北师大版（2024）九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程优秀综合训练题

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：用因式分解法求解一元二次方程（重点）
知识点2：选择适当的方法解一元二次方程（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：解含字母参数的一元二次方程
题型2：用换元法解一元二次方程
题型3：一题多解法——解一元二次方程
题型4：用因式分解法解一元二次方程的应用
题型5：阅读理解题
【方法三】 差异对比法
易错点：用因式分解法解方程时，出现丢根现象
【方法四】 仿真实战法
考法1：用因式分解法解一元二次方程
考法2：因式分解法的应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1.会用因式分解法（提公因式、公式法）解某些数字系数的一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：用因式分解法求解一元二次方程（重点）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
利用提公因式法
【例1】.方程：的较小的根是（）
A．B．C．D．
【变式】解关于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
（2）利用平方差公式
【例2】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
【变式】解关于的一元二次方程：．
（3）利用完全平方公式
【例3】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
十字相乘法因式分解
【例4】用合适的方法解下列关于的方程：
（1）； （2）；
知识点2：选择适当的方法解一元二次方程（难点）
【例5】（2022•贵阳）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．
【变式1】解关于的方程（合适的方法 ）：
（1）； （2）．
【变式2】解关于的方程（合适的方法）：
（1）； （2）．
【方法二】实例探索法
题型1：解含字母参数的一元二次方程
1.解关于的方程：
（1）； （2）
（3）．
题型2：用换元法解一元二次方程
2．（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）“换元”是将代数式化繁为简的一种方法，试用这种方法解方程，它的解是___________
3．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为：______.
4．（2022秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）若实数x、y满足，则_____．
5．（2023·浙江宁波·校考一模）已知，求的值为______．
6．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
题型3：一题多解法——解一元二次方程
7.（2022秋•昆都仑区期末）解方程：x2+2x＝3．（用两种方法解方程）
题型4：用因式分解法解一元二次方程的应用
8．（2023·四川成都·统考二模）一个三角形的两边长分别为和，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为____．
9．（2023·山东济南·统考一模）菱形的两条对角线长分别为方程的两个根，则该菱形的周长为______．
题型5：阅读理解题
10．（2023·青海·统考一模）提出问题
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足，求的值．
11．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
12．（2022秋·湖南郴州·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为（1），解得，，当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)试用上述方法解方程：，得原方程的解为 ___________．
(2)解方程．
【方法三】差异对比法
易错点：用因式分解法解方程时，出现丢根现象
13.解关于的方程：
【方法四】 仿真实战法
考法1：用因式分解法解一元二次方程
1．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x1＝6，x2＝4B．x1＝6，x2＝﹣4
C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣4
2．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
3．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
4．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
5．（2021•西宁）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．
考法2：因式分解法的应用
6．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或D．6或
7．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6B．10C．12D．24
8．（2021•丹东）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（2021•潍坊）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A．B．4C．2D．5
10．（2021•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
11．（2021•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 ．
【方法五】成功评定法
一、单选题
1．（2023·贵州遵义·统考三模）一元二次方程的两个根是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2023·山东临沂·统考二模）方程的解为，，若方程，它的解是（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·河南商丘·校考三模）如图，平面直角坐标系中，，，点M为的中点，将绕点M顺时针旋转得到，当点O的对应点C第一次落在上时，点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东临沂·统考二模）方程的两个根为( )
A．B．C．D．
5．（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5B．5或C．或D．5或
6．（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对B．6对C．8对D．无数对
7．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）若菱形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．20B．24C．20或24D．48
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）一元二次方程的一个解是，则该方程的另一个解是 ．
10．（2023·全国·九年级假期作业）当 时，函数是正比例函数．
11．（2023·全国·九年级假期作业）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ．
12．（2023·全国·九年级专题练习）已知方程的根为，则的值为 ．
13．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为 ．
14．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为
15．（2023·广东佛山·校联考三模）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？ ．（填“可能”或“不可能”）
16．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是 ．
17．（2023·安徽·九年级专题练习）代数基本定理告诉我们对于形如（其中，，…，为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是的约数．例如方程的整数根只可能为，代入检验得时等式成立．故含有因式，所以原方程可转化为：，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：得到的解为 ．
三、解答题
18．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）解方程：
(1)． (2)．
19．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：
20．（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）适当的方法解方程：
(1) (2)
21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）解下列方程：
(1)； (2)．
22．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
23．（2023秋·河北邢台·九年级校考期末）阅读材料，解答问题：
为解方程，我们将视为一个整体，
解：设，则，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
∴原方程的解为或．
(1)上面的解题方法，利用（ ）法达到了降幂的目的．
(2)依据此方法解方程：．
24．（2023秋·九年级单元测试）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
25．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面的材料：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，．
仿照上述换元法解下列方程．
(1)；
(2)．
26．（2023·全国·九年级专题练习）解方程．