[数学][期中]河北省唐山市迁安市2023-2024学年高一上学期期中考试试卷(解析版)

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.
故选：D.
2. 已知幂函数的图像过点，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】因为幂函数的图像过点，
所以，即，所以.
故选：C.
3. 已知，，，则、、大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据指数函数的性质可知，
函数为单调递减函数，所以，即，
因为为单调递增函数，所以，即，
综上可知，.
故选：B.
4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，，所以不为同一函数，A错误；
对于B，定义域都为，且，
故为同一函数，B正确；
对于C，定义域为，而定义域为，
所以不为同一函数，C错误；
对于D，定义域为，而定义域为，
所以不为同一函数，D错误.
故选：B.
5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由不等式的解集为，
知是方程的两实数根，
由根与系数的关系，得，解得：，
所以不等式可化为，解得：或，
故不等式的解集为：.
故选：D.
6. 下列结论中不正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C. 若，则“”是“不全为”的充要条件
D. “为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
【答案】B
【解析】对于A选项，，
所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确；
对于B选项，充分性：若，则为直角，
所以为直角三角形，充分性成立；
必要性：若为直角三角形，
则“为直角”或“是直角”或“为直角”，
所以“”或“”或“”，
即必要性不成立，
因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误；
对于C选项，充分性：因为，若，则，
所以不成立，所以、不全为，充分性成立；
必要性：若、不全为，则，必要性成立；
因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确；
对于D选项，
充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立；
必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立，
所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确.
故选：B.
7. 已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题，使为真命题，
则，
解得或，
而命题“，使”是假命题，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】，，
，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 若集合，且，则实数的取值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D.
【答案】ABD
【解析】，又，
当，则，
当，则，
当，则．
故选：
10. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】由，则，，
所以，故A、C正确；
当时，，故B错误；
因为单调递减，则，故D错误.
故选：AC.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数在其定义域内是减函数
B.
C. 函数在上单调递增，其值域为
D. 若为奇函数，则为偶函数
【答案】BD
【解析】对于A，因为，，由反比例函数的性质可知，
函数在和上单调递减，
但函数在其定义域内不是减函数，故错误；
对于B，因为令，则，
所以恒成立，故正确；
对于C，由指数函数的性质可知，函数在上单调递增，其值域为，
故错误；
对于D，因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，
令，，
则，
所以为偶函数，即为偶函数，故正确.
故选：BD.
12. 若定义域为R的函数满足为奇函数，且对任意，都有，则下列正确的是（ ）
A. 的图像关于点对称
B. 在R上是增函数
C.
D. 关于x的不等式的解集为
【答案】BD
【解析】对A，因为定义域为R的函数满足为奇函数，
所以函数关于对称，A错；
对B，因为对任意，都有，
所以在上单调递增，根据函数的对称性可知在R上单调递增，B对；
对C，由关于对称可知，C错；
对D，因为为奇函数且定义域为R，所以，
∵在R上单调递增，由可得，D正确．
故选：BD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上.
13. 命题：“”的否定是__________.
【答案】
【解析】“”的否定是“”.
故答案为：.
14. 函数f(x)=的定义域为____________
【答案】(−3，0]
【解析】要使函数式有意义，需，
则函数的定义域为(−3，0].
故答案为：(−3，0].
15. 已知函数，且，则______．
【答案】
【解析】令
.
故答案为：.
16. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】根据题意得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）；
（2）若，求的值.
解：（1）
.
（2），
.
18. 已知，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，得，则.
（2）由，得或，
由于，，
当时，则，解得：，满足；
当时，要使成立，
则或，
解得：，
综上，实数的取值范围是或.
19. （1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
解：（1）由题意，设函数为，
，
，
即，由恒等式性质，得，
，，
所求函数解析式为.
（2）令，则，，
因为，
所以，
所以.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）在坐标系中画出函数的图象；
（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
当时，，，
函数为奇函数，，
函数的解析式为.
（2）的图象如图：
（3）由图象可知，函数的单调递增区间是.
要使在上单调递增，则，
解得，实数的取值范围是.
21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
解：（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时，，
当且仅当时，取等号，
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
22. 已知是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）是R上的奇函数，
，对任意，即，
即，对任意恒成立，
，即.
（2）为R上的增函数，证明如下：
任取，，且，
，
，，
，即，
所以函数为R上的增函数.
（3）不等式在R上恒成立，
，
又为R上的增函数，
在R上恒成立，
即，令，，
上式等价于对恒成立，
即，令，只需即可，
又，开口向下，对称轴为，，
，，
所以实数的取值范围为.