湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性检测数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为( )
A.B.C.D.
2．某中学高三年级共有学生800人,为了解他们的视力状况,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,若样本中共有女生11人,则该校高三年级共有男生( )人
A.220B.225C.580D.585
3．下列函数在区间上单调递增的是( )
A.B.C.D.
4．若,是夹角为的两个单位向量,且与的夹角为( )
A.B.C.D.
5．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A.B.C.D.
6．在中,,则( )
A.B.C.D.
7．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为( )
A.B.C.D.
8．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到,则的图象与直线的交点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
9．下列命题正确的是( )
A.“”是“”的充分条件B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的必要条件
10．有一组样本数据,,…,,其中是最小值,是最大值,则( )
A.,,,的平均数等于,,…,的平均数
B.,,,的中位数等于,,…,的中位数
C.,,,的标准差不小于,,…,的标准差
D.,,,的极差大于,,…,的极差
二、多项选择题
11．已知,且,则下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
12．已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,,,点C在底面圆周上,且二面角为45°,则( ).
A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为
C.D.的面积为
三、填空题
13．若为偶函数,则__________.
14．在正四棱台中,,,,则该棱台的体积为__________.
15．在中,,,点D为AB的中点,点E为CD的中点,若设,,则可用,表示为_________;若,则的最大值为_________.
16．已知函数,如图A,B是直线与曲线的两个交点,若,则______.
四、解答题
17．设命题方程有实数根;命题方程有实数根.已知p和均为真命题,求实数m的取值范围.
18．如图,在三棱锥中,,,,,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,,点F在AC上,.
（1）证明:平面APO;
（2）证明:平面平面BEF;
19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为;误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为.假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率％时,求临界值c和误诊率;
（2）设函数,当时,求的解析式,并求在区间的最小值.
20．记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的面积为,D为BC中点,且.
（1）若,求;
（2）若,求b,c.
21．已知函数的图像关于y轴对称.
（1）求k的值;
（2）若函数,,求的最大值.
22．如图,AB是的直径,C是圆周上异于A,B的点,P是平面ABC外一点,且.
（1）求证:平面平面ABC;
（2）若,点D是上一点,且与C在直径AB同侧,.
（ⅰ）设平面平面,求证:;
（ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.
参考答案
1．答案：A
解析：,所以复数的共轭复数为.
故选:A.
2．答案：C
解析：依题意,设高三男生人数为n人,则高三女生人数为人,
由分层抽样可得,解得.
故选:C.
3．答案：B
解析：对于A,在R上单调递减,故A错误;
对于B,易知开口向上,对称轴为,
所以在区间上单调递增,故B正确;
对于C,开口向下,对称轴为,
所以在上单调递增,在上单调递减,故C错误;
对于D,开口向上,对称轴为,
所以在上单调递减,故D错误.
故选:B.
4．答案：B
解析：因为,是夹角为的两个单位向量,
所以,
故,
,
,
故,
由于,故.
故选:B.
5．答案：B
解析：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
6．答案：B
解析：因为,
所以由正弦定理得,即,
则,故,
又,所以.
故选:B.
7．答案：C
解析：如图，过E作平面ABCD，垂足为O，过E分别作，，垂足分别为G，M，连接OG，OM，
由题意得等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与底面夹角分别为和，
所以，所以.
因为平面，平面ABCD，所以.
因为，，平面，，
所以平面EOG.因为平面EOG，所以.
同理，.又，故四边形OMBG是正方形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形EOG中，，
在直角三角形EBG中，，，
又因为，所有棱长之和为.故选C.
8．答案：C
解析：因为向左平移个单位所得函数为,所以,
而显然过与两点,
作出与的部分大致图像如下,
考虑,即处与的大小关系,
当时,,;
当时,,;
当时,,;
所以由图可知,与的交点个数为3.
故选:C.
9．答案：D
解析：对于A:由推不出,如,满足,但是,故A错误;
对于B:由推不出,如,满足,但是,
即不是的必要条件,故B错误;
对于C:由推不出,当时,故C错误;
对于D:若,则,即,所以,即是的必要条件,故D正确;
故选:D
10．答案：B
解析：对于选项A:设,,,的平均数为m,,,…,的平均数为n,
则,
因为没有确定,的大小关系,所以无法判断m,n的大小,
例如:1,2,3,4,5,6,可得;
例如1,1,1,1,1,7,可得,,;
例如1,2,2,2,2,2,可得,,;故A错误;
对于选项B:不妨设,
可知,,,的中位数等于,,…,的中位数均为,故B正确;
对于选项C:因为是最小值,是最大值,
则,,,的波动性不大于,,…,的波动性,即,,,的标准差不大于,,…,的标准差,
例如:2,4,6,8,10,12,则平均数,
标准差,
4,5,6,10,则平均数,
标准差,
显然,即;故C错误;
对于选项D:不妨设,
则,当且仅当,时,等号成立,故D错误;
故选:B.
11．答案：ACD
解析：因为,且,
对于A,,当且仅当时,等号成立,故A正确;
对于B,,
当且仅当时,即时,等号成立,故B错误;
对于C,,
当且仅当时,等号成立,所以,故C正确;
对于D,,
当且仅当时,等号成立,所以,故D正确.
故选:ACD
12．答案：AC
解析：依题意,,,所以,,
A选项,圆锥的体积为,A选项正确;
B选项,圆锥的侧面积为,B选项错误;
C选项,设D是AC的中点,连接OD,PD,
则,,所以是二面角的平面角,
则,所以,
故,则,C选项正确;
D选项,,所以,D选项错误.
故选:AC.
13．答案：2
解析：由函数,
因为函数为偶函数,即,
又由,
所以,
所以,解得.
故答案为:2.
14．答案：或
解析：正四棱台的对角面为是等腰梯形,其高为该正四棱台的高,
在等腰梯形中,,,
因为,则该梯形高,
所以该棱台的体积为.
故答案为:.
15．答案：①.,②.
解析：空1:因为E为CD中点,则,可得,
两式相加,可得到,
即,则;
空2:因为,则,可得,
得到,
即,即.
于是.
记,,
则,
在中,根据余弦定理:,
于是,
由和基本不等式,,
故,当且仅当取得等号,
则时,有最大值.
故答案为:;.
16．答案：
解析：设,,由可得,
由可知,或,,由图可知,
,即,.
因为,所以,即,.
所以,
所以或,
又因为,所以,.
故答案为:.
17．答案：
解析：当命题方程有实数根为真命题时,,解得或;
当命题方程有实数根为真命题时,,解得或,即为真命题时,,
所以p和均为真命题时.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明:设,则,
所以,
因为O为BC的中点,则,所以,
又因为,则,
因为,,,
则
,解得,所以F为AC的中点,
又因为为的中点,所以,
因为D,O分别为PB,PC的中点,所以,所以,
又因为平面ADO,平面ADO,所以平面ADO.
（2）证明:因为D,O分别为PB,PC的中点,所以,
所以,
因为,,,
所以,所以,所以,
因为,则,
又因为,,且BF,平面BEF,
所以平面BEF,
因为平面ADO,所以平面平面BEF.
19．答案：（1）,;
（2）,最小值为0.02.
解析：（1）依题可知,左边图形第一个小矩形的面积为,所以,
所以,解得:,
.
（2）当时,
;
当时,
,
故,
所以在区间的最小值为0.02.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）方法1:在中,因为D为BC中点,,,
则,解得,
在中,,由余弦定理得,
即,解得,则,
,
所以.
方法2:在中,因为D为BC中点,,,
则,解得,
在中,由余弦定理得,
即,解得,有,则,
,过A作于E,于是,,,
所以.
（2）方法1:在与中,由余弦定理得,
整理得,而,则,
又,解得,而,于是,
所以.
方法2:在中,因为D为BC中点,则,又,
于是,即,解得,
又,解得,而,于是,
所以.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,则其定义域为R,
又的图像关于y轴对称,所以恒成立,
即恒成立,
所以,
由于x的任意性,所以,故.
（2）由（1）知:,,,
所以,
令,因为,所以,
则问题转化为求的最大值,
又因为函数的图象开口向上,对称轴,所以分两种讨论,
当,即时,,
当,即时,,
综上所求.
22．答案：（1）证明见解析
（2）（ⅰ）证明见解析;
（ⅱ）.
解析：（1）如图,连接OC,
,,.
又C是以AB为直径的圆周上一点,.
,,.
,平面ABC,
平面ABC.又平面PAB,平面平面ABC.
（2）（ⅰ）由题意,四边形ABCD是圆O的内接四边形,
.,.
又点D在圆O上且与C在直线AB的同侧,.
又平面PAB,平面PAB,平面PAB.
设平面平面,
平面PCD,.
（ⅱ）连接PD,则,
取CD的中点E,连接PE,OE,则,,
由（ⅰ）知,平面平面,.
,.又平面PAB,平面PCD,
是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角.
,,.
,是边长为1的正三角形,
,又平面ABC,,
平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值为.