新高考数学二轮复习核心考点讲与练重难点07五种数列求和方法（2份打包，原卷版+解析版）

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题型一：等差等比公式法
一、单选题
1．（2022·山西·模拟预测（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，若 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的前6项的和为（ ）
A．31B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．63
2．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·山东菏泽·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的m， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的值随n的变化而变化B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 为递增数列
4．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 （公差不为零）和等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如果关于x的实系数方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解，那么以下2021个方程 SKIPIF 1 < 0 中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1008个B．1009个C．1010个D．1011个
二、多选题
5．（2022·山东枣庄·三模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第 SKIPIF 1 < 0 次得到数列 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
6．（2022·河南·模拟预测（文））设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于___________.
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =_______．
8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 公差 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若记数据 SKIPIF 1 < 0 的方差为 SKIPIF 1 < 0 ，数据 SKIPIF 1 < 0 的方差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
9．（2022·河北保定·二模）现有10个圆的圆心都在同一条直线上，从左到右它们的半径依次构成首项为1，公比为2的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，前3个圆如图所示，若P，Q分别为第1个圆与第10个圆上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.（用数字作答）
10．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 _____．
四、解答题
11．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，获得第四名的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为 SKIPIF 1 < 0 ，记乙进到 SKIPIF 1 < 0 阶的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 和递增的等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 和数列 SKIPIF 1 < 0 中的所有项分别构成集合 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 前63项和 SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022·山东菏泽·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，它的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ．
题型二：裂项相消法
一、单选题
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若对任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
2．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具，某数学兴趣小组利用该玩具制定如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的 SKIPIF 1 < 0 个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆上，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆上，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一杆上记为移动1次，记 SKIPIF 1 < 0 为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设 SKIPIF 1 < 0 ．下面结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）高斯函数 SKIPIF 1 < 0 也称为取整函数，其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超过x的最大整数，例如 SKIPIF 1 < 0 ．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
四、解答题
5．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使得 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
6．（2022·江西·模拟预测（理））各项都为正数的单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足 SKIPIF 1 < 0 （n∈N*）．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．
7．（2022·江苏盐城·三模）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，请在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中选择一个填在横线上并完成下面问题：
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·江西九江·三模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
9．（2022·山东枣庄·三模）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2022·浙江·模拟预测）已知递增的等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列．数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
11．（2022·河南·高二期中（文））已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比大于1，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2022·天津和平·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且満足 SKIPIF 1 < 0
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ；求 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
题型三：错位相减法
一、单选题
1．（2022·江西鹰潭·二模（理））若正整数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 只有 SKIPIF 1 < 0 为公约数，则称 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互质.对于正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是小于或等于 SKIPIF 1 < 0 的正整数中与 SKIPIF 1 < 0 互质的数的个数.函数 SKIPIF 1 < 0 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C． SKIPIF 1 < 0
D．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
2．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 （与3互素有1､2）； SKIPIF 1 < 0 （与9互素有1､2､4､5､7､8）.记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江西·二模（理））记数列 SKIPIF 1 < 0 中不超过正整数n的项的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·模拟预测）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，….其构造方法是:首先给出 SKIPIF 1 < 0 ，接着复制该项 SKIPIF 1 < 0 后，再添加其后继数 SKIPIF 1 < 0 ，于是，得 SKIPIF 1 < 0 ;然后再复制前面所有的项 SKIPIF 1 < 0 ，再添加 SKIPIF 1 < 0 的后继数 SKIPIF 1 < 0 于是，得 SKIPIF 1 < 0 ;接下来再复制前面所有的项 SKIPIF 1 < 0 ，再添加 SKIPIF 1 < 0 的后继数 SKIPIF 1 < 0 于是，得前 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 .如此继续下去，则使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的值不可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2021·江苏·高三阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等比数列B． SKIPIF 1 < 0 是递增数列
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
7．（2022·山东聊城·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为______．
8．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
9．（2022·天津市第四中学模拟预测）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）则 SKIPIF 1 < 0 ___________； SKIPIF 1 < 0 ___________；
（2）将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前50项和 SKIPIF 1 < 0 ___________；
（3）设数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
四、解答题
10．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，公差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
11．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2022·山东临沂·二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2022·山西·模拟预测（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022·天津·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求证： SKIPIF 1 < 0 .
题型四：分组（幷项）求和法
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公差的等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公比的等比数列，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）．
A．9B．10C．11D．12
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）若(2x＋1)(22x＋1)(23x＋1)…(2nx＋1)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝2 SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)
B．{ SKIPIF 1 < 0 －1}(n∈N*)为等差数列
C．设bn＝a1，则数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
D．设bn＝a1，则数列{bn}的前n项的和为 SKIPIF 1 < 0
3．（2022·河北·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．508B．506C．1011D．1009
二、多选题
4．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
6．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，前n项的和为Sn，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为1B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
7．（2022·云南昆明·模拟预测（理））记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
8．（2022·新疆·三模（理））设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
9．（2022·云南昆明·模拟预测（文））数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和等于___________．
四、解答题
10．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023·福建漳州·三模）已知等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
(1)求{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式：
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前10项和．
12．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是递增的等差数列， SKIPIF 1 < 0 是各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前9项的和 SKIPIF 1 < 0 ．
（注： SKIPIF 1 < 0 表示不超过x的最大整数）
13．（2022·河南洛阳·三模（理））已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
15．（2022·山东滨州·二模）已知公差为d的等差数列 SKIPIF 1 < 0 和公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，抽去数列 SKIPIF 1 < 0 的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序不变，构成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
题型五：倒序相加法
一、单选题
1．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行 SKIPIF 1 < 0 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．98B．99C．100D．101
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足对 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称．探究函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称中心，并利用它求 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高三专题练习）在进行 SKIPIF 1 < 0 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）定义 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，若方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解 SKIPIF 1 < 0 ，则称点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“拐点”.可以证明，任意三次函数 SKIPIF 1 < 0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（ ）
A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心也是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心
C．存在三次函数 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心
D．若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
6．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对 SKIPIF 1 < 0 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
7．（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 __________．
8．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 平分圆 SKIPIF 1 < 0 的周长，则数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项的和为___．
四、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2020项和 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 值是多少？.
13．（2012·江西宜春·高三阶段练习（理））设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上任两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）已知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， 若 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 都成立，求 SKIPIF 1 < 0 取值范围．