江苏省南京市六校2024届高三上学期10月联合调研数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市六校2024届高三上学期10月联合调研数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.RD.
2．设是等比数列，且，，则( )
A.12B.24C.30D.32
3．下列求导正确的是( )
A.B.
C.D.
4．已知角终边上有一点,则是( )
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
5．已知直线和圆交于两点,则的最小值为( )
A.2B.C.4D.
6．已知样本数据,,,,,的平均数为16,方差为9,则另一组数据,,,,,,12的方差为( )
A.B.C.D.7
7．已知定义在R上的偶函数满足,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数的一个周期为2
C.
D.函数的图象关于直线对称
8．已知点M,N是抛物线上不同的两点,F为抛物线的焦点,且满足,弦的中点P到直线的距离记为d,若不等式恒成立,则的取值范围( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设复数z满足,则下列说法错误的是( )
A.z为纯虚数
B. z的虚部为2i
C.在复平面内,对应的点位于第二象限
D.＝
10．已知向量,,且,则( )
A.B.
C.向量与向量的夹角是D.向量在向量上的投影向量坐标是
11．已知函数,下列说法正确的是( )
A.函数的值域为
B.若存在,,使得对都有,则的最小值为
C.若函数在区间上单调递增,则的取值范围为
D.若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点,则的取值范围为
12．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.当时,在上单调递增
B.若的图象在处的切线与直线垂直,则实数
C.当时,不存在极值
D.当时,有且仅有两个零点,,且
三、填空题
13．在的展开式中,的系数为__________________．
14．2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有___________种.
15．已知,若,,则实数的取值范围是______________．
16．在正三棱锥中,底面的边长为4,E为AD的中点,,则以D为球心,AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为_____________．
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为,且满足,．
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足,求数列的前项和．
18．已知函数,
（1）求函数的最值;
（2）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,且,求的面积．
19．在三棱锥中,是边长为4的正三角形,平面平面,,M、N分别为,的中点．
（1）证明：;
（2）求二面角正弦值的大小.
20．为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个比赛项目均采取五局三胜制(即有一方先胜3局即获胜，比赛结束)，假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响.
(1)求甲班在项目A中获胜的概率；
(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）设.如果对任意,且,,求a的取值范围.
22．已知双曲线过点,离心率.
（1）求双曲线C的方程;
（2）过点的直线l交双曲线C于点M,N,直线,分别交直线于点P,Q,求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：由指数函数性质可知,,
由得,所以,
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得.
所以，故选D.
3．答案：C
解析：对于A,,故A错误;
对于B,根据复合函数的求导法则,
,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D错误.
故选：C.
4．答案：C
解析：因为是第二象限角,所以,
所以点P在第四象限,即角为第四象限角,
所以为第一象限角,所以为第三象限角.
故选：C
5．答案：D
解析：,令,则,所以直线l过定点,
当,得,则在圆内,则直线l与圆必有两交点,
因为圆心到直线l的距离,所以．
故选：D.
6．答案：C
解析：设数据,,,,,的平均数为,方差为,
由,,得,,
则,,,,,,12的平均数为,
方差为
．
故选：C.
7．答案：C
解析：,函数关于点中心对称,因此选项D不正确;
又因为函数为偶函数,所以,
由,
所以函数的周期为4,所以选项B不正确;
因为函数是周期为4的偶函数,
所以,因此选项A不正确;
在中,令,得,
因为函数的周期为4,,因此选项C正确,
故选：C.
8．答案：D
解析：在中,令,,
由余弦定理得,
则有,
显然直线是抛物线的准线,过M,P,N作直线l的垂线,垂足分别为A,B,C,如图,
而P为弦的中点,为梯形的中位线,由抛物线定义知,,
因此,
当且仅当时取等号,又不等式恒成立,等价于恒成立,则,
所以的取值范围是.
故选：D.
9．答案：ABC
解析：设复数,由得,
则,故A错误;
z的虚部为,故B错误;
复平面内,对应的点为,对应的点位于第三象限,故C错误;
,故D正确.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：因为向量,,所以,
由得,解得,所以,故A正确;
又,所以,故B错误;
设向量与向量的夹角为,因为,,
所以,又,所以,
即向量与向量的夹角是,故C正确;
向量在向量上的投影向量坐标是,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：已知函数,可知其值域为,故选项A正确;
若存在,,使得对都有,
所以的最小值为,故选项B错误;
函数的单调递增区间为,
,
所以,令,则,的取值范围为,故选项C正确;
若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点,,
由如图可得：,
的取值范围为,故选项D正确;
故选：ACD.
12．答案：ABD
解析：因为,定义域为且,
所以,
对于A,当时,,所以在和上单调递增,故A正确;
对于B,因为直线的斜率为,
又因为的图象在处的切线与直线垂直,
故令,解得,故B正确;
对于C,当时,不妨取,
则,
令,则有,解得,
当时,,在上单调递增;
当时,,在,上分别单调递减;
所以此时函数有极值,故C错误;
对于D,由A可知,当时,在和上单调递增,
当时,,
,
所以在上有一个零点,
又因为当时,,
,
所以在上有一个零点,
所以有两个零点,分别位于和内;
设,
令,则有,
则
,
所以的两根互为倒数,所以,故D正确．
故选：ABD.
13．答案：240
解析：在的展开式中,的系数为;
在的展开式中,的系数为;
所以在的展开式中,的系数为;
故答案为：240.
14．答案：80
解析：先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有种.
故答案为:80.
15．答案：
解析：作函数图象,如图,
设,则,
,,,
又,,
,
,
设,,,
当时,,函数为增函数,
,
即实数的取值范围是
故答案为：.
16．答案：
解析：记CD中点为F,作平面BCD,垂足为O,
由正三棱锥性质可知,O为正三角形BCD的中心,所以O在BF上,
因为平面BCD,所以,
由正三角形性质可知,,
又,,平面ABO,
所以平面ABO,
因为平面ABO,所以,
又,,,平面ACD,
所以平面ACD,
因为平面ACD,所以
由正三棱锥性质可知,,,两两垂直,且,则,
如图,易知以D为球心,AD为半径的球截该棱锥各面所得交线,是以D为圆心,AD为半径的三段圆弧,
则,,
则其圆心角分别为,,
所以其交线长为,
故答案为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设数列等差数列的公差为d,
因为,所以,则,
因为,即,所以,
所以,,
所以,即.
（2）因为,所以,
所以
．
18．答案：（1）最大值为2,最小值为-2
（2）或
解析：（1）因为
,
所以的最大值为2,最小值为-2．
（2）结合(1)可知,所以．
因为,所以,
则,．
由余弦定理得,
化简得①．
又,由正弦定理可得,即②．
结合①②得,或,．
时,;时,．
综上,的面积为或．
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AC得中点O,连接SO,OB,
,,,,
又SO,BO交于点O,平面,平面,
于是可知平面,
又平面,;
（2）平面平面,平面平面,平面,,
平面,
以OA为x轴,OB为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系,
那么,,,,,
,,
设为平面CMN的一个法向量,
那么,取,那么,,
,
又为平面一个法向量,
,,
即二面角的正弦值为.
20．答案：(1)
(2)分布列见解析，
解析：(1)记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则，
所以甲班在项目A中获胜的概率为.
(2)记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则，
X的可能取值为0，1，2，
则，
，
.
所以X的分布列为
.
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为.
21．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）的定义域为,.
当时,,故在单调递增;
当时,,故在单调递减;
当时,令,解得.
由于在上单调递减,
故当时,,故在单调递增;
当时,,故在单调递减.
（2）,
由得,所以在单调递减,
设从而对任意,,
恒有,
即,
令,则等价于在单调递减,
即恒成立,从而恒成立,
故设,
则
,
当时,为减函数,
时,,为增函数.
,
a的取值范围为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题知,解得,,,
;
（2）设直线,,,
联立,则,
则,,,
设直线,,
令,,,
则,
因为
所以,B为PQ的中点,所以.
X
0
1
2
P