新高考数学二轮复习核心考点讲与练重难点06两种数列最值求法（2份打包，原卷版+解析版）

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题型一：单调性法求数列最值
一、单选题
1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．有最大项，无最小项B．有最小项，无最大项
C．既无最大项，又无最小项D．既有最大项，又有最小项
【答案】D
【分析】根据等差数列的首项 SKIPIF 1 < 0 ,公差 SKIPIF 1 < 0 列方程,可得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,进而可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 通项,进而根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性,即可得最值.
【详解】等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公差为 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 单调递减,故 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 单调递减,故 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 有最大值为2,最小值为 SKIPIF 1 < 0
故选:D
2．（2022·北京·二模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 与等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项均为－3，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，确定数列 SKIPIF 1 < 0 中奇数项都是负数，偶数项都是正数，然后设 SKIPIF 1 < 0 ，用作差法得出 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而可得数列 SKIPIF 1 < 0 的最值．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 ，从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 递增，从 SKIPIF 1 < 0 往后递减，
由于 SKIPIF 1 < 0 中奇数项都是负数，偶数项都是正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 最大，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是最小项．
故选：A．
3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ，的得到 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后分析出数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性，得出答案.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 最大.
故选：C
4．（2022·广东·一模）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先令 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数，再分析 SKIPIF 1 < 0 的最值即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数，有 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值，从而 SKIPIF 1 < 0 有最大值，
因此，对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，因此，当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多选题
5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．满足 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值为2020
【答案】ACD
【分析】A选项，对 SKIPIF 1 < 0 化简后得到结果；B选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C选项， SKIPIF 1 < 0 是单调递减数列，故 SKIPIF 1 < 0 ；D选项，在B选项的基础上进行求解即可..
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是单调递减数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以满足 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值为2020，故D正确．
故选：ACD
6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增B．数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小
【答案】BC
【分析】由等比数列基本量求得等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比，由 SKIPIF 1 < 0 可得数列 SKIPIF 1 < 0 的增减性，然后由 SKIPIF 1 < 0 判断数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而得到 SKIPIF 1 < 0 的最值.
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 等比数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 中，从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 递增，从 SKIPIF 1 < 0 开始递减， SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 最大.
故选：BC
7．（2021·河北·高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差及前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．满足 SKIPIF 1 < 0 的最小 SKIPIF 1 < 0 值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值
【答案】AC
【分析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，利用等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式以及等差数列的性质可判断A；由 SKIPIF 1 < 0 可判断B；作差结合 SKIPIF 1 < 0 可判断C；由 SKIPIF 1 < 0 的单调性以及 SKIPIF 1 < 0 的符号即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
选项A中： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以满足 SKIPIF 1 < 0 的最小 SKIPIF 1 < 0 值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
选项B中： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
选项C中：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知公差 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
选项D中：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，故选项D不正确，
故选：AC.
8．（2022·江苏·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 一定是直角三角形B． SKIPIF 1 < 0 为递增数列
C． SKIPIF 1 < 0 有最大值D． SKIPIF 1 < 0 有最小值
【答案】ABD
【解析】先结合已知条件得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，得A正确，再利用面积公式得到递推关系 SKIPIF 1 < 0 ，通过作差法判定数列单调性和最值即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 一定是直角三角形，A正确；
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）
SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 不是恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为递增数列， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，无最大值，故BD正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.
9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，若存在数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则称数列 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）
A．若数列 SKIPIF 1 < 0 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则其“倒差数列”有最大值；
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则其“倒差数列”有最小值；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则其“倒差数列”有最大值.
【答案】ACD
【分析】根据新定义进行判断．
【详解】A．若数列 SKIPIF 1 < 0 是单增数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
虽然有 SKIPIF 1 < 0 ，但当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 不一定是单增数列，A正确；
B． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，无最大值，B错；
C． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，有最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
首先函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 是递减的，因此 SKIPIF 1 < 0 也是递减的，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的奇数项中有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大值．D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．
三、填空题
10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 有解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的解析式，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后，得到存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 有解，则有 SKIPIF 1 < 0 有解，进而必有 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ,即可求解.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有
SKIPIF 1 < 0 ，所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，根据规律，明显可见当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且此时的 SKIPIF 1 < 0 必为增函数，又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值，所以，
SKIPIF 1 < 0 ，所以，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 有解，则有 SKIPIF 1 < 0 有解，进而必有 SKIPIF 1 < 0 ，根据该函数的特性，明显可见，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以，此时有 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项为___________.（用数字作答）
【答案】1
【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前 SKIPIF 1 < 0 和公式，可判定数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】由题，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，得到数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤ SKIPIF 1 < 0 +12”为真，则实数λ的最大值为____.
【答案】7
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】令m=1，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，
所以λan ≤ SKIPIF 1 < 0 +12⇒λn≤n2+12⇒λ≤n+ SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为：7
13．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项的 SKIPIF 1 < 0 ________ .
【答案】6或 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 最大，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：6或7.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝ SKIPIF 1 < 0 ，an＋2an＋1＝0，则Sn－ SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值的积为________.
【答案】－ SKIPIF 1 < 0
【分析】先计算出公比，求出Sn，分奇偶性讨论得出Sn－ SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值，即可求解.
【详解】因为an＋2an＋1＝0，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以等比数列{an}的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为a1＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以Sn＝ SKIPIF 1 < 0 .
①当n为奇数时，Sn＝ SKIPIF 1 < 0 ，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝ SKIPIF 1 < 0 ，又Sn－ SKIPIF 1 < 0 随着Sn的增大而增大，故0＜Sn－ SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ；
②当n为偶数时，Sn＝ SKIPIF 1 < 0 ，Sn随着n的增大而增大，则 SKIPIF 1 < 0 ＝S2≤Sn＜1，又Sn－ SKIPIF 1 < 0 随着Sn的增大而增大，故 SKIPIF 1 < 0 ≤Sn－ SKIPIF 1 < 0 ＜0.
综上，Sn－ SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故Sn－ SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值的积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：－ SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分为奇偶性，分别求出 SKIPIF 1 < 0 ，通过判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性可求出其最大值
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 增大时， SKIPIF 1 < 0 在减小，
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，公差为1，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的单调性即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，易得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 …，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为 : SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项之积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用 SKIPIF 1 < 0 即项与和的关系方法求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）再由定义求得 SKIPIF 1 < 0 ，并利用作差法得出 SKIPIF 1 < 0 是递减的，从而易得最大值．
(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ①，∴ SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，由① SKIPIF 1 < 0 也满足上式，∴ SKIPIF 1 < 0 ③，
∴ SKIPIF 1 < 0 ④，由③④可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ,且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系即可求解；
（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.
(1)由题意,当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
SKIPIF 1 < 0
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
由 (1)，得当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项中奇数项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项中偶数项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 两，得
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
故， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立, 即不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调增
所以，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为递增数列，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时, SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2022·天津·高三专题练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 取最小值时 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)证明： SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (3)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，再用构造法得： SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.
（3）对 SKIPIF 1 < 0 进行放缩得： SKIPIF 1 < 0 ，再求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和即可证明此题.
SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
于是当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值.
(3) SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0
20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由已知等式变形得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）分析数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性，确定 SKIPIF 1 < 0 的符号，由此可求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
(2)解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足： SKIPIF 1 < 0
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用 SKIPIF 1 < 0 关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，将两式相减并整理有 SKIPIF 1 < 0 ，即可证结论.
（2）由（1）结论及题设可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，应用作差法比较它们的大小，即可确定 SKIPIF 1 < 0 的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围．
(1)由题设， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，得证.
(2)由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，结合（1）结论知：公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
题型二：不等法求数列最值
一、单选题
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线为l，数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，点 SKIPIF 1 < 0 为切线l上一点，则数列 SKIPIF 1 < 0 中的最小项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再构造不等式组求出数列 SKIPIF 1 < 0 中的最小项；
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
所以切线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为3的等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 中的最小项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，故可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在结合题意将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 ，再求数列 SKIPIF 1 < 0 的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3．（2021·浙江·高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由题意化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法可得 SKIPIF 1 < 0 ；根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法计算化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 计算即可.
【详解】解：显然，对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
累加可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．综上 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列 SKIPIF 1 < 0 通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中的最大项为（ ）
A．第1项B．第1010项C．第1011项D．第1012项
【答案】B
【分析】数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得结果.
【详解】解：依题意，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故最大项为第1010项，
故选：B．
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，an＝(n＋1) SKIPIF 1 < 0 n，则数列{an}中的最大项可以是（ ）
A．第6项B．第7项
C．第8项D．第9项
【答案】AB
【分析】假设an最大，则有 SKIPIF 1 < 0 解不等式组，可求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，从而可得答案
【详解】假设an最大，则有 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．
故选：AB
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，下列命题正确的有（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 一定有最大项
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列
D．当 SKIPIF 1 < 0 为正整数时，数列 SKIPIF 1 < 0 必有两项相等的最大项
【答案】BCD
【分析】分别代入 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；按k的范围分类，可判断D；
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，知A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以可判断 SKIPIF 1 < 0 一定有最大项，B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 为正整数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
结合B，数列 SKIPIF 1 < 0 必有两项相等的最大项，故D正确；
故选：BCD.
7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，著不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则下列结论正确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】先用两式相减的方法消去 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，判断A选项；再代入已知求出 SKIPIF 1 < 0 ，判断B选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C，D选项.
【详解】依题意得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此有： SKIPIF 1 < 0 ；
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取2时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，所以
①当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故C正确，D错误.
所以A、B、C正确；D错误.
故选：ABC
【点睛】知识点点睛：（1）已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ，利用前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 与通项公式 SKIPIF 1 < 0 的关系 SKIPIF 1 < 0 ，此时一定要注意分类讨论.
（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意 SKIPIF 1 < 0 只能取正整数.
三、填空题
8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分析可知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由参变量分离法可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用数列的单调性求得数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项的值，可得出关于实数 SKIPIF 1 < 0 的不等式，进而可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，在等式 SKIPIF 1 < 0 两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】5
【分析】首先根据 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再求当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时 SKIPIF 1 < 0 的值即可.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是常数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值.
故答案为：5
四、解答题
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，两式作商求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由（1）得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合乘公比错位相减法求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可求解.
(1)解：数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
两式作商，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ②，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
求得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即随着 SKIPIF 1 < 0 增大， SKIPIF 1 < 0 减小，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2022·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)证明见解析.
【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3即可依次算出 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)用作差法求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再求其前n项和；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 ，猜想 SKIPIF 1 < 0 ，用数学归纳法证明 SKIPIF 1 < 0 ；用导数证明 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，用这个不等式对 SKIPIF 1 < 0 放缩即可得证.
(1)依题 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)依题当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 也适合此式，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
猜想： SKIPIF 1 < 0 ①
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当 SKIPIF 1 < 0 时，①成立，即 SKIPIF 1 < 0 .
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故①成立.
先证不等式 SKIPIF 1 < 0 ②
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，即②成立.
在②中令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ③
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由①及③得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
证明完毕.
【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想 SKIPIF 1 < 0 ，并用数学归纳法证明 SKIPIF 1 < 0 ；根据结论构造不等式 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，然后用这个不等式对 SKIPIF 1 < 0 放缩.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使 SKIPIF 1 < 0 成立的正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)5.
【分析】（1）由已知条件求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用等比数列通项公式列方程组求基本量，写出等比数列通项公式即可.
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等差数列前n项和公式求 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可确定正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
(1)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴使 SKIPIF 1 < 0 成立的正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为5．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的的值；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）在已知等式中，令n=1求得a1,令n=2求得a2,令n=3,求得a3;
（2）根据一般数列和与项的关系，利用作差法消去和，得到项的递推关系，分解因式化简得到数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，进而求得通项公式；
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，利用作差法研究其单调性，求得最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】解：（1）令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 相减整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，n = 1时为正，n ≥ 2时为负.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）本题首先可通过 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据等比数列定义即可得出结果；
（2）本题可设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，再然后得出 SKIPIF 1 < 0 ，最后将其分为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三种情况进行讨论，即可得出结果.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 、公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 .
（2）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前项 SKIPIF 1 < 0 和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由题意可得当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 与已知条件两式相减，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，再检验 SKIPIF 1 < 0 是否满足 SKIPIF 1 < 0 即可.
（2）由等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，由不等式分离出 SKIPIF 1 < 0 ，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
两式相减可得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
16．（2021·河南洛阳·三模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由递推公式，结合等比数列的定义进行求解即可；
（2）利用商比法判断数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性进行求解即可.
【详解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
两式相减，得： SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是以2为公比，2为首项的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，易于知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ．