专题04一元二次方程（3个知识点4大题型2个易错点中考2种考法）-2024年九年级数学上册讲义（北师大版）

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专题04一元二次方程（3个知识点4大题型2个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点） 知识点2一元二次方程的一般形式（重点）知识点3一元二次方程的解（重点）【方法二】 实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值题型三：一元二次方程新定义问题题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论【方法三】 差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式【方法四】 仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值考法2根据实际问题列一元二次方程【方法五】 成果评定法【知识导图】 【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．1．（2023春•文登区期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝﹣3知识点2一元二次方程的一般形式（重点）（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．2．（2023春•鼓楼区校级期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　）A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝03．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝64．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5知识点3一元二次方程的解（重点）（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．5．（2023春•巴东县期中）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（　　）A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值6.（2023•桐柏县一模）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（　　）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣17．（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　）A．a≥2 且 a≠2 B．a≥0 且 a≠2 C．a≥2 D．a≠2题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值8．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（　　）A．2023 B．2022 C．2021 D．20209．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为 　　．10．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为 　 　．11．（2022秋•梁山县期末）已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．12．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．13．（2023•鹤山市模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根．题型三：一元二次方程新定义问题14．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．15．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．16．（2022秋•长汀县期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）试判断方程x2+2x+1＝0 　　“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．17．（2022秋•南昌期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　 　；判断241 　 　“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论18．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．19．（2022秋·九年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件20．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 　　．易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式21．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（　　）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【方法四】 仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值22．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 　　．23．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝　　．24．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝　　．25．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．404426．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　　．考法2根据实际问题列一元二次方程27．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 （不必化简）．【方法五】 成果评定法一、单选题1．（2023·江西抚州模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（    ）A． B． C． D．2．（2023·广东东莞模拟预测）将方程化成的形式，则，，的值分别为（    ）A．，， B．，， C．，， D．，，3．（2022春·甘肃兰州阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是(　　)A． B． C． D．不能确定4．（2023秋·广东湛江期末）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（    ）A． B．1 C．或 D．05．（2023·广东惠州·统考一模）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ）A．1 B．1或 C． D．0.56．（2023春·广东广州开学考试）若a是方程的一个解，则的值是（   ）A．10 B．5 C． D．二、填空题7．（2022秋·福建泉州期末）一元二次方程的一次项系数为______．8．（2022秋·江西赣州期末）用公式法解一元二次方程时，应先将其化成“一般形式”为________．9．（2022秋·河南南阳期末）若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．10．（2022秋·四川乐山期末）若关于x的一元二次方程，则__________．11．（2023·山东东营·统考一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．12．（2023春·江西吉安阶段练习）若是方程的一个解，则代数式的值是___________．三、解答题13．（2022秋·山东青岛阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．14．（2022秋·河南开封阶段练习）已知关于x的方程．(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．15．（2023秋·山东济宁期末）已知m是方程的解，求式子的值．16．（2023秋·重庆永川期末）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．17．（2023•佛冈县二模）先化简，再求值：，若x是方程x2﹣2x＝0的正整数解．18．（2023•广陵区一模）先化简再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的一个根．19．（2023•越秀区一模）已知．（1）化简P；（2）若a为方程的一个解，求P的值．20．（2023·北京西城一模）已知a是方程的一个根，求代数式的值．21．（2021秋·江苏·九年级专题练习）设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值．22．（2022秋·九年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．23．（2022秋·河北唐山期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；(2)若是倍根方程，则___________．