新高考数学一轮复习 讲与练第28练 双曲线（2份打包，原卷版+解析版）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
2．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
由题知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．已知点F是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
解：由双曲线方程可得，点F坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点P到双曲线的渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
Q是双曲线渐近线上的动点，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
4．若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．9C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【详解】
SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以渐进线与 SKIPIF 1 < 0 平行，所以渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故选：A
5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点 SKIPIF 1 < 0 在该双曲线上．
设该双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故该双曲线的标准方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
6．如图，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上一点，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7．已知点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（ ）
A．8B． SKIPIF 1 < 0 C．6D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ．取渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，易知点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为b，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，联立得 SKIPIF 1 < 0 ．所以C的实轴长为8．
故选：A
8．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因此点A的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，点D是线段OF的中点，
则直线AD的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
点B是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，
点B到直线AD距离的最大值 SKIPIF 1 < 0 也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
故选：A
9．已知方程 SKIPIF 1 < 0 ，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
由题意得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，要表示椭圆，需满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故A错误；
若E表示双曲线，则 SKIPIF 1 < 0 不能为0，
故 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由B的分析知， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误，
故选：B
10．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线的左、右焦点，从 SKIPIF 1 < 0 发出的光线 SKIPIF 1 < 0 射在双曲线右支上一点 SKIPIF 1 < 0 ，经点 SKIPIF 1 < 0 反射后，反射光线的反向延长线过 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 异于双曲线顶点时，双曲线在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线平分 SKIPIF 1 < 0 ．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为上 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线 SKIPIF 1 < 0 所在直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时，光由 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 再到 SKIPIF 1 < 0 所经过的路程为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
在双曲线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，易知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项，因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内运动时，随着 SKIPIF 1 < 0 的增大，射线 SKIPIF 1 < 0 慢慢接近于直线 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可知当点 SKIPIF 1 < 0 在第四象限内运动时， SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的右顶点时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时，光由 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 再到 SKIPIF 1 < 0 所经过的路程为
SKIPIF 1 < 0 ，C错；
对于D选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，由角平分线定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：C.
二、多选题
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值 SKIPIF 1 < 0
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】
根据双曲线的定义可得： SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，结合图象易知 SKIPIF 1 < 0 ，则满足条件的点存在且唯一
若 SKIPIF 1 < 0 ，结合图象易知 SKIPIF 1 < 0 ，则满足条件的点存在且唯一
根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；
不妨P在第一象限，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
D不正确；
故选：BC．
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为4，两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确是（ ）
A．M的离心率为 SKIPIF 1 < 0 B．M的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
C．M的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 D．直线 SKIPIF 1 < 0 经过M的一个焦点
【答案】ACD
【详解】
根据题意双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， 有 SKIPIF 1 < 0 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则过一三象限的渐近线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，②
联立①②可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0
对A，则离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故 A 正确 .
对B，双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 B 错误；
对C，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 C 正确；
对D，直线 SKIPIF 1 < 0 经过 M 的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 D 正确 .
故选： ACD
三、解答题
13．设 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 也为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的的焦点，若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l： SKIPIF 1 < 0 与双曲线C相交于A､B两点，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
解：抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形的三个顶点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：依题意设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
14．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支的一条切线，且与 SKIPIF 1 < 0 的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)2
【解析】(1)
由题设可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
设点M的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，则直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
易知点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ﹔
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴此时点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大于2；
综上所述，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的最小距离为2．
15．已知F1（ SKIPIF 1 < 0 ，0），F2（ SKIPIF 1 < 0 ，0）为双曲线C的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线AB过定点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【解析】
(1)
设双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0
∴双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0
(2)
设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
直线PA方程为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则M（0， SKIPIF 1 < 0 ），同理N（0， SKIPIF 1 < 0 ）.
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 0，
SKIPIF 1 < 0 0，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
此时直线AB方程为 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，显然不可能
∴ SKIPIF 1 < 0 ，直线AB方程为恒过定点 SKIPIF 1 < 0