[数学][期中]江苏省南通市如皋市2023-2024学年高一上学期期中教学质量调研试题(解析版)

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
，
所以.
故选：C.
2. 若角终点上一点，且，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】由题意得：点在角的终边上，且，
所以：，解得：，（舍），故C项正确.
故选：C.
3. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
而，所以，所以，
故选：D.
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
5. 求函数的单调增区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，即，解得，
由函数表示开口向下，且对称轴为的抛物线，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数的单调增区间.
故选：A.
6. 已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数在上有且只有一个零点，
所以，即在上有且只有一个实根，
所以与的函数图象在时有一个公共点，
由于在单调递减，
所以，即.
故选：D.
7. 在内函数的定义域是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数，其中有意义，
则满足，其中，即，其中，
解得，即函数的定义域为.
故选：C.
8. 已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A. 1B. 10C. 11D. 1024
【答案】C
【解析】因为定义在上的函数，满足，
所以令，得，所以，
令，得，
因为，所以，
所以.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）
9. 下列代数式的值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，
故D正确.
故选：AD.
10. 下列命题正确的有（ ）
A. 存在正实数，，使得
B. 对任意的角，都有
C. 是与终边在同一条直线上的充要条件
D. 函数为奇函数是函数为奇函数的充要条件
【答案】AD
【解析】对于A，由，
可得，则可以取，此时满足题意，故A正确；
对于B，对任意的角，都有，故B错误；
对于C，当时，或，
此时与终边在同一条直线上，故充分性成立，
当与终边同在直线上时，不存在，
故必要性不成立，
故是与终边在同一条直线上的充分不必要条件，故C错误；
对于D，若函数为奇函数，设定义域为关于原点对称，则，
用替换，得到，此时定义域为，关于原点对称，
则函数为奇函数，故充分性成立，
若函数为奇函数，设定义域为关于原点对称，则，
用替换，得到，此时定义域为，关于原点对称，
则函数为奇函数，故必要性成立，
所以函数为奇函数是函数为奇函数的充要条件，故D正确.
故选：AD.
11. 已知实数，满足，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，，所以，则，故A正确；
对于B，正负无法确定，取，则满足，
但，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，由，得，
又因为，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最大值为2
C. 的增区间为
D.
【答案】ABC
【解析】对于A，当时，，此时函数周期为，
故，故A正确；
对于B，当时，
，当且仅当，即时等号成立，
所以，又因为当时，，函数周期为，
所以的最大值为2，故B正确；
对于C，当时，，此时，
所以在上为偶函数，
任取，且，
则
，
因为，且，
所以，，
所以，所以，
所以在单调递增，
根据周期性可知，的增区间为，故C正确；
对于D，取，则，
此时，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上.）
13. 已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为__________弧度.
【答案】2
【解析】设扇形的圆心角为，由题意得，，解得，
所以扇形的圆心角为2弧度.
故答案为：2.
14. 已知幂函数（其中，）为偶函数，且在上单调递减，则的值为_______.
【答案】1
【解析】因为函数幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以或1或2，
当或2时，定义域为，
且，此时函数为奇函数，不符合题意；
当时，定义域为，
且，此时函数为偶函数，符合题意；
综上所述，.
故答案为：1.
15. 希罗平均数（Hernianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为______.（用“≤”连接）
【答案】
【解析】由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立；
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以；
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以；
综上所述，，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
16. 已知，则________，若，则________.
【答案】
【解析】由题意，得，
所以，
所以，
因为，所以，又因为，得，
所以，得
又因为，所以，，
所以：.
故答案为： .
四、解答题（本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，求，的值.
解：因为，
所以，
当时，，
，则；
当时，，
，则；
综上所述，，或，.
18. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求方程的解集.
解：（1）因为函数为定义在上的偶函数，当时，，
所以任取，则，此时，
所以.
（2）当时，令，
即，
令，则，解得或，
当时，，
当时，，
根据偶函数对称性可知，当时，符合题意的解为，，
综上，原方程的解集为.
19. （1）证明：；
（2）已知，求的值.
解：（1）因为，
且，
所以.
（2）因为，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以.
20. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
（2）设备占地面积为多少时，的值最小？
解：（1）由题意得，
要满足题意，则，即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
21. 已知函数（其中），且.
（1）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）解不等式：.
解：（1）函数在上单调递增，证明如下：
因为，所以，所以，
任取，且，
则，
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递增.
（2）定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
所以不等式，即，
又因为在上单调递增，，，
所以，即，则，则，
所以或，即不等式的解集为.
22. 已知函数，.
（1）求的最大值；
（2）若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，此时，，
则；
当时，单调递减，此时，
综上所述，当时，取得的最大值.
（2）因为对任意，，不等式恒成立，
且，
所以对任意，恒成立，
由题意得，，
令，
则不等式可化为，
即对任意恒成立，
令，
则函数图象开口向上，对称轴，
当，即时，，解得，
符合题意；
当时，即时，，
即，不等式无解，该情况舍去；
当时，即时，，
解得，不符合题意，该情况舍去.
综上所述，实数的取值范围为.