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新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20 椭圆（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点20 椭圆（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考一轮复习核心考点讲与练考点20椭圆原卷版doc、新高考一轮复习核心考点讲与练考点20椭圆解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.
4.求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
椭圆的定义
一、单选题
1．（2022·内蒙古通辽·二模（理））椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合三角形周长，得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得离心率.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的离心率，若 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先确定 SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的实半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3.（2021广东省深圳市高级中学等九校联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【分析】依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
【详解】解：依题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，即 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的上顶点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B
二、多选题
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．P是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 周长为4B． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 面积为2，则点P横坐标为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得 SKIPIF 1 < 0 面积最大值判断B，由 SKIPIF 1 < 0 可判断C，由三角形面积求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标后可判断D．
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，短轴一个端点 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，利用椭圆的性质可知 SKIPIF 1 < 0 面积最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选：BC．
5．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，上､下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，点P是C上异于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
C．若C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率的范围是 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则C的离心率的范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】A. 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项错误；
B. 求出 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 所以该选项正确；
C. 求出 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项错误；
D. 若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确.
【详解】解：A. 设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项错误；
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 所以该选项正确；
C. 若C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 ，即C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项错误；
D. 若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确.
故选：BD
三、填空题
6．（2022·宁夏·银川一中二模（文））已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆C上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】1
【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解：由椭圆C： SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
7．（2022·江西景德镇·三模（文）） SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，其中 SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的动点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长小于 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的定义结合三点共线可得出 SKIPIF 1 < 0 的周长小于 SKIPIF 1 < 0 ，可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，由此可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，利用三角形的面积公式可得出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得结果.
(1)解：因为圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
联立直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
椭圆的标准方程
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】由椭圆方程可知 SKIPIF 1 < 0 ，由四边形OMAN是正方形可知 SKIPIF 1 < 0 ，
又点M在椭圆C上，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆C的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
结合椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2.（2021福建省莆田市第十五中学二模）阿基米德(公元前 SKIPIF 1 < 0 年—公元前 SKIPIF 1 < 0 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为坐标轴，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案．
【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
二、多选题
3．（2022·辽宁·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图），离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线 SKIPIF 1 < 0 交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的周长为4a
C．若 SKIPIF 1 < 0 的面积为12，则椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积的比值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程的求解以及椭圆的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对 SKIPIF 1 < 0 ：若椭圆E的焦距为2，则 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对B：根据椭圆的定义， SKIPIF 1 < 0 的周长为4a，故B正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ：由 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程可写为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确.
故选：BCD．
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，用一个与圆柱底面成 SKIPIF 1 < 0 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．椭圆的标准方程可以是 SKIPIF 1 < 0
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再逐项计算、判断作答.
【详解】设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，A不正确；
显然 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD
5．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为E上一点，过点A作两条直线分别与E交于B，C两点，且直线AB与直线AC的倾斜角互补，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为 SKIPIF 1 < 0
B．直线BC的斜率为定值
C．点O到直线BC的距离为定值
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】对于选项A，利用点在曲线上和椭圆离心率公式及椭圆中 SKIPIF 1 < 0 的关系即可求解.
对于选项B，设出直线AB的方程与椭圆联立，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，利用韦达定理写出横坐标的关系，进而得到点B的横坐标，代入直线AB求出点B纵坐标，利用已知条件写出点C的坐标，利用两点求斜率公式即可求解.
对于选项C，设出直线BC的方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程, 消去 SKIPIF 1 < 0 ，得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，利用韦达定理写出横坐标的关系，由 SKIPIF 1 < 0 ，利用两直线垂直的充要条件即可求解.
【详解】对于选项A，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆E的长周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误.
对于选项B，由A得椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆的方程联立，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为直线AB与直线AC的倾斜角互补，所以直线AC的斜率为﹣k，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线BC的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，为定值，故B正确.
对于选项C，由B知可设直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则原点O到直线BC的距离 SKIPIF 1 < 0 ，不是定值，故C错误.
对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点C的轨迹方程为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，先说明 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 即得解.
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 , 所以点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心.
所以点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的短轴的端点时， SKIPIF 1 < 0 与已知存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
7．（2022·山东泰安·二模）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，过其右焦点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，
【分析】（1）直接由椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 解方程即可；
（2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 解出点P的坐标即可.
(1)由题知，椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线和椭圆后，由韦达定理及 SKIPIF 1 < 0 建立方程解出点P的坐标即可.
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且在椭圆位于x轴上方的部分，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上一点， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意列方程组 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得椭圆C的方程；
（2）先设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再由题设得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由面积 SKIPIF 1 < 0 求出
SKIPIF 1 < 0 的值，即可得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程
（1）由已知，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C的交点 SKIPIF 1 < 0 满足方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
消去y得到 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意，
有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
进而得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
其与椭圆C的交点 SKIPIF 1 < 0 满足方程组 SKIPIF 1 < 0
消去x得到： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
点G到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
椭圆的几何性质
1.（2021天津市第二中学高三上学期期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由题设易知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，应用勾股定理得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，利用方程有解，结合判别式构造不等式求椭圆离心率e的取值范围.
【详解】由题设，知： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
直线与椭圆的位置关系
1.（2022北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，求m的值；
（2）过F的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点M，求证：A，D，M三点共线.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2）证明见解析.
【分析】(1)设点A关于直线对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线上且 SKIPIF 1 < 0 ，列出方程组，解方程组即可；
(2)对直线斜率是否存在分类讨论，当直线CD斜率k不存在时，求出点A、M、C、D坐标，
利用 SKIPIF 1 < 0 可证得A、D、M三点共线；当直线CD斜率存在时，设直线
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立方程组，消y得到关于x的一元二次方程，将 SKIPIF 1 < 0 表示为含有k的算式，得出 SKIPIF 1 < 0 即可.
（1）由题意知，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
有，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ：x=1，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即A、D、M三点共线；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线BC方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AD、AM的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
上式的分子
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即A、D、M三点共线.
综上，A、D、M三点共线.
【规律方法技巧】直线与椭圆的位置关系问题，一般需要联立方程组、用判别式、韦达定理.证明三点共线可以利用直线的斜率相等或向量共线处理.
2.（2021四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三上学期期中）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 (a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，
①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；
②点M满足2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2）①－ SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，代入椭圆方程，结合 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由（1）可得椭圆的方程，写出直线 SKIPIF 1 < 0 方程，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再计算 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案；
②设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，推出点 SKIPIF 1 < 0 坐标，再用坐标表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，把点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程，化简即可得答案．
【小问1详解】
解：已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
解：①由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以△ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
②设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
1.（2021年全国高考乙卷）设B是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，点P在C上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】A
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，由依题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据两点间的距离公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
2.（2021年全国高考乙卷）设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，若 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点 SKIPIF 1 < 0 都满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，根据两点间的距离公式表示出 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得， SKIPIF 1 < 0 ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
3.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A. 13B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 SKIPIF 1 < 0 ，借助基本不等式 SKIPIF 1 < 0 即可得到答案．
【详解】由题， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
4.（2021年全国高考甲卷）已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理结合 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上关于坐标原点对称的两点，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即四边形 SKIPIF 1 < 0 面积等于 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测（理）） SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先由 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用角平分线的性质可求得 SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理 SKIPIF 1 < 0 即可求出离心率 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由题意可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
则： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A
2．（2022·湖北武汉·二模）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，利用离心率的定义求解.
【详解】解：当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆 SKIPIF 1 < 0 焦点相同的椭圆是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由椭圆的简单几何性质：“焦点跟着大的走”，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，依次判断各个选项即可.
【详解】由题意得，椭圆C中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
对于A选项，椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
故答案为：D.
4．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线AB过 SKIPIF 1 < 0 与该椭圆交于A，B两点，当 SKIPIF 1 < 0 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】设正三角形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，设左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：B
5．（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离.
【详解】椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：B
二、多选题
6．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴
B． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．对C上任意一点P皆有 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】根据点点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为在曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 判断A；根据点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 得该曲线为椭圆，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，进而求顶点坐标，进而求离心率判断B；结合C选项求焦点坐标，验证 SKIPIF 1 < 0 判断C；设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，结合韦达定理，二次函数最值求解 SKIPIF 1 < 0 判断D.
【详解】解：对于A选项，设点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，其关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入曲线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 满足，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，正确；
对于B选项，由于点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，其关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点 SKIPIF 1 < 0 亦在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且该曲线是封闭的曲线，
故该曲线为椭圆，其对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆中心为坐标原点，
故其顶点坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆中心的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到椭圆中心的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，故其离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于C选项，由B知，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，且焦点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于D选项，由题知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，故设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则联立方程得 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ，故正确.
故选：ABD
7．（2022·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 内，对于任意两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，定义它们之间的“欧几里得距离” SKIPIF 1 < 0 ，“曼哈顿距离”为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 为定值
B．对于平面上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
C．对于平面上任意三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，则 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】利用题中定理可判断A选项；作出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹图形，求其周长可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断C选项；设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可判断D选项.
【详解】对于A选项，设点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 .
作出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹如下图所示：
由图可知，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，故动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对于C选项，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由绝对值三角不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，等号成立，D错.
故选：AC.
8．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，记 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的周长与点 SKIPIF 1 < 0 的位置无关
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积取到最大值
C． SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径最小为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径最大为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的定义、椭圆离心率的意义，结合正弦定理和内切圆的性质逐一判断即可.
【详解】由椭圆定义知， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；显然当 SKIPIF 1 < 0 位于短轴端点时 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，由 SKIPIF 1 < 0 知此时 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；由正弦定理知外接圆直径 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 最大为钝角，故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；设内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 越大则 SKIPIF 1 < 0 越大， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：ACD
9．（2022·全国·模拟预测）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P在C上.若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．2
【答案】AC
【分析】根据双曲线方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据对称性只需考虑 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时，将 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出三角形面积，当 SKIPIF 1 < 0 时，由双曲线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
【详解】解：由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .根据双曲线的对称性只需考虑 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，由双曲线的定义可知，
SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的面积为4或 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .
三、填空题
10．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，A为C上一点，AF与x轴垂直．若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】由题知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．（2022·湖南衡阳·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的第一象限的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据正弦函数的性质可得其范围
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ①，
由双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ③，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】由题得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，进而联立方程得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，再解方程即可得答案.
【详解】解：由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
所以，联立方程 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
13．（2022·江苏·海安高级中学二模）如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；
②恰经过A，B，C中的两点．
【答案】5（或 SKIPIF 1 < 0 ）（答案不唯一）
【分析】根据已知条件结合圆锥曲线的定义，分过A，C两点和过B，C两点两种情况求解即可
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
若过A，C两点，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
若过B，C两点，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：5（或 SKIPIF 1 < 0 ）（答案不唯一）
14．（2022·天津市第四中学模拟预测）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形.
（1）椭圆的离心率为___________；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 异于点 SKIPIF 1 < 0 ），线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 .
（i） SKIPIF 1 < 0 ___________；
（ii）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则椭圆的方程___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据等边三角形的性质和离心率公式，即可求出，设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组，求出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据弦长公式，结合 SKIPIF 1 < 0 ．即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，根据四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出椭圆方程．
【详解】解：由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1．
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
该椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
15．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为8，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】25或 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意知半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，再分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 讨论求解.
【详解】解：由题意知半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则曲线C为椭圆，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C为双曲线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故a的值为25或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：25或 SKIPIF 1 < 0
四、解答题
16．（2022·湖南衡阳·二模）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 .已知椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于点 SKIPIF 1 < 0 的两动点，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .
①证明直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，并求出该点坐标；
②求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)①证明见解析，定点 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得椭圆的方程，
（2） ①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程中消去 SKIPIF 1 < 0 ，利用根与系数的关系，再结合 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 进而可求出定点，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 两点坐标，求解 SKIPIF 1 < 0 即可，
②设直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程中，消去 SKIPIF 1 < 0 ，利用根与系数的关系，从而可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，化简换元后利用基本不等式可求得结果
(1)由于 SKIPIF 1 < 0 ，①
又 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)①在（1）的条件下，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，.
又 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，显然不适合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
此时直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 .
满足 SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
②不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2022·广东韶关·二模）已知P是离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，且P到两个焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M，使得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由椭圆定义和离心率可得答案；
（2）设存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，设出直线AP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理可得直线OE的方程、直线DM方程，再联立两个方程可得答案.
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设存在定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足条件．由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线AP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去y整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线OE的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，①
由 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线DM方程为 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②消去参数k，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，③
方程③要表示圆，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，此时圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在上述圆上，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 使直线DM与OE的交点Q在一个定圆上，
且定圆方程为： SKIPIF 1 < 0 .
18．（2022·河北唐山·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)如图：直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)①证明过程见解析；② SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）直接将椭圆 SKIPIF 1 < 0 转化成标准方程，然后代入离心率公式即可；
（2）分别求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标，得出中点重合即可证明①；对于②，分别求出 SKIPIF 1 < 0 被椭圆截得的弦长以及 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离，得出面积表达式，通过变形式子求出最值.
(1)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
(2)对于①，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立整理得
SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标 SKIPIF 1 < 0
同理可知 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中点重合，故 SKIPIF 1 < 0 .
对于②，由①知，直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆截得弦长为
SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 代入得， SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 代入得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面积为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查离心率的求法，考查弦长公式、中点坐标公式、面积公式等几何关系的应用，解析几何解题时应注重几何关系的寻找，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题.
19．（2022·广东·二模）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于M，N两点，当 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点，证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【分析】（1） SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和 SKIPIF 1 < 0 联立可得答案；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，由韦达定理得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程、直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，再由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 可得答案．
(1)由题可知 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时，不妨设M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 消去x，得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 恒成立，由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入韦达定理得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即PQ与 SKIPIF 1 < 0 相互垂直平分，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.
4.求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
椭圆的定义
一、单选题
1．（2022·内蒙古通辽·二模（理））椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合三角形周长，得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得离心率.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的公共的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的离心率，若 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先确定 SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的实半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3.（2021广东省深圳市高级中学等九校联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【分析】依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
【详解】解：依题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，即 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的上顶点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B
二、多选题
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．P是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 周长为4B． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 面积为2，则点P横坐标为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得 SKIPIF 1 < 0 面积最大值判断B，由 SKIPIF 1 < 0 可判断C，由三角形面积求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标后可判断D．
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，短轴一个端点 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，利用椭圆的性质可知 SKIPIF 1 < 0 面积最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选：BC．
5．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，上､下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，点P是C上异于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
C．若C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率的范围是 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则C的离心率的范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】A. 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项错误；
B. 求出 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 所以该选项正确；
C. 求出 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项错误；
D. 若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确.
【详解】解：A. 设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项错误；
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 所以该选项正确；
C. 若C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 ，即C上存在四个点P使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项错误；
D. 若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以该选项正确.
故选：BD
三、填空题
6．（2022·宁夏·银川一中二模（文））已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆C上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】1
【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解：由椭圆C： SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
7．（2022·江西景德镇·三模（文）） SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，其中 SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的动点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长小于 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的定义结合三点共线可得出 SKIPIF 1 < 0 的周长小于 SKIPIF 1 < 0 ，可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，由此可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，利用三角形的面积公式可得出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得结果.
(1)解：因为圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
联立直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
椭圆的标准方程
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】由椭圆方程可知 SKIPIF 1 < 0 ，由四边形OMAN是正方形可知 SKIPIF 1 < 0 ，
又点M在椭圆C上，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆C的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
结合椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2.（2021福建省莆田市第十五中学二模）阿基米德(公元前 SKIPIF 1 < 0 年—公元前 SKIPIF 1 < 0 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为坐标轴，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案．
【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
二、多选题
3．（2022·辽宁·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图），离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线 SKIPIF 1 < 0 交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的周长为4a
C．若 SKIPIF 1 < 0 的面积为12，则椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积的比值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程的求解以及椭圆的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对 SKIPIF 1 < 0 ：若椭圆E的焦距为2，则 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对B：根据椭圆的定义， SKIPIF 1 < 0 的周长为4a，故B正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ：由 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程可写为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确.
故选：BCD．
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，用一个与圆柱底面成 SKIPIF 1 < 0 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．椭圆的标准方程可以是 SKIPIF 1 < 0
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再逐项计算、判断作答.
【详解】设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，A不正确；
显然 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD
5．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为E上一点，过点A作两条直线分别与E交于B，C两点，且直线AB与直线AC的倾斜角互补，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为 SKIPIF 1 < 0
B．直线BC的斜率为定值
C．点O到直线BC的距离为定值
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】对于选项A，利用点在曲线上和椭圆离心率公式及椭圆中 SKIPIF 1 < 0 的关系即可求解.
对于选项B，设出直线AB的方程与椭圆联立，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，利用韦达定理写出横坐标的关系，进而得到点B的横坐标，代入直线AB求出点B纵坐标，利用已知条件写出点C的坐标，利用两点求斜率公式即可求解.
对于选项C，设出直线BC的方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程, 消去 SKIPIF 1 < 0 ，得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，利用韦达定理写出横坐标的关系，由 SKIPIF 1 < 0 ，利用两直线垂直的充要条件即可求解.
【详解】对于选项A，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆E的长周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误.
对于选项B，由A得椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆的方程联立，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为直线AB与直线AC的倾斜角互补，所以直线AC的斜率为﹣k，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线BC的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，为定值，故B正确.
对于选项C，由B知可设直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则原点O到直线BC的距离 SKIPIF 1 < 0 ，不是定值，故C错误.
对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点C的轨迹方程为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，先说明 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 即得解.
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 , 所以点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心.
所以点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的短轴的端点时， SKIPIF 1 < 0 与已知存在非零实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
7．（2022·山东泰安·二模）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，过其右焦点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，
【分析】（1）直接由椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 解方程即可；
（2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 解出点P的坐标即可.
(1)由题知，椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线和椭圆后，由韦达定理及 SKIPIF 1 < 0 建立方程解出点P的坐标即可.
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且在椭圆位于x轴上方的部分，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上一点， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意列方程组 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得椭圆C的方程；
（2）先设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再由题设得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由面积 SKIPIF 1 < 0 求出
SKIPIF 1 < 0 的值，即可得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程
（1）由已知，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C的交点 SKIPIF 1 < 0 满足方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
消去y得到 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意，
有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
进而得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
其与椭圆C的交点 SKIPIF 1 < 0 满足方程组 SKIPIF 1 < 0
消去x得到： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
点G到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
椭圆的几何性质
1.（2021天津市第二中学高三上学期期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由题设易知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，应用勾股定理得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，利用方程有解，结合判别式构造不等式求椭圆离心率e的取值范围.
【详解】由题设，知： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
直线与椭圆的位置关系
1.（2022北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，求m的值；
（2）过F的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点M，求证：A，D，M三点共线.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2）证明见解析.
【分析】(1)设点A关于直线对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线上且 SKIPIF 1 < 0 ，列出方程组，解方程组即可；
(2)对直线斜率是否存在分类讨论，当直线CD斜率k不存在时，求出点A、M、C、D坐标，
利用 SKIPIF 1 < 0 可证得A、D、M三点共线；当直线CD斜率存在时，设直线
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立方程组，消y得到关于x的一元二次方程，将 SKIPIF 1 < 0 表示为含有k的算式，得出 SKIPIF 1 < 0 即可.
（1）由题意知，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
有，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ：x=1，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即A、D、M三点共线；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线BC方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AD、AM的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
上式的分子
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即A、D、M三点共线.
综上，A、D、M三点共线.
【规律方法技巧】直线与椭圆的位置关系问题，一般需要联立方程组、用判别式、韦达定理.证明三点共线可以利用直线的斜率相等或向量共线处理.
2.（2021四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三上学期期中）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 (a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，
①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；
②点M满足2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2）①－ SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，代入椭圆方程，结合 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由（1）可得椭圆的方程，写出直线 SKIPIF 1 < 0 方程，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再计算 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案；
②设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，推出点 SKIPIF 1 < 0 坐标，再用坐标表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，把点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程，化简即可得答案．
【小问1详解】
解：已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
解：①由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以△ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
②设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
1.（2021年全国高考乙卷）设B是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，点P在C上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】A
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，由依题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据两点间的距离公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
2.（2021年全国高考乙卷）设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，若 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点 SKIPIF 1 < 0 都满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，根据两点间的距离公式表示出 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得， SKIPIF 1 < 0 ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
3.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A. 13B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 SKIPIF 1 < 0 ，借助基本不等式 SKIPIF 1 < 0 即可得到答案．
【详解】由题， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
4.（2021年全国高考甲卷）已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理结合 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上关于坐标原点对称的两点，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即四边形 SKIPIF 1 < 0 面积等于 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测（理）） SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先由 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用角平分线的性质可求得 SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理 SKIPIF 1 < 0 即可求出离心率 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由题意可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
则： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A
2．（2022·湖北武汉·二模）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，利用离心率的定义求解.
【详解】解：当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆 SKIPIF 1 < 0 焦点相同的椭圆是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由椭圆的简单几何性质：“焦点跟着大的走”，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，依次判断各个选项即可.
【详解】由题意得，椭圆C中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
对于A选项，椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
故答案为：D.
4．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线AB过 SKIPIF 1 < 0 与该椭圆交于A，B两点，当 SKIPIF 1 < 0 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】设正三角形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，设左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：B
5．（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离.
【详解】椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：B
二、多选题
6．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴
B． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．对C上任意一点P皆有 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】根据点点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为在曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 判断A；根据点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 得该曲线为椭圆，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，进而求顶点坐标，进而求离心率判断B；结合C选项求焦点坐标，验证 SKIPIF 1 < 0 判断C；设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，结合韦达定理，二次函数最值求解 SKIPIF 1 < 0 判断D.
【详解】解：对于A选项，设点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，其关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入曲线 SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 满足，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，正确；
对于B选项，由于点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，其关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点 SKIPIF 1 < 0 亦在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且该曲线是封闭的曲线，
故该曲线为椭圆，其对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆中心为坐标原点，
故其顶点坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆中心的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到椭圆中心的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，故其离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于C选项，由B知，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，且焦点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于D选项，由题知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，故设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则联立方程得 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ，故正确.
故选：ABD
7．（2022·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 内，对于任意两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，定义它们之间的“欧几里得距离” SKIPIF 1 < 0 ，“曼哈顿距离”为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 为定值
B．对于平面上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
C．对于平面上任意三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，则 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】利用题中定理可判断A选项；作出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹图形，求其周长可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断C选项；设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可判断D选项.
【详解】对于A选项，设点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 .
作出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹如下图所示：
由图可知，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，故动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对于C选项，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由绝对值三角不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，等号成立，D错.
故选：AC.
8．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，记 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的周长与点 SKIPIF 1 < 0 的位置无关
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积取到最大值
C． SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径最小为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径最大为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的定义、椭圆离心率的意义，结合正弦定理和内切圆的性质逐一判断即可.
【详解】由椭圆定义知， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；显然当 SKIPIF 1 < 0 位于短轴端点时 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，由 SKIPIF 1 < 0 知此时 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；由正弦定理知外接圆直径 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 最大为钝角，故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；设内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 越大则 SKIPIF 1 < 0 越大， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：ACD
9．（2022·全国·模拟预测）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P在C上.若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．2
【答案】AC
【分析】根据双曲线方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据对称性只需考虑 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时，将 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出三角形面积，当 SKIPIF 1 < 0 时，由双曲线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
【详解】解：由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .根据双曲线的对称性只需考虑 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，由双曲线的定义可知，
SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的面积为4或 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .
三、填空题
10．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，A为C上一点，AF与x轴垂直．若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】由题知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．（2022·湖南衡阳·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的第一象限的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据正弦函数的性质可得其范围
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ①，
由双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ③，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】由题得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，进而联立方程得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，再解方程即可得答案.
【详解】解：由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
所以，联立方程 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
13．（2022·江苏·海安高级中学二模）如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；
②恰经过A，B，C中的两点．
【答案】5（或 SKIPIF 1 < 0 ）（答案不唯一）
【分析】根据已知条件结合圆锥曲线的定义，分过A，C两点和过B，C两点两种情况求解即可
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
若过A，C两点，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
若过B，C两点，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：5（或 SKIPIF 1 < 0 ）（答案不唯一）
14．（2022·天津市第四中学模拟预测）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形.
（1）椭圆的离心率为___________；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 异于点 SKIPIF 1 < 0 ），线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 .
（i） SKIPIF 1 < 0 ___________；
（ii）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则椭圆的方程___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据等边三角形的性质和离心率公式，即可求出，设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组，求出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据弦长公式，结合 SKIPIF 1 < 0 ．即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，根据四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出椭圆方程．
【详解】解：由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1．
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
该椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
15．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为8，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】25或 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意知半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，再分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 讨论求解.
【详解】解：由题意知半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则曲线C为椭圆，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C为双曲线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故a的值为25或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：25或 SKIPIF 1 < 0
四、解答题
16．（2022·湖南衡阳·二模）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 .已知椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于点 SKIPIF 1 < 0 的两动点，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .
①证明直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，并求出该点坐标；
②求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)①证明见解析，定点 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得椭圆的方程，
（2） ①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程中消去 SKIPIF 1 < 0 ，利用根与系数的关系，再结合 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 进而可求出定点，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 两点坐标，求解 SKIPIF 1 < 0 即可，
②设直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程中，消去 SKIPIF 1 < 0 ，利用根与系数的关系，从而可表示出 SKIPIF 1 < 0 ，化简换元后利用基本不等式可求得结果
(1)由于 SKIPIF 1 < 0 ，①
又 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)①在（1）的条件下，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，.
又 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，显然不适合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
此时直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 .
满足 SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
②不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2022·广东韶关·二模）已知P是离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，且P到两个焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M，使得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由椭圆定义和离心率可得答案；
（2）设存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，设出直线AP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理可得直线OE的方程、直线DM方程，再联立两个方程可得答案.
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设存在定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足条件．由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线AP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去y整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线OE的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，①
由 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线DM方程为 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②消去参数k，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，③
方程③要表示圆，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，此时圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在上述圆上，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 使直线DM与OE的交点Q在一个定圆上，
且定圆方程为： SKIPIF 1 < 0 .
18．（2022·河北唐山·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)如图：直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)①证明过程见解析；② SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）直接将椭圆 SKIPIF 1 < 0 转化成标准方程，然后代入离心率公式即可；
（2）分别求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标，得出中点重合即可证明①；对于②，分别求出 SKIPIF 1 < 0 被椭圆截得的弦长以及 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离，得出面积表达式，通过变形式子求出最值.
(1)椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
(2)对于①，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立整理得
SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标 SKIPIF 1 < 0
同理可知 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中点重合，故 SKIPIF 1 < 0 .
对于②，由①知，直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆截得弦长为
SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 代入得， SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 代入得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面积为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查离心率的求法，考查弦长公式、中点坐标公式、面积公式等几何关系的应用，解析几何解题时应注重几何关系的寻找，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题.
19．（2022·广东·二模）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于M，N两点，当 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点，证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析
【分析】（1） SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和 SKIPIF 1 < 0 联立可得答案；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，由韦达定理得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程、直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，再由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 可得答案．
(1)由题可知 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时，不妨设M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 消去x，得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 恒成立，由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入韦达定理得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即PQ与 SKIPIF 1 < 0 相互垂直平分，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
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