新高考数学一轮复习 讲与练第27讲 椭圆（2份打包，原卷版+解析版）

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知识梳理
1.椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；
(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
考点和典型例题
1、椭圆的定义及应用
【典例1-1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个定点，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是正常数），动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线
【典例1-2】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-3】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-4】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别为左、右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2、椭圆的简单几何性质
【典例2-1】椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率之积为1，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】已知点A、B为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-4】已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦点在y轴上的椭圆以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-5】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，第一象限内的点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，要使翻折后 SKIPIF 1 < 0 的长度最小，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3、椭圆的综合应用
【典例3-1】（多选）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）
A．|PQ|的最大值为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 为定值
C．椭圆上不存在点M，使得 SKIPIF 1 < 0
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【典例3-2】（多选）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为18
B．四边形 SKIPIF 1 < 0 可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，则直线PB斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为-1
【典例3-3】（多选）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为定值
C．C的焦距是短轴长的2倍D．存在点A，使得 SKIPIF 1 < 0
【典例3-4】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，短轴的一个端点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)椭圆C上是否存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ? 若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；若不存在，请说明理由．
【典例3-5】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为原点），证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2