[数学][期末]福建省漳州市2023-2024学年八年级上学期期末模拟试题(北师大版)(解析版)

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一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、7x+3y-z=0是三元一次方程，不符合题意；
B、2x+3y-1=0是二元一次方程，符合题意；
C、x2+3y-1=0是二元二次方程，不符合题意；
D、2x+3y-1＞0是二元一次不等式，不符合题意．
2. 下列式子正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
3. 若点的坐标是，点到轴的距离是（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】B
【解析】∵点坐标是，∴点到轴的距离为1，
4. 下列命题正确的个数有（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；
②无限不循环的小数是无理数；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】①实数与数轴上的点一一对应，正确，符合题意；
②无限不循环的小数是无理数，正确，符合题意；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，正确，符合题意；
④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意．
正确的有3个
5. 下列各数中没有平方根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，没有平方根，所以A符合题意；
因为，平方根是，所以B不符合题意；
因为，平方根是，所以C不符合题意；
因为，平方根是，所以D不符合题意.
6. 如图所示，有一种“怪兽吃豆豆”的游戏，怪兽从点O（0，0）出发，先向西走1cm，再向北走2cm，正好能吃到位于点A的豆豆，如果点A用（﹣1，2）表示，那么（1，﹣2）所表示的位置是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】如图，以点为圆心，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则（1，﹣2）所表示的位置为点,
7. 小明步行从甲地到乙地，小亮骑自行车从乙地到甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达目的后停止，设两人之间的距离为（单位：千米），小明步行的时间为（单位：小时），与之间的关系如图所示，有下列结论，其中，正确的结论个数是（ ）．
①出发1小时时，小明、小亮在途中相遇
②出发小时时，小亮比小明多走了6千米
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点
④小亮的速度是小明的速度的一半
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】小明和小亮距离为0时，即出发1小时时两人相遇，故①正确；
小明的速度为（km/h），小亮的速度为（km/h），
∴出发小时时，小亮比小明多走千米，故②正确；
由图知，小亮出发1.5小时到达终点，小明出发3小时到达终点，故③错误；
小明的速度为（km/h），小亮的速度为（km/h），
∴小亮的速度是小明的速度的2倍，故④错误
8. 学校组织领导、教师、学生、家长等代表对教师的教学质量进行综合评分，满分为100分． 张老师的得分情况如下：领导代表给分80分，教师代表给分76分，学生代表给分90分，家长代表给分84分，如果按照的权重进行计算，张老师的综合评分为（ ）
A. 84.5分B. 84.3分C. 84.4分D. 88.4分
【答案】C
【解析】张老师的综合评分为：
9. 点P1（x1，y1）点P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣4x+3图象上的两个点，且x1＞x2，则y1与y2的关系是（ ）
A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1＞y2＞0D. y1＝y2
【答案】A
【解析】根据题意，k=−4<0，y随x的增大而减小，因为x1>x2，所以y110. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 如果一个正数的平方根为和，则_______；这个正数为_______．
【答案】 ①. ②. 49
【解析】正数的平方根为和，
，
解这个方程得．
当时，，，
这个正数为49．
12. 点M在第二象限，它到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，则点M的坐标为_____．
【答案】（-5，2）
【解析】∵点M在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，
∴点M的横坐标是−5，纵坐标是2，
∴点M的坐标是（−5，2）．
13. 已知直线与直线的交点是，那么关于、的方程组的解是______．
【答案】
【解析】把点（1，b）分别代入直线和直线得，
，解得，
将a=-4，b=-3代入关于、的方程组得，
，解得；
14. 对于甲乙两所学校2017年中考数学成绩进行统计分析，得到的样本平均分为，，样本方差为，，由此可知，两校考生中成绩较为均衡的是_____校．
【答案】甲
【解析】∵，，样本方差为，，
∴，，所以甲校学生的数学成绩较为均衡．
15. 如图1，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为___，以此类推，如图2，∠1+∠2+∠3+⋯+∠n的度数为___．
【答案】 ①. 900° ②.
【解析】如图，分别过点E、F、G、H作AB的平行线，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
同理可得，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=
=；
同理可得：∠1+∠2+∠3+⋯+∠n=；
16. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象平移得到，且经过点．当x>1时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，则m的取值范围 ________．
【答案】
【解析】∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴k=1．
∵一次函数的图象过点，
∴．
∴这个一次函数表达式为．
解不等式得，
由题意得：1，
即．
故m的取值范围．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18. 解方程组
（1）
（2）．
解：（1），
由①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
则方程组的解为；
（2）变形为，
由①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
则方程组的解为．
19. 完成下面的尺规作图
（1）如图，已知和，用直尺和圆规作，使．
（2）如图，已知线段和，用直尺和圆规作，使．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
20. 为了参加“某市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89.通过数据分析，列表如下：
（1）直接写出表中，，的值：______，______，______．
（2）若“某市中小学生首届诗词大会”中，各中学代表队成绩计分分两部分：现场评委记分和网络评委投票记分．且现场评委记分权数为80%，网络评委投票记分权数为20%，请计算，，三所中学代表队的最终得分为多少？
解：（1）八（2）班的平均分a=（79+85+92+85+89）÷5=86，
将八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数b=85，
85出现了2次，次数最多，所以众数c=85．
故答案为86，85，85；
（2）中学A：90×0.8+85×0.2=89（分），
中学B：80×0.8+92×0.2=82.4（分），
中学C：85×0.8+88×0.2=85.6（分）．
21. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，求那时候每头牛、每只羊各多少两银子？
解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，
由题意得，，解得
答：每头牛3两银子，每头羊为2两银子．
22. （1）你探索出了哪些有关勾股数组规律？
（2）小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．再找几组数，看看他发现的规律是否正确．满足这个规律的数组都是勾股数组吗？
解：（1）探索的规律如下：①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后，仍然是一组勾股数；
②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数；
③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数；
（2）他发现的规律正确，理由如下：
例如勾股数6,8,10,约去公因数后为3,4,5,满足该形式
例如勾股数5,12,13,其中满足该形式，
故他发现的规律正确满足这个规律的数组都是勾股数组，理由如下：
若一组整数中的三个数，其中一个数为2mn，另外两个数分别可以写成
满足这个规律的数组都是勾股数组．
23. 如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：

①乙晚出发1小时：②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B地，其中正确的是 （填序号）．
解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：（千米小时），故③正确；
乙的速度为：（千米小时），
则甲到达地用的时间为：（小时），
乙到达地用的时间为：（小时），
，乙先到达地，故④正确；
故答案为：①③④
24. 如图，，点P为AB上方一点，E在直线AB上．
（1）如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；
（2）如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；
（3）如图3，NAB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n= ．
（1）证明：如图，过点P作，
∴∠PEB+∠MPE=180°，
∵，
∴，
∴∠C+∠CPM=180°，
即∠C+∠CPE+∠MPE =180°，
∴∠C+∠CPE=∠PEB，
∴∠CPE=∠PEB-∠C；
（2）解：由（1）的结论可得，
∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，
设，
可得，
，
∴
即
（3）解：n=1
如图，过点P作，过点G作，则，，
∴∠DCN=∠GNC，∠PCD=∠QPC，∠GNP+∠QPN=180°，
∴∠CNP=∠GNC+∠GNP=∠DCN+180°-∠QPN
=180°+∠DCN-(∠QPC+∠CPN)
=180°+∠DCN-(∠PCD +∠CPN)
=180°+∠DCN-∠PCD -∠CPN
=180°+∠DCN-∠PCD -∠CPN
=180°-∠PCN-∠CPN，
∴∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP
∵∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，
∴∠CPE=∠EPN+∠CPN=（n+1）∠CPN，
同理∠DCP=( n+1)∠PCN，
由（1）得，∠PEB=∠CPE +∠DCP=（n+1）∠CPN+( n+1)∠PCN=（n+1）（∠CPN+∠PCN），
∴∠PEA=180°-∠PEB=180°-（n+1）（∠CPN+∠PCN），
又∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，
∴∠PEA =180°-（n+1）（180°-∠CNP）=（n+1）∠CNP-n×180°，
当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，
即2∠CNP-（n+1）∠CNP+n×180°=180°，
∴（n-1）（∠CNP-180°）=0恒成立，
∵∠CNP≠180°，
∴n=1，
25. 如图，直线过点，直线轴于G点，点B与点A关于直线对称，直线与y轴交于点C，点F为y轴上一动点．
（1）求直线的解析式；
（2）点P为线段上一动点，过点P作的垂线段交于点H，当点P为线段的中点时，求的最小值及此时点F的坐标；
（3）在直线上是否存在一点P，使得以为直角边的为等腰直角三角形，若存在，直接写出所有点P的坐标及对应点F的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，，
∴，∴直线的解析式为；
（2）∵，点P为线段的中点，
∴，
∵直线轴于G点，点B与点A关于直线对称，
∴，
∴轴，
又∵，
∴，，
∴；
如图所示，以为边在y轴左侧作等边三角形EOF，过点O作于M，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，最小为，
∴，
∴，∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，∴，，
∴，，∴，
∴的最小值为
（3）当时，如图2所示，
过点P作轴于M，过点B作交延长线于N，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴，，
设，由题意得，
∴ ，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，∴；
当时，过点P作轴于T，如图3所示，
同理可证，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，∴；
综上所述，，或，．
班级
平均分
中位数
众数
八（1）
85
八（2）
85
85
中学
中学
中学
评委记分
90
80
85
网络投票记分
85
92
88