佳木斯市第一中学校2024届高三上学期第三次调研考试数学试卷(含答案)

这是一份佳木斯市第一中学校2024届高三上学期第三次调研考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数（i为虚数单位）,则z的共轭复数为( )
A.B.C.D.
3．设向量,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．下列不等式正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,,则
D.若,,,且,则
5．科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出了“牛顿数列”,其定义是:对于函数,若数列满足,则称数列为牛顿数列,若函数,数列为牛顿数列且,,则的值是( )
A.8B.2C.D.
6．如图所示,一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点,沿逆时针方向运动,每3s转一圈.则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是( )
A.B.
C.D.
7．已知函数,若对于任意,都有,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知,则等于( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是( )
A.若,则
B.若,,,则符合条件的三角形有一个
C.若,,,则为钝角三角形
D.若,则直角三角形
10．下列四个命题正确的是( )
A.若,则的最大值为3
B.若复数,满足,,,则
C.若,则点P的轨迹经过的重心
D.在中,D为所在平面内一点,且,则
11．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,内角B的平分线交AC于点D且,则下列结论正确的是( )
A.
B.b的最小值是2
C.的最小值是
D.的面积最小值是
12．已知函数,函数满足,则( )
A.
B.函数的图象关于点中心对称
C.若实数a、b满足,则
D.若函数与图象的交点为,,,…,,
则
三、填空题
13．平面向量,,则向量在上的投影向量坐标为_________.
14．设公差不为0的等差数列的前n项和为,已知,则_________.
15．在中,点D在线段AC上,且满足,点Q为线段BD上任意一点,若实数x,y满足,则的最小值为_________.
16．已知函数的部分图象如图,,则_________.
四、解答题
17．已知数列的首项为,前n项和为.已知.
（1）证明:等差数列;
（2）若,,成等比数列,求的最小值及取到最小值时的值.
18．已知函数,直线是函数的图象的一条对称轴.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若,,求的值.
19．知中,,,,,N为边AC上的中点,且AM,BN相交于点P.
（1）求;
（2）求的余弦值.
20．在①;
②,两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,三角形面积为S,若D为AC边上一点,满足,,且_________.
（1）求角B;
（2）求的取值范围.
21．已知函数,.
（1）当时,求在处的切线方程;
（2）讨论函数的单调性.
22．已知函数,且有两个不同的零点,.
（1）求a的取值范围;
（2）比较与的大小.
参考答案
1．答案：C
解析：由题可得,故,
解可得,则,
故,
故选:C
2．答案：B
解析：,
则z的共轭复数为,
故选:B.
3．答案：B
解析：若,则,整理得,所以或,
所以不能推出,而能推出,
所以是的必要不充分条件.
故选:B.
4．答案：D
解析：对于A,当,,时满足,但,所以A错误;
对于B,当,,时,满足,但,所以B错误;
对于C,由不等式的基本性质易知,当,,时满足,,但,所以C错误;
对于D,,所以,故D正确.
故选:D.
5．答案：C
解析：根据题意,
,
所以,
又,
所以为首项是2,公比是的等比数列,
所以,
所以,
所以,
故选:C.
6．答案：C
解析:由题意知,初相为,
因为y表示距离,为非负数,所以BD选项错误;P点的初始位置为,在第四象限,所以C选项符合,A选项不符合.
故选:C.
7．答案：B
解析：由且得:,
构造函数,即有,
由单调性的定义可知:在上单调递增,
①当时,,满足在上单调递增;
②当时,二次函数的对称轴为,
所以函数在上单调递增,满足题意,
③当时,要使在上单调递增,则有,
解得:.
综上:.
故选:B
8．答案：A
解析：由且,可得,
根据正弦定理得,
即,
因为,可得,所以.
故选:A.
9．答案：AD
解析：对于A,若,则,所以由正弦定理,可得,故A正确;
对于B,若,,,
根据正弦定理可得,,又,
所以B有两解,可以是锐角,也可以是钝角,所以符合条件的三角形有两个,故B错误
对于C,若,,,由得为的最大角,
因为,由余弦定理,
所以角为锐角,即为锐角三角形,故C错误;
对于D,由得,即,
又,所以
因为,,所以,
所以,所,故D正确.
故选:AD
10．答案：ABC
解析：对A,由的几何意义,知复数z对应的动点Z到定点的距离为1,即动点Z的轨迹以为圆心,1为半径的圆,表示动点Z的轨迹以的距离,由圆的性质知:,A正确;
对B,设,,因为,
所以,,,,
所以,
所以
,B正确;
对C,由正弦定理的,即,
,设BC中点为E,
如图:
则,则,由平面向量的共线定理得A,P,E三点共线,即点P在边BC的中线上,故点P的轨迹经过的重心,C正确;
对D,如图由已知点D在中与AB平行的中位线上,且靠近BC的三等分点处,故有,,,所以,D错误.
故选:ABC
11．答案：ABD
解析：由题意得:,
由角平分线以及面积公式得,
化简得,所以,故A正确;
,当且仅当时取等号,
,,
所以,当且仅当时取等号,故D正确;
由余弦定理
所以,即b的最小值是,当且仅当时取等号,故B正确;
对于选项C:由得:,,
当且仅当,即时取等号,故C错误;
故选:ABD.
12．答案：BD
解析：对任意的,,
所以函数的定义域为R,
因为
,
所以,故A错误;
因为,
所以,
所以函数的图象关于点中心对称,故B正确;
对于C,由,
则,此时,故C错误;
对于D选项,由上可知,函数与图象都关于点对称,
若函数与图象的交点个数为偶数,
且与,与,…都关于点对称,
所以,
所以,
若函数与图象的交点个数为奇数,
且与,与,…都关于点对称,
则,且,
所以,
故D正确.
故选:BD.
①函数的图象关于点对称,则;
②函数的图象关于直线对称,则.
13．答案：
解析：由向量,,可得,
则,,
则向量在上的投影向量坐标为.
故答案为:.
14．答案：7
解析：根据等差数列的前n项和的性质得,
又因为,
所以,
所以,
设等差数列的首项为,公差为d,
则,
所以,且,
所以,得.
故答案为:7
15．答案：
解析：因为,则,
由B,Q,D三点共线可得,,,
则,
当且仅当时,即,时,等号成立,所以的最小值为.
故答案为:.
16．答案：
解析：由函数的图象可知该函数经过、两点,
把代入函数解析式中,得,
因为,所以,即,
把代入中,得
,
设该函数的最小正周期为T,由图象可知,
所以令,得,即,
该函数的对称轴为:,
与函数的图象可知:,关于对称,
因此有,且,
,
故答案为:
17．答案：（1）证明见解析
（2）或时.
解析：（1）证明:因为①,
当时,②,
①-②得,,
即,所以且,
所以是以1为公差的等差数列.
（2）由（1）可得,,,
又,,成等比数列,所以,即,解得,
所以,所以,
所以,当或时.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）,
当时,,,得,,
,
,
即,
令,,
解得:,,
函数的单调递增区间是,;
（2）,
,得,
,,,
.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
所以,
即.
（2）,
所以,
所以
所以
,
所以
故的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）选择①,,
,即,
由正弦定理得,,
,
,
,,即.
选择②,,
,
,
,
,
由正弦定理得,,
即,
所以,,即.
（2）由（1）知,,
因为,所以,,
在中,由正弦定理得,
即,
在中,,
,
,,
,
,,,
所以的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）当时,,,
,,
切线方程为:,即.
（2）因为,.
所以.
①当时,令,得,在上单调递减;
令,得,在上单调递增.
②当时,令,得.在上单调递减;
令,得或.在和上单调递增.
③当时,在时恒成立,在R单调递增.
④当时,令,得.在上单调递减;
令,得或.在和上单调递增.
综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在和上单调递增;
当时,在R上单调递减;
当时,在上单调递减,在和上单调递增.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
因为函数在上单调递增,所以,
当时,,函数在上递增,
此时函数在上最多一个零点,与题意矛盾;
当时,令,则
所以函数在上递减,在上递增,
所以
因为函数在上有两个不同的零点,
所以,即,
令,
则,,
当时,,当时,,
所以函数在上递增,在上递减,
所以
则当时,,
所以不等式组的解为且,
即a的取值范围为,
综上所述a的取值范围为;
（2）（1）得,
因为,则为函数的一个零点,
不妨设,
①当时,则,
由为函数的零点,
得,则,
则要证不等式,即证,
即证,即证,
即证,
令,
则,
所以函数在上递减,
所以,
所以;
②当时,则,
由为函数的零点,
得,则,
则要证不等式,即证,
即证,即证,
即证,
令,
则,
所以函数在上递增,
所以,
所以,
综上所述.