专题06用公式法一元二次方程的解法（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）-2024年九年级数学上册讲义（北师大版）

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专题06用公式法一元二次方程的解法（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1：求根公式知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）【方法二】 实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况题型2：用公式法解一元二次方程题型3：解系数中有字母的一元二次方程题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题题型6：新定义与一元二次方程综合题型7：一元二次方程与一次函数的综合题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用题型9：利用根的判别式判断三角形的形状【方法三】 差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题【方法四】 仿真实战法考法1：用公式法解一元二次方程考法2：根据根的判别式判断方程根的情况考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式．知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）用公式法解一元二次方程一般步骤把一元二次方程化成一般形式（）；确定a、b、c的值；求出的值（或代数式）；若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）1.根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．2.根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况1.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1），，，，方程有两不等实根；，，，，方程无实数根；，，，，方程有两相等实根；（4），，，，方程有两不等实根．2.当取何值时，关于的方程，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】对此方程，，，，则 ，由此可知，（1）当，即时，方程有两个不相等的实数根；（2）当，即时，方程有两两个相等的实数根；（3）当，即时，方程无实数根．题型2：用公式法解一元二次方程3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则，∴； （2），则，则，∴．4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则， ∴；（2），则，则，∴．5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化为：，，则， 则，∴； （2）方程可化为：，则．6.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化为，，则，则 ，∴ （2）两边同时乘以10，方程可化为，，则， 则，∴．7.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则， ∴原方程的解为：；，则，则， ∴原方程的解为：．题型3：解系数中有字母的一元二次方程8.用配方法解下列关于x的方程：（）．【解析】（），则，整理得：， 配方可得：， 当时，，， 当时，方程无实数根．9.用公式法解下列关于x的方程：（1）； （2）．【解析】（1）∵，∴当时，，； 当时，原方程无实数根；原方程可化为：，∵， ∴原方程的解为：，．题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围10．（2023•罗山县三模）若关于x的方程 x2+2x＝c 无实数根，则c的值可以是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：原方程可化为x2+2x﹣c＝0，∵关于x的方程x2+2x﹣c＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣c）＜0，解得：c＜﹣1，∵﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，1＞﹣1，∴k只能为﹣2，故选：A．11．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．【答案】【详解】解：根据题意得，解得．12．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．【答案】且【详解】解：由题意知，且，解得，13.已知关于的方程总有实数根，求的取值范围．【答案】．【答案】【答案】【解析】（1）当，即时，方程为一元一次方程，方程有实根；当，即时，方程为一元二次方程，其中，，，方程有实根，则必有：，可解得且；综上所述，的取值范围为．题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题14．（2023·安徽合肥·校联考三模）若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵不论x取任何数分式总有意义，∴，∴方程无解，∴，解得：，题型6：新定义与一元二次方程综合15．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解得m且m≠0．16．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241     “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【详解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m＝，即mn＝1；故答案为：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．17．（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”．(1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；(2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值．【答案】(1)不是“快乐数”；最大的“快乐数”为(2)【详解】（1）解：∵，∴不是“快乐数”，∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为，又∵，∴最大的“快乐数”为．（2）∵为“快乐数”，∴，∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，即，∴，解得：，，，∴，综上所述，满足条件的所有的值为．题型7：一元二次方程与一次函数的综合18．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（　　）A．     B．     C．     D．    【答案】B【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，当，时，一次函数经过第一、三、四象限；当，时，一次函数经过第一、二、四象限．19．（2023春·山东济南·八年级统考期末）关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是，，，而，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴，，∴，∴，∴，即，题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用20.某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】60元．【解析】设这种衬衫每件涨价元． 则根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，． 当时，； 当时，． 因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．题型9：利用根的判别式判断三角形的形状21．（2022•天津模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．【解答】解：（1）把x＝1代入方程得，a+c﹣2b﹣a+c＝0，化简得c＝b，则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式，Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0，化简可得b2+a2＝c2，则该三角形△ABC的形状为直角三角形．22．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB0，AB=m+1>0．∴m>-1．∵BC=，△ABC是直角三角形，∴当BC为斜边时，有，解这个方程，得(不符合题意，舍去)，；当AC为斜边时，有，解这个方程，得．综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件23．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．【答案】(1)且(2)，【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，即，且，解得：且；（2）满足条件的最小正整数是，此时方程为，解得：，．易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题24．（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于的方程：．【答案】或或或【详解】解：，分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，，，∴∴，；②当方程是一元一次方程时，且，解得，当时，方程为，解得；当时，方程为，解得．所以，方程的解为：，，或．25．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于的方程(1)当取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【答案】(1)(2)且【详解】（1）解：当时，得：，此时，则方程为一元一次方程，它的根是，此时方程只有一个根，∴当时，方程只有一个根；（2）∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，解得：且，∴的取值范围是且．【方法四】 仿真实战法考法：用公式法解一元二次方程26．（2021•无锡）（解方程：2x（x﹣2）＝1；【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可；【解答】解：方程整理得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝16+8＝24＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝；27．（2020•无锡）解方程：x2+x﹣1＝0；【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式求方程的解；【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；考法2：根据根的判别式判断方程根的情况28．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．29．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．30．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝，∴b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．故选：C．31．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．故选：A．32．（2023•广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．故选：A．33．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关【解答】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4＞0．∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：C．考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围34．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）A．﹣9 B． C． D．9【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．35．（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（　　）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．36．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故选：D．37．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，解得：m＜3．故选：D．38．（2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，解得：k＜9，故答案为：k＜9．39．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2+4m＝0，解得m＝﹣4，即m的值为﹣4．故答案为：﹣4．40．（2023•泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣a）＞0，解得a＞﹣4．故答案为：a＞﹣4．【方法五】成功评定法一、单选题1．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ）A．5，6，8 B．5，， C．5，，8 D．5，6，【答案】D【详解】解：方程化为一般式得，所以．2．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）关于的一元二次方程有实数根，则实数满足（    ）A．且 B． C．且 D．【答案】A【详解】解：∵方程是一元二次方程，∴，∴，∵关于的一元二次方程有实数根，∴∴，∴,∴实数的取值范围是且，3．一元二次方程 根的情况是（    ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，4．（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程无实数根得且，即可得，又∵，可得一次函数的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程无实数根，∴且，，，，又∵，∴一次函数的图象经过一、二、四象限，∴一次函数的图象不经过第三象限，5．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a，b，定义新运算：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是（    ）A．4 B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，整理得，而关于x的方程有两个相等的实数根，∴，解得．6．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）从，0，1，2，3中任取一个数作为a的值，既要使关于x的方程有实数根，又要满足，则a符合条件的概率为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【详解】解：由关于x的方程有实数根知，，解得，由，得：，则，中符合此条件的a的值为0，符合条件的概率为，7．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“*”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】A【详解】解：∵，∴，整理得：，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根；8．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．且【答案】C且，解得且，二、填空题9．（2022秋·山西临汾·九年级校考阶段练习）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．【答案】9【详解】解：由题意知，，解得，∴，故答案为：9．10．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 ．【答案】【详解】解：当，即时，原方程为，解得，符合题意；当，即，则，解得；综上所述，，11．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为 ．【答案】0【详解】解：由，得，即，∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，∴，解得．12．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）一元二次方程的根的情况是 ．【答案】无实数根【详解】∵一元二次方程∴∴方程无实数根．13．（2022春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）已知无论取何值，分式总有意义，则的取值范围是 ．【答案】m＜﹣4【详解】解：∵总有意义，∴，∴，∴△=16+4m＜0，解得，m＜﹣414．（2023·辽宁·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．【答案】【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴，解得．15．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知分别为（）的三边的长，则关于的一元二次方程根的情况是 ．【答案】有两个相等的实数根【详解】解：分别为（）的三边的长，，，，方程有两个相等的实数根，16．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．【答案】且【详解】解：∵方程是一元二次方程，∴，则，∵该方程有实数根，∴，解得：，综上：m的取值范围是且．17．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）已知实数x、y满足，则 ．【答案】【详解】解：解方程，得，当时，；当时，，故答案为：．三、解答题18．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程：．(1)当时，解方程；(2)若的一个解是，求k．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：将代入得：，∴，，，∴，∴，解得：，；（2）将代入得：，解得：．19．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：【答案】，【详解】解：，∴，∴方程的解为，．20．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）解方程：．【答案】，【详解】解：将原方程化为一般式，得∵，∴∴ =即，21．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知关于的方程只有一个实数根，求实数的值．【答案】或或【详解】解：，去分母得：，即，①∵关于x的方程只有一个实数根，∴，解得：，当时，经检验，方程的解是，②当，即时，解方程得：，∵，∴，，它是原方程的解，∴只需或时，为增根，此时原方程只有一个实数根，∴当时，即，得：；当时，方程 的解是0和 1，当时，即，得：，当时，方程的解是和，综上，当或或时原方程只有一个实数根．22．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知关于的方程．(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．【答案】(1)见解析(2)5【详解】（1）证明：，无论取何值，这个方程总有实数根；（2）解：∵等腰的底边长，∴，∵、恰好是这个方程的两个根，∴该方程的根有两个相等实数根，∴解得：，原方程为，解得：．、2、1能组成三角形，该三角形的周长为．【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．23．（2023·广东广州·统考二模）已知正方形中，，E是边上的动点，连接和．(1)尺规作图：在图中分别作线段和的中点F和G，连接FG；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹）(2)当时，求（1）中所作的线段的长度．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；  （2）解：∵四边形是正方形，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得或（舍去），∴，∵分别为的中点，∴为的中位线，∴．24．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y．(1)当点E与点C重合时，求ME的长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．【答案】(1)(2)(3)或(1)连接MD，∵AB=，BC=，∴BC=AB，∵∠C=90，∴∠A=30∵点D是AB的中点，∴CD=AD， ∴∠ACD=30，∠ADC=120，∵MN垂直平分CD，∴CM=DM，∴∠MDC=30，∴ ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴或（舍去）∴；(2)连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，∵MN垂直平分ED，∴ME=MD=y，∵∠A=30∴MF=，∴ ∴FD，在Rt△MDF中， ∴ ∴根据（1）的结论，当点E与点C重合时，∴∴或 ∵∴不符合题意∴∴∴y关于x的函数解析式是；(3)分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况分析，当MN经过AC中点时，即 ∴，即当MN经过AB中点时，和MN分别交边AC、BC于点M、N的结论矛盾∴MN经过AB中点不成立当MN经过BC中点时，如图，分别连接EN、DN∴∵ ∴， ∵MN线段DE的垂直平分线∴ ∵AM=x，ME=y∴ ∵∠C=90°∴ ∴∴∴∴ ∴，即∴或．25．（2023春·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动点，当点C在y轴上移动时，始终保持是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到O点时，得到等边三角形（此时点P与点B重合）．(1)点B的坐标为　　，直线的表达式为　　．(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形的顶点P在第二象限时，连接求证：；(3)当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在移动过程中有怎样的规律？请将这个规律用函数关系式表达出来；(4)点C在y轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析(3)(4)或或或【详解】（1）解：，，过点B作轴于D，为等边三角形，，，，，即.设直线的解析式为：，将，代入，则：解得：.故答案为：； ．（2）证明：和为等边三角形，，，，.在和中，.（3）解：，，设在中，，，，，．故答案为：．（4）解：，，，，，.①时，，解得：或（舍去），直线解析式为：故此时；②时，，解得：，直线解析式为：故此时；③时，，解得：或直线解析式为：故此时或；综上所述，点P的坐标为或 或 或．故答案为：或 或 或．26．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）如图1．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于、两点．将直线竖直向上平移2个单位后与交于点，与轴交于．(1)求点C的坐标；(2)连接，在直线上是否存在点E，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，已知，，过B作轴且；若点G沿方向以每秒2个单位长度运动，同时，点沿方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动，到达处，到达处，连接、．问：能否平分？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，，(3)能，的值为3【详解】（1）解：设直线的解析式为：把、代入得：解得：∴直线：∵直线由竖直向上平移2个单位得到，∴直线：联立得：解得：∴点的坐标为（2）解：设直线与轴交于点，当时，解得：∴∴∵点在直线，设点①当点在延长线上时，则∵解得：∴点②当点在延长线上时，则∵解得：∴点∴存在，点E的坐标为和（3）过点作∵轴∵平分∴∴，∴，∴解得：（舍去）∴能，．