新高考数学一轮复习 讲与练第29讲 抛物线（2份打包，原卷版+解析版）

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知识梳理
1.抛物线的定义
(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
考点和典型例题
1、抛物线的定义和标准方程
【典例1-1】过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-2】抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到坐标原点的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【典例1-3】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例1-4】焦点在直线 SKIPIF 1 < 0 上的抛物线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】已知直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2、抛物线的几何性质及应用
【典例2-1】对抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 SKIPIF 1 < 0 B．开口向上，焦点为 SKIPIF 1 < 0
C．开口向右，焦点为 SKIPIF 1 < 0 D．开口向右，焦点为 SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】抛物线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为劣弧 SKIPIF 1 < 0 上不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的一个动点，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-4】已知圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于M，N，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【典例2-5】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为5的圆与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．8C．10D．16
3、抛物线的综合问题
【典例3-1】已知 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 最大值的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-2】如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，过圆心 SKIPIF 1 < 0 的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
【典例3-3】已知直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，且垂直于x轴．若l被抛物线 SKIPIF 1 < 0 截得的线段长为 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-4】已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【典例3-5】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
(1)过 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)抛物线上有 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，求 SKIPIF 1 < 0 的边长．图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下