第1章 特殊平行四边形全章复习攻略（1个性质3个图形4种思想）与检测卷-2024年九年级数学上册讲义（北师大版）

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第1章 特殊平行四边形全章复习攻略与检测卷【目录】【1个性质】 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半【3个图形】 【3种思想】 1.数形结合思想2.转化思想3.分类讨论思想4.猜想归纳思想【检测卷】 【题型分类突破】【1个性质】 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半1．（2022秋•顺德区期末）如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线．（1）求证：BD＝AC；（2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P在BC上移动时，求PE+PF的值．2．（2022秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：∠AEC＝∠C；（2）求证：BD＝2AC；（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．3．（2023春•黄陂区期中）如图所示，一根长2.5米的木棍AB，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P．此时木棍A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行．（1）木棍在滑动的过程中，线段OP的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求OP的长；（2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少距离？【3个图形】 一．菱形的判定与性质4．（2023•乌鲁木齐模拟）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）证明四边形BEDF是菱形．5．（2023•龙凤区模拟）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AE＝13，AD＝24，试求四边形AEDF的面积．6．（2023春•建湖县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BD的垂直平分线交AD、BC分别于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE为菱形；（2）若BC＝8，CD＝4，求四边形BFDE的周长．7．（2023•定远县二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点E在AD边上，连接BE、BD，若EB＝BC，BD平分∠EBC．（1）如图1，求证：四边形EBCD是菱形；（2）如图2，连接CE交BD于点O，连接AO，若EC＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于的线段．8．（2023•鹿城区校级二模）已知在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，取AD中点Q，过Q作EF⊥AD，且E，F关于AD成轴对称（EF＞BC），连结AE，AF，ED，FD，分别交AB，AC于点G，H．（1）求证：四边形AEDF为菱形．（2）记△ABC的面积为S1，菱形AEDF的面积为S2，且，当AB＝13时，求BG的长．二．矩形的判定与性质9．（2023•德兴市一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点D为斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN．（1）当点D为BC的中点时，线段MN与BC有何位置关系？并说明理由．（2）当点D在什么情况下时，线段MN的长最小？这个最小值是多少？10．（2023•东昌府区二模）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，AB＝BC，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，连接OE．​（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）设AC＝12，BD＝16，求OE的长．11．（2023•南明区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，DE∥AC，DE＝OC．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求四边形ACDE的面积．12．（2023春•青秀区期中）如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，若AB＝5，AD＝3，取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．13．（2023•双阳区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形．（2）若四边形ABCD为菱形，H为AB中点，连接OH，若DF＝3，AE＝4，则OH长为 　　．14．（2023•西山区模拟）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）若BF⊥EF，求证：四边形BFEC是矩形；（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当四边形BFEC是菱形时，求菱形BFEC的面积．三．正方形的判定与性质15．（2023春•玄武区期中）如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．【3种思想】 1.数形结合思想16．（2023春•潍坊期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD的度数为（　　）A．37° B．74° C．96° D．106°17．（2023•东方二模）如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积是3cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）A．1cm B．2cm C．3cm D．1cm或3cm2.转化思想18．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）A． B． C． D．19．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是　 ．20．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是　 　．3.分类讨论思想21．（2023春•大连期中）数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动．（1）操作判断小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：步骤①：如图1，对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；步骤②：连接AF，BF．可以判定△ABF的形状是：　 　．（直接写出结论）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕EF后把纸片展平；在BC上选一点P，沿AP折叠AB，使点B恰好落在折痕EF上的一点M处，连接AM．小华得出的结论是：∠BAP＝∠PAM＝∠MAD＝30°．请你帮助小华说明理由．（2）迁移探究小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下：如图3，第一步与步骤①一样；然后连接AF，将AD沿AF折叠，使点D落在正方形内的一点M处，连接FM并延长交BC于点P，连接AP，可以得到：∠PAF＝　 　°（直接写出结论）；同时，若正方形的边长是4，可以求出BP的长，请你完成求解过程．（3）拓展应用如图4，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P为BC上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将△ABP沿着AP折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连结MA，MD，当△MAD为等腰三角形时，可求得BP的长为 　 ．（直接写出结论）​22．（2023•深圳模拟）过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．4.猜想归纳思想23．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　）A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014二．填空题24．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以对角线的一半为边依次作平行四边形，则S＝　6　，S＝　　．25．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y＝﹣x+2上，则点A3的坐标为　 　．26．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2＝B1B2＝C1C2＝D1D2＝A1B1，…．依次规律继续下去，则正方形AnBn∁nDn的面积为　　 ． 【检测卷】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（　　）A．14 B．20 C．24 D．282．（3分）下列命题是真命题的是（　　）A．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形3．（3分）下列四种说法：①矩形的两条对角线相等且互相垂直；②菱形的对角线相等且互相平分；③有两边相等的平行四边形是菱形；④有一组邻边相等的菱形是正方形．其中正确的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（3分）如图，点E在矩形ABCD的对角线AC上，正方形EFGH的顶点F，G都在边AB上．若AB＝5，BC＝4，则tan∠AHE的值是（　　）A． B． C． D．5．（3分）已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则另一条对角线长为（　　）A．3 B．4 C．5 D．66．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，自点A作AE⊥BD于点E，且BE：ED＝1：3，过点O作OF⊥AD于点F，若OF＝3cm，则BD的长为（　　）cm．A．6 B．9 C．12 D．157．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为（　　）A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC8．（3分）下列命题中，假命题是（　　）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．（3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点F是OB的中点，若OB＝8，OC＝6，则EF的长是（　　）A．7 B．5 C．4 D．310．（3分）如图，用宽度都是2的矩形纸带叠放成一个锐角为60°的四边形，则此四边形的面积S为（　　）A．4 B． C． D．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　 　．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．12．（3分）矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果△ABC的周长比△AOB的周长大10cm，则边AD的长是　 　．13．（3分）如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：　 　，使四边形DFAE是矩形．14．（3分）已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC＝AC，AE交CD于F，则∠AFC＝　 　度．15．（3分）若四边形ABCD为菱形，要使四边形ABCD为正方形，则可以添加一个条件为　 　．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，则OE的长是　 　．17．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线长分别为4和5，则其面积为　 　．18．（3分）已知∠AOB＝30°，点D在OA上，OD＝，点E在OB上，DE＝2，则OE的长是　 　．三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．20．如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：（1）求证：OB＝OD；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）求AM的长．21．如图：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F，EF⊥AC，连接AF、CE．（1）求证：OE＝OF；（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论；（3）若∠EAF＝60°，AE＝6，求四边形AECF的面积．22．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO＝15°．（1）试比较线段AO与AE的大小．并证明你的结论；（2）连接OE，求∠AOE的大小．23．如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F．求证：EF⊥AP．24．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证：四边形BEFD是矩形；（3）四边形BEFD的周长为 　 　．