新高考数学一轮复习 讲与练第25讲 直线的方程（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π).
(2)斜率公式
①一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.
2.直线的方向向量、法向量
(1)直线的方向向量的定义
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(2)直线方向向量的有关结论
①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.
②如果直线l的斜率为k，则(1，k)是直线l的一个方向向量.
③若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝eq \f(y,x).
(3)直线的法向量的定义
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
3.直线方程的五种形式
考点和典型例题
1、直线的倾斜角与斜率
【典例1-1】过点 SKIPIF 1 < 0 的直线的倾斜角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
过A、B的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则该直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
【典例1-2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与线段AB有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
因为过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与线段AB有公共点，
所以由图可知， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【典例1-3】直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】A
【详解】
直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例1-4】如图，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
由斜率的定义可知， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
【典例1-5】直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，其倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，现将直线 SKIPIF 1 < 0 绕原点O逆时针旋转得到直线 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．-2
【答案】B
【详解】
由题， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故选：B
2、求直线的方程
【典例2-1】过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【典例2-2】已知过定点直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
直线 SKIPIF 1 < 0 可变为 SKIPIF 1 < 0 ，所以过定点 SKIPIF 1 < 0 ，又因为直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距都是正值，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等，所以此时直线为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例2-3】已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
由题意知：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例2-4】直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴､ SKIPIF 1 < 0 轴正半轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 面积最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
根据题意，直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，则其斜率存在，设为 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等（舍去 SKIPIF 1 < 0 ），
故 SKIPIF 1 < 0 面积最小值为4，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例2-5】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，结合题意可知 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线即为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线
SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 垂直平分线的斜率 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的欧拉线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故选：D．
3、直线方程的综合应用
【典例3-1】已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 相交，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 可写成 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 必过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 相交，
SKIPIF 1 < 0 由图象知， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
【典例3-2】 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上的中线所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边所在直线的方程（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 边所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
【典例3-3】若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线l对称，则l的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
由题意可知AB中点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为A，B关于直线l对称，
所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，
所以直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
【典例3-4】已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x SKIPIF 1 < 0 y+2＝0C．x SKIPIF 1 < 0 y+2＝0D．x﹣2y+2＝0
【答案】D
【详解】
由已知可得|AB|＝|BC|＝5，
所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，
又线段AC中点坐标为（2，2）， SKIPIF 1 < 0
则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2 SKIPIF 1 < 0 ，
即x﹣2y+2＝0．
故选：D．
【典例3-5】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴上截距都相等的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】
对于A：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标 SKIPIF 1 < 0 ， 满足直线方程 SKIPIF 1 < 0 , 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于C：直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴围成的三角形的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，所以C 正确；
对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0 或 y=x ，所以 D 不正确；
故选：BC.
【典例3-6】直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别过定点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，并求点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，并求出最大值.
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程中，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程中，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
联立直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，即 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3-7】已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，边BC所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求边AB、AC所在的直线方程．
【答案】边AB、AC所在的直线方程分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或边AB、AC所在的直线方程分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知，该直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
当过 SKIPIF 1 < 0 的直线不存在斜率时，此时该直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与直线 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当过 SKIPIF 1 < 0 的直线存在斜率 SKIPIF 1 < 0 时，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以边AB、AC所在的直线方程分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
或者边AB、AC所在的直线方程分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线