广东省四校联考2024届高三上学期联考（二）数学试卷(含答案)

这是一份广东省四校联考2024届高三上学期联考（二）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则图中的阴影部分表示的集合为( )
A.或B.或C.D.
2．在等差数列中,若,,则( )
A.16B.18C.20D.22
3．已知,则的值为( )
A.B.C.D.
4．设为正项等差数列的前n项和.若,则的最小值为( )
A.B.5C.9D.
5．命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
6．已知函数满足(其中是的导数)，若，，，则下列选项中正确的是( )
A.B.C.D.
7．若函数恰有两个零点,则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．若直角坐标平面内A,B两点满足:①点A,B都在函数的图象上;②点A,B关于原点对称,则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”.已知函数恰有两个“姊妹点对”,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若关于x的不等式的解集为,则
D.函数在区间内单调递增,则实数m的取值范围为
10．在数列中,,且对任意不小于2的正整数n,恒成立,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.,,成等比数列
D.
11．下列四个命题中,错误的是( )
A.“”是“关于x的方程有两个实数解”的必要不充分条件
B.命题“,使得”的否定是:“对,均有”
C.若,则函数的最小值是2
D.若函数在有极值0,则,或,
12．已知,分别是函数和的零点,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．数列中,,为的前n项和,若,则________.
14．已知函数定义域为R,满足,当时,则________.
15．已知定义在R上的函数满足:对任意都有,且当时,,对任意恒成立,则实数k的取值范围是________.
16．函数在上不单调,则实数a的取值范围是________.
四、解答题
17．已知曲线在点处的切线的斜率为3,且当时,函数取得极值.
（1）求函数在点处的切线方程;
（2）求函数的极值;
（3）若存在,使得不等式成立,求m的取值范围.
18．已知角的终边上一点,且,
（1）求tanθ的值;
（2）求的值;
（3）若,,且,求的值.
19．已知数列的前n项和为,且,数列的前n项积为,且.
（1）求,的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
20．已知函数（,e为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间;
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
21．江西某中学校园内有块扇形空地OPQ,经测量其半径为60m,圆心角为,学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD,初步设计方案1如图1所示.
（1）取PQ弧的中点E,连接OE,设,试用表示方案1中矩形ABCD的面积,并求其最大值;
（2）你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积?若有,在图2中画出来,并证明你的结论.
22．已知函数.
（1）当时,讨论函数零点的个数;
（2）当时,恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题可知图中的阴影部分表示,
或,
则,,
所以或.
故选:A.
2．答案：B
解析：因为是等差数列,设其公差为d,
所以,解得,
所以.
故选:B.
3．答案：D
解析：由,知,
则,
故选:D
4．答案：D
解析：由等差数列的前项和公式,可得,可得,
又由且,
所以,当且仅当时,即时,等号成立,
所以的最小值为.
故选:D.
5．答案：D
解析：命题“,”为真命题,则对恒成立,所以,故,
所以命题“,”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可,由于是的真子集,故符合,
故选:D
6．答案：C
解析：因为，
所以，所以，
令，则，，
所以在上递增，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
故选：C.
7．答案：C
解析：由题意知方程即有两个不同的解,
即与有两个不同的交点,
记,则,
当时,,单调递增;当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以当时,函数有极大值,当时,函数有极小值.
又因为时,;时,,且,
如下图:
数形结合可知时,函数恰有两个零点.
故选:C.
8．答案：A
解析：由题意知函数恰有两个“姊妹点对”,
等价于函数,与函数,的图象恰好有两个交点,
所以方程,即在(0,+∞)上有两个不同的解,
构造函数,则,
当时,,函数区间上单调递增,不符合题意;
当时,令,解得,所以函数在区间上单调递增,
令,解得,所以函数在区间上单调递减,
所以,解得,
又由,所以函数在上有且仅有一个零点,
令,则,
令,解得,所以函数在区间上单调递增,
令,解得,所以函数在区间上单调递减,
所以,
所以,即,
又由,
所以函数在上有且仅有一个零点.
综上可得:,即实数a的取值范围是.
故选:A.
9．答案：BC
解析：对于A,令,则错误;
对于B,
,
而,所以,,,
则,即,正确;
对于C,由题知,故,正确;
对于D,由,得,
又函数的对称轴为,
根据复合函数的单调性知的单调递增区间为,
又在区间内单调递增,
则,故错误,
故选:BC
10．答案：BCD
解析：当时,,
当时,,则,
所以,所以,
所以,所以,
所以
因为不满足上式,所以,所以A错误,
对于B,因为,所以,所以B正确,
对于C,因为,所以,,,则,所以,,成等比数列,所以C正确,
对于D,因为,所以当时,
,
当时,满足上式,所以,所以D正确,
故选:BCD
11．答案：BCD
解析：对于A,若方程有两个实数解,则
且,
则“”是“关于x的方程有两个实数解”的必要不充分条件,
故A正确;
对于B,根据存在量词命题的否定是全称量词命题知,
命题“,使得”的否定是:
“对,均有”,故B错误;
对于C,等号成立的条件是,
此方程无实数解,故等号不成立,故C错误;
对于D,,因为有极值0,
所以,,
解得或,
又,,恒成立,
所以在R上单调递增,此时无极小值,
则D错误.
故选:BCD
12．答案：ABD
解析：因为,分别是函数,的零点,所以,,那么,可以看做函数和与函数图像交点的横坐标,
如图所示,点A,C,B分别为函数,,的图像与函数图像的交点,所以,因为函数和互为反函数,所以函数图像关于的图像对称,的图像也关于的图像对称,所以点和关于点对称,,,故AB正确;
由反函数的性质可得,因为单调递增,,
所以,所以,故C错;
当时,函数对应的函数值为,函数对应的函数值为,因为
,所以,
所以的范围为,那么,而,所以,故D正确.
故选:ABD.
13．答案：6
解析：由题意得,因为,即,所以数列构成首项,公比为2的等比数列,则,解得.
14．答案：
解析：因为,所以,
即,所以的周期为4,
则,
故答案为:.
15．答案：
解析：对任意x,都有,令,得,即,
,则,有,
,因此函数在上单调递增,
由,得,
于是,整理得,
依题意,对任意恒成立,令,,
函数,当时,,从而,
所以实数k的取值范围是.
故答案为:
16．答案：
解析：,令得,
由于,,,
分离常数a得.
构造函数,,所以在上递减,在上递增,,,.
下证:
构造函数,,当时,①,
而,即,所以,所以由①可得.所以当时,单调递增.
由于,所以当时,,故,也即.
由于,所以.
所以a的取值范围是
故答案为:
17．答案：（1）
（2）的极大值为极小值为1
（3）
解析：（1）由题得:,
结合题意可得,
解得,经检验符合题意,
故,,
所以在点处的切线方程为.
（2）由（1）知.
令,解得或,
令,解得,
故在,上单调递增,在上单调递减,
所以的极大值为,
的极小值为;
（3）在上有极大值,无极小值,
又因为,,所以,
所以要使不等式能成立,则.
所以,
故m取值范围是.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为角的终边上一点,且,
所以为第四象限角,且,
由,解得,
所以.
（2）由（1）可知:,
所以.
（3）因为,,且,,
则,
可得,,
所以
.
19．答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）时,;
时,,
经检验,当时,满足,因此.
时,;
时,,
经检验,当时,满足,因此.
（2）由（1）知,
,
,
两式相减得
故.
20．答案：（1）单调递增区间为,,单调递减区间为;
（2）答案见解析.
解析：（1）,求导得,因为,
令,即,解得或.
令,即,解得.
所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为.
（2）①当时,因为在上递减,
所以在区间上的最大值为,最小值为.
②当时,因为在上递减,在上递增,且,
所以在上的最大值为,最小值为.
③当时,因为在上递减,在上递增,且,
所以在上的最大值为,最小值为.
21．答案：（1）答案见解析
（2）有,作图见解析,证明见解析
解析：（1）如图所示,设OE交AD于点M,交BC于点N,显然矩形ABCD关于OE对称,
而点M、N分别为AD、BC的中点,,.
在中,,,
,
,即,
而,故矩形ABCD的面积
.
,,.
故当,即时,S取得最大值,此时,
矩形ABCD面积的最大值为.
（2）如图所示,在半径OP上截取线段AB为矩形的一边,作得矩形ABCD,
设,,可得,,
则,
所以矩形ABCD的面积为
,
,可得,
当时,即时,S有最大值为,
即教室面积的最大值为,现将两种方案的最大值进行比较大小:,方案2更合算.
22．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）由得,
当时,,在区间上单调递增,且x无限趋近于0时,,
又,故只有1个零点;
当时,令,解得,令,解得,
故在区间上单调递减,在区间上单调递增;
所以当时,取得最小值,
当时,,所以函数无零点,
当时,恒成立,所以函数无零点,
综上所述,当时,无零点,当时,只有一个零点;
（2）由已知有,所以,
所以,
构造函数,则原不等式转化为在上恒成立,
,记,所以,
令,解得,令,解得,
故在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,所以,即单调递增,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,
令,,则,
令,解得,令,解得,
故在单调递减,单调递增,
故的最小值为,
故a的取值范围是.