
15．(本题4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_____．
【答案】2﹣
【分析】
过E作EG∥AB，交AC于G，易得AG＝EG，EF＝CF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF＝1：1：，故设EG＝k＝AG，则EF＝k＝CF，FG＝k，根据AC＝2，可得k+k+k＝，于是得到结论．
【详解】
解：如图，过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE＝∠AEG，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠AEG，
∴AG＝EG，
同理可得，EF＝CF，
∵AB∥GE，BC∥EF，
∴∠BAC＝∠EGF，∠BCA＝∠EFG，
∴△ABC∽△GEF，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2，
∴EG：EF：GF＝AB：BC：AC＝1：1：，
设EG＝k＝AG，则EF＝k＝CF，FG＝k，
∵AC＝2，
∴k+k+k＝2，
∴k＝（2﹣），
∴EF＝k＝2﹣．
故答案为：2﹣
【点睛】
本题主要考查三角形相似的判定和性质，通过对应边的比相等和对应角相等这两种方法判定，反过来两三角形相似也有对应边的比相等和对应角相等．通过平行线构造相似三角形是解本题的关键．
16．(本题4分)在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ， AB=6，那么BC=________
【答案】2
【分析】
根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【详解】
sinA==，得
BC=AB×=6×=2 ，
故答案为 2.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.
17．(本题4分)反比例函数y1＝－，y2＝的图象如图所示，点A为y1＝－的图象上任意一点，过点A作x轴的平行线交y2＝的图象于点C，交y轴于点B．点D在x轴的正半轴上，CD∥OA．若四边形AODC的面积为2，则k的值为 _____．
【答案】－1
【分析】
首先根据题意设点A坐标为，进而得出点B坐标为，点C坐标为，然后利用四边形AODC的面积构建方程，即可得出k的值.
【详解】
∵点A为y1=－的图象上任意一点
∴设点A坐标为，
∵点A作x轴的平行线交y2=的图象于点C，交y轴于点B
∴点B坐标为，点C坐标为，
∵CD∥OA，四边形AODC的面积为2
∴AC×OB=2
∴
解得，
故答案为-1.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的几何问题综合应用，解题关键是利用坐标和面积，构建关系式.
18．(本题4分)如图所示，在中，是高，，，，，则________．
【答案】2.4
【解析】
【分析】
根据EF∥BC，可以得到△AEF~△ABC，然后根据相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求得AG的长，进而可求出GD的长.
【详解】
∵EF//BC，∴△AEF~△ABC，∴，即，解得AG＝，∴GD＝AD－AG＝6－＝2.4，故答案为2.4.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.
19．(本题4分)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，AE=4，则EC等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
由DE∥BC，AD：AB=3：4，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：AC=AD：AB=2：3，继而求得答案．
【详解】
解：∵DE∥BC，，
∴AE：AC=AD：AB=2：3，
∴AE：EC=2：1．
∵AE=4，
∴CE=2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系．
20．(本题4分)如图，ABCD为正方形，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC相交于点H，则下列结论：①ABECBF；②GF=CG；③BG⊥DG；④，其中正确的是______．
【答案】①②③
【分析】
根据正方形的性质和AG⊥CF，找到边，角相等，然后用ASA证得ABECBF，故①正确；根据条件证明得出ACF是等腰三角形，利用三线合一得出GF=CG，故②正确；延长DG,AB交于点M，证明得出DBM是等腰三角形和G是DM中点，根据三线合一得出BG⊥DG，故③正确；证DCHACE.所以==，所以AE=DH，故④不正确.
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°
∵AG⊥CF
∴∠BCF+∠CEG=90°
∵∠BEA=∠CEG
∴∠BAE=∠BCF
∴ABECBF，故①正确；
∵AG平分∠FAC，AE⊥CF
∴∠CAG=∠FAG，∠AGC=∠AGF=90°
又∵AG=AG，∴ACGAFG.
∴CG=FG，故②正确；
延长DG，AB交于点M，在DCG和MFG中，∠DCG=∠MFG，FG=CG，∠MGF=∠DGC
DCGMFG
∴DG=MG，FM=DC=AB
∴AF=BM．
∵AF=AC，∴BM=AC=BD
∴BG⊥DG，故③正确；
∵∠CDH=∠CAE，∠DCH=∠ACE
∴DCHACE
∴==.
∴AE=DH，故④不正确.
故答案为：①②③
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似等知识点，综合性较强难度较大．

三、解答题(共50分)
21．(本题10分)已知反比例函数y＝kx(k≠0，k是常数)的图象过点P(－3,5)．
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)判断点Q−152,2是否在图象上．
【答案】（1）y＝－15x（2）反比例函数图象经过点Q
【解析】
【分析】
(1)直接把点P(－3,5)代入反比例函数y=kx(k≠0，k是常数)，求出k的值即可；
(2)把点Q(−152,2)代入反比例函数的解析式进行检验即可．
【详解】
解：(1)∵将P(－3,5)代入反比例函数y＝kx(k≠0，k是常数)，得5＝k−3，
解得k＝－15.
∴反比例函数表达式为y＝－15x；
(2)反比例函数图象经过点Q(−152,2).
理由：∵－152×2＝－15＝k，
∴反比例函数图象经过点Q.
【点睛】
本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
22．(本题10分)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE∽△DCF．
（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cs∠AED的值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）y＝x+4；（3）．
【分析】
（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；
（2）运用相似三角形的性质解答即可；
（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.
【详解】
（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，
∴△DAE∽△DCF；
（2）∵△DAE∽△DCF，
∴ ，
∴
∴y＝x+4；
（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，
∴DE＝BE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴16+AE2＝（6﹣AE）2，
∴AE＝，
∴DE＝BE＝，
∴cs∠AED＝ ＝，
故答案为：．
【点睛】
本题属于相似形三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称图形的性质等知识，灵活运用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.
23．(本题10分)设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．
（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若函数是闭区间上的“闭函数”，求实数a，b的值．
【答案】（1）是，见解析；（2）；（3）a=0，b=1
【分析】
根据反比例函数的单调区间进行判断；
根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组或，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；
由题意可知二次函数的图象开口方向向上，最小值是0，且当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；分以下三种情况：、、，分别根据闭函数定义列出关于a、b的方程组，求解后依据a、b的范围取舍即可得．
【详解】
解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”理由如下：
反比例函数在第一象限，y随x的增大而减小，
当时，；
当时，，
所以，当时，有，符合闭函数的定义，故反比例函数是闭区间上的“闭函数”；
分两种情况：或．
当时，一次函数的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，
，
解得：．
此函数的解析式是；
当时，一次函数的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，
解得：．
此函数的解析式是；
该二次函数的图象开口方向向上，最小值是0，且当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
分以下三种情况讨论：
当时，根据闭函数定义知：，
解得：或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，此时二次函数的最小值为0，由闭函数定义知，或，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，根据闭函数定义知：，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上，，．
【点睛】
本题综合考查二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时也要注意“分类讨论”数学思想的应用．
24．(本题10分)阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApllniusfPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．
如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆．
下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：
过点作交的延长线于点．
∴，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，……
任务：
（1）判断是否平分，并说明理由；
（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；
（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________．
【答案】（1）平分．理由见解析；（2）点的运动轨迹是以为直径的圆，见解析；（3）
【分析】
（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证；
（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点的运动轨迹是以为直径的圆；
（3）结合题目所给的材料分别求得AB的内分点和外分点的坐标，进而可求得点所在圆的圆心坐标．
【详解】
解：（1）平分．理由如下：
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴，
即平分．
（2）∵，，
且，
∴．
∴为直径．
∴点的运动轨迹是以为直径的圆．
（3）∵，，
∴AB＝3，且AO＝2OB，
∵，
∴点O为AB的内分点，
当点C为AB的外分点时，CA＝2CB，
∴CB＝AB＝3，
∴OC＝OB+BC＝4，
∴点C的坐标为（4，0），
∴点所在圆的圆心坐标为（2，0）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
25．(本题10分)如图，抛物线（为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数关系式为．
（1）求该抛物线的函数关系式与点坐标；
（2）已知点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，当为何值时，恰好是以为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点，将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）；
①探究：线段上是否存在定点（不与、重合），无论如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，的最小值．
【答案】（1）， ；（2）当时，恰好是以为底边的等腰三角形；（3）①存在，；②的最小值为．
【分析】
（1）根据已知条件得到，，解方程组得到抛物线的函数关系式为，于是得到；
（2）由点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，得到，当为底时，作于，根据等腰三角形的性质得到，，列方程即可得到结论；
（3）①根据已知条件得到，，由，特殊的当时，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；
②根据题意得到在以为圆心，4为半径的半圆上，由①知，，得到，于是得到的最小值，此时，，三点共线，根据勾股定理得到结论．
【详解】
（1）在中，令，则，令，则
∴，
把，代入得
∴
∴抛物线的函数关系式为
令，则
∴，
∴；
（2）∵点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点
∴
当为底时，如图1，作于
则，
∵
∴
解得，（不合题意，舍去）
∴当时，恰好是以为底边的等腰三角形；
（3）①存在，如图2
∵，
∵
∴当时，
∴不变，即
∴；
②∵在以为圆心，4为半径的半圆上，由①知，
∴
∴的最小值的最小值
∴当，，三点共线，取得最小值，最小值为AP
的最小值为，即的最小值．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、相似三角形的性质等知识点，较难的是题（3）②，结合题（3）①，利用两点之间线段最短公理得出取最小值时点N的位置是解题关键．