新高考数学一轮复习 讲与练第23讲 空间中的垂直关系（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识梳理
1.直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中A为垂足.
(2)直线与平面垂直的充要条件：直线l与平面α内的任意直线都垂直.符号表示为：l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m.
(3)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角称为这条斜线与平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面；
(2)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
(2)判定定理与性质定理
考点和典型例题
1、直线、平面垂直的判定与性质
【典例1-1】（2022·全国·高二）设m、n是两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【典例1-2】（2022·山东烟台·三模）若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为空间中的直线和平面，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 内无数条直线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例1-3】（2019·山西·东康一中高二阶段练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
【典例1-4】（2022·全国·高二课时练习）直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
2、平面与平面垂直的判定与性质
【典例2-1】（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个平面，则 SKIPIF 1 < 0 的充要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平行于同一个平面B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直于同一个平面
C． SKIPIF 1 < 0 内一条直线垂直于 SKIPIF 1 < 0 内一条直线D． SKIPIF 1 < 0 内存在一条直线垂直于 SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））设m，n，l是三条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC
【典例2-4】（2022·江西南昌·一模（理））已知在边长为6的菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 .将四边形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，当折起后得到的几何体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，下列说法：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；③平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；④平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例2-5】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
3、平行、垂直关系的综合应用
【典例3-1】（2022·安徽省舒城中学三模（理））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【典例3-2】（2022·北京·北大附中三模）已知平面 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【典例3-3】（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，四边形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3-4】（2022·江西南昌·高二期中（理））两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，过M作 SKIPIF 1 < 0 于H，求证：
(1)平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCE；
(2) SKIPIF 1 < 0 平面BCE.文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,m⊥α))⇒l∥m
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂α,l⊥β))⇒α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β.