湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为( )
A.14B.15C.16D.18
3．已知非零数列满足，则( )
A.8B.16C.32D.64
4．的展开式中第四项的系数为540,则的值为( )
A.B.C.D.
5．为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为( )
A.26B.25C.24D.23
6．在中，，，，，则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数t的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支A,B两点，点C在x轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点P，则( )
A.B.C.D.
9．下列说法正确的是( )
A.已知随机变量，若，则
B.设，，则“”成立的充要条件是“”
C.已知，，则
D.若，，，则事件A与B相互独立
二、多项选择题
10．已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，直线l与抛物线C的准线相交于点N，则( )
A.的最小值为2
B.当直线l的斜率为时，
C.设直线，的斜率分别为，，则
D.过点B作直线的垂线，垂足为Q，交直线于点P，则
11．在平面四边形中，，，为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为.则下列说法正确的是( )
A.当时，M，N分别为线段，上的动点，则的最小值为
B.当时，三棱锥外接球的直径为
C.当时，以为直径的球面与底面的交线长为
D.当时，绕D点旋转至所形成的曲面面积为
三、填空题
12．已知复数，，若（为z的共轭复数），则实数m的取值范围为________.
13．已知在中，角A,B,C,所对的边分别为a,b,c，且，，则________.
14．已知函数的定义域为R，，，且对于，恒有，则________.
四、解答题
15．绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有M元素，乙地土质不含有M元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与M元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株.
(1)根据所给数据，完成下面的列联表（单位：株），并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与M元素含量有关联？
列联表
(2)从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为X，求X的分布列及方差
参考公式：，
参考数据：
16．如图，在多面体中，底面为直角梯形，，，平面，.
(1)证明：；
(2)若，，且多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
(1)当时，求在的单调区间及极值.
(2)若恒成立，求b的取值范围.
18．已知数列为等比数列，为等差数列，且，，.
(1)求，的通项公式；
(2)数列的前n项和为，集合共有5个元素，求实数t的取值范围；
(3)若数列中，，，求证：.
19．已知O为坐标原点，动点M在椭圆上，动点N满足，记点N的轨迹为E
(1)求轨迹E的方程；
(2)在轨迹E上是否存在点T，使得过点T作椭圆C的两条切线互相垂直？若存在，求点T的坐标：若不存在，请说明理由：
(3)过点M的直线交轨迹E于A，B两点，射线交轨迹E于点P，射线交椭圆C于点Q，求四边形面积的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，
，
所以.
故选：A
2．答案：D
解析：将数据从小到大排序可得10，12，14，14，15，16，20，24共8个样本数据，
则上四分位数即第75百分位数为，即为.
故选：D
3．答案：D
解析：由可得，则.
故选：D
4．答案：C
解析：因为的展开式中第四项为,
所以,
解得,
所以,
故选：C.
5．答案：C
解析：将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法，
而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法，
所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种.
故选：C
6．答案：A
解析：由题意，以C为坐标原点，所在直线为x轴，过C垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，由，可得D是以为直径的圆，
所以D的轨迹方程为，
取的中点为M，设,，
可得，所以，所以，
所以点M的轨迹方程为，圆心为，半径为1，
由，所以，所以，
所以，
所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：，
在R上单调递增.
令，在R上单调递增，
因为，所以为奇函数，
则化为
所以，解得，
.
故选：C
8．答案：B
解析：
如图,,,，
设,则,，
平分,,
,,
由双曲线定义可知，
，即,
在中，由余弦定理知
化简得,由得,
不妨令一条渐近线与线段的交点P在第一象限，则,.
故选：B
9．答案：A
解析：对于A，随机变量X服从正态分布，且对称轴为，
因为，所以，
故，故A正确；
对于B，当时，，当时，，
此时成立，但，故B错误；
对于C，，故，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：A
10．答案：BCD
解析：，设直线l的方程为.
对于A，把代入得，
设，，则,，
所以，A错；
对于B，当直线l的斜率为时，，B对；
对于C，由题意知
则，，
所以，C对；
对于D，由有，
因为的方程为，令得，
所以点P为的中点，即，D对.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：对于A，
如图，取中点，连接，，则，，
所以为二面角的平面角，角，
由题意可得,,，
当时，根据余弦定理可得，
当M为中点且时，长度最短，
由等面积法可得，求得最小值为故A对.
对于B，如图，,的外接圆的圆心分别为E,，三棱锥外接球的球心为O，连接,,，则,，
当时，则，所以，
所以球的半径.故B错.
对于C，当时，如图，过球心O作
则为的中点，且，又球半径为1，球与的一交点为H，
则，又过作，，
球与底面的交线如图，
所以交线长为，故C对.
对于D，转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，该圆锥母线长为，底面圆半径为1，
故面积为，故D对.
故选：ACD.
12．答案：
解析：,,
,,都是实数，且,
,解得,
即实数m的取值范围为
故答案为：
13．答案：/0.875
解析：因为，
由正弦定理可得，
即，所以，
即，因为，所以，
因为，所以，即,
所以.
故答案为：.
14．答案：/0.0625
解析：由可得，所以，
,，
,，
，，.
因为对于，恒有，
所以当时，，而，
故答案为：.
15．答案：(1)列联表见解析，该品种树苗成活与M元素含量无关联；
(2)X的分布列见解析，方差为.
解析：（1）依题意可得列联表如下：
零假设为：该品种树苗成活与M元素含量无关联.
根据列联表中的数据，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该品种树苗成活与M元素含量无关联.
（2）由题意知，不成活的树苗共有15株，甲地不成活的树苗有5株，X的可能取值为0,1,2,3,
故，，
，
故X的分布列为：
期望；
方差.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）在中，，
在中，，
所以，，
所以，又平面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）设多面体的体积为V，，
则，
解得，
如图，以C为坐标原点，,,所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
那么，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值；
(2)
解析：（1）当，时，，
则，
令，解得，
令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值，无极大值.
（2）依题意可得，对，恒成立，
即，令，
当时，，单调递减，
当时，，则，
令，解得，令，解得，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，即，
所以b的取值范围为.
18．答案：(1)，；
(2)；
(3)证明见解析
解析：（1）设数列的公比为q，数列的公差为d，
则由，，所以，所以，
，即，所以，
所以；
（2）设数列，
则，
所以
，
，
令，
，
可得，
故当时，最大，
且，，，
所以，即t的取值范围为.
（3）由,，
则当时，
，
当时，也满足上式，
所以，
，
所以原不等式成立.
19．答案：(1)；
(2)存在，或；
(3)
解析：（1）设，，则，，
由得，
又在椭圆C上，所以
代入化简得，
所以点N的轨迹E的方程为
（2）当两条切线的斜率存在时，设过点的切线为，
联立，消去y得
则由判别式，得，
设两条切线的斜率分别为,，依题意得
即，
又点T在轨迹E上，，解得,，
或
当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得不合题意，
综上，存在满足条件的点T，且点T的坐标为或.
（3）将代入轨迹E的方程，
可得，
由，
可得①，且，，
所以，
因为直线与y轴交点的坐标为，
所以的面积
，
将代入椭圆C的方程可得，
由，可得②，
令，由①②可知，
因此，故，
当且仅当，即时，取得最大值2，
由题知,的面积，又易知面积，
从而四边形的面积，
所以四边形的面积的最大值为.
类别
树苗成活情况
合计
成活
不成活
含M元素
不含M元素
合计
a
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
类别
树苗成活情况
合计
成活
不成活
含M元素
45
5
50
不含M元素
40
10
50
合计
85
15
100
X
0
1
2
3
P