初中北师大版（2024）5 一元二次方程的根与系数的关系优秀习题

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点：一元二次方程根与系数的关系（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：已知方程的一个根，求另一个根及字母系数的值
题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值
题型3：已知用方程两根表示的代数式的值，求字母系数的值
题型4：根据一元二次方程的两根确定一元二次方程
题型5：根的判别式与根与系数关系的综合
题型6：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题
【方法三】 差异对比法
易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。
【方法四】 仿真实战法
考法1：一元二次方程根与系数关系的直接应用
考法2：一元二次方程根与系数关系的综合应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1.了解一元二次方程的根与系数的关系，能利用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值。
2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程一个根求另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点：一元二次方程根与系数的关系（难点）
韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ．
那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．
【例1】如果，是方程的两个根，那么=_____________；=_______________．
【答案】；．
【解析】由韦达定理，可得：，．
【总结】本题考查韦达定理，的应用．
【变式1】（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）设一元二次方程的两个实根为和，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【详解】，
∴，
，
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键．
【变式2】（2023·浙江金华·统考一模）若一元二次方程的两根分别为，，则代数式________．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．若，是关于x的一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个实数根，则．
【详解】∵，
这里，，
∴．
【方法二】实例探索法
题型1：已知方程的一个根，求另一个根及字母系数的值
1.若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________．
【答案】；．
【解析】将代入方程，可得：，再由韦达定理可得：，得另一根为．
【总结】本题考查韦达定理，的应用．
2．（2023·新疆生产建设兵团第一中学校考一模）已知关于x的一元二次方程的两根分别记为，若，则______．
【答案】
【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别记为，，
，，
，
，，
，
原式
．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握，是解题的关键．
3．（2023·江苏淮安·统考一模）已知一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根为________．
【答案】
【详解】解：设方程的另一个根为t，根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，则．
题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值
4.已知是方程的两根，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．
【解析】解：由韦达定理，得：，．
原式=；
原式
；
原式=；
原式．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用．
5.已知的值．
【答案】．
【解析】由，可得：，整理得：，
又由于，所以可知、是方程的两根，
由韦达定理，可得：．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．
6.已知是方程：的两根，求代数式的值．
【答案】．
【解析】由题及韦达定理可得：，，得：．
===
==．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，运用了降次等的思想方法．
题型3：已知用方程两根表示的代数式的值，求字母系数的值
7．（2023·四川成都·统考二模）关于的方程的两实数根，满足，则______．
【答案】2
【分析】根据方程有两个实数根可得，再根据一元二次方程根与系数的关系：得到，即可求解．
【详解】解：关于的方程的两实数根，
，
，
，
，
或（不合题意，舍去），
8．（2023·四川成都·统考二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为______．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程根于系数的关系，求出，，再根据，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
题型4：根据一元二次方程的两根确定一元二次方程
9.写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是，．
【答案】．
【解析】由，
，可得方程为：．
【总结】本题考查韦达定理，的应用．
题型5：根的判别式与根与系数关系的综合
10．（2023·湖北荆门·统考一模）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
∴，
解得：，
（2）∵，
即：
∴，
又∵，
∴，
∴
解得：或（舍去）
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
11．（2023·四川南充·统考二模）实数使关于的方程有两个实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值；
(3)给出的两个值，使方程的根是整数．
【答案】(1)，
(2)，或
(3)见解析
【详解】（1）解：原方程整理为．
．
由，得．
（2）解：由根系关系，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得，
解得，或．均符合．
（3）解：取，原方程为．解得，，根为整数．
取，原方程为．解得，，根为整数．（答案不唯一）
题型6：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题
12.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．
【答案】．
【解析】解：设直角三角形的三边长为，，，且是斜边长，由题知，，，
由勾股定理，可得：，所以，
所以直角三角形的周长．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．
13.已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围．
【答案】．
【解析】因为方程有两根，所以，即；由韦达定理，可得：，
，因为且，所以，，
即，解得：．
【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用．
14.已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．
【答案】．
【解析】解：设方程的两根为，，由，，可得：，
即，而由韦达定理可得，，
所以，即．
【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用．
15．（2023春·湖北黄石·九年级统考阶段练习）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)-1
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1），；
故答案为；；
（2），，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
．
16．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
【答案】(1)3，
(2)
(3)或
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）∵实数s、t满足，，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
17．（2023春·福建南平·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式．
(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)24
【详解】（1）解：由题意可知，
方程有两个实数根；
（2）
解：由（1）可知，方程有两个实数根，
，
，
，
，，
．
．
（3）解：a与分别是关于x的方程的两个根．
，，
与是整数，
与同为整数，
是正整数，
，
方程为，
，
，
将代入
原式
．
18．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
(1)若是倍根方程，求的值；
(2)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式．
【答案】(1)0
(2)
【详解】（1）整理得：，
∵是倍根方程，
∴，
∴．
（2）∵是倍根方程，
∴，
整理得：．
∵在一次函数的图像上，
∴，
∴，，
∴此方程的表达式为
19．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为或
【详解】（1）解：，
，
∴或，
∴．
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程的两个根分比为，
∴， ．
∵，
∴，
解得：，．
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3），
，
∴或，
∴或．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且．
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：．
综上所述，m的取值范围为或．
20．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出，的值．
②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见解析
【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∴，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
∴此时原方程没有实数根，
∴不符合题意；
当时，，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴符合题意，
∴的值为1；
（2）①∵，
∴．
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，；
②猜想：．
证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
由①+②，得：，
∵，，，
∴，即．
21．（2023·四川南充·统考一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是、，且，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：，
，
、、是的三条边，其中，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个根是、，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【方法三】差异对比法
22.已知关于x的方程有两个正整数根，求整数k和p的值．
【答案】．
【解析】设是原方程的两根，因为是正整数根，所以且都
是正整数，由韦达定理，得：，所以是正整数，
所以是正整数，即是正整数，所以，
代入原方程可得：，方程的两根为，所以．
【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合．
【方法四】 仿真实战法
考法1：一元二次方程根与系数关系的直接应用
23．（2021·江苏徐州·统考中考真题）若是方程的两个根，则_________．
【答案】-3
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
24．（2022·湖南娄底·统考中考真题）已知实数是方程的两根，则______．
【答案】
【详解】解： 实数是方程的两根，

25．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝_____．
【答案】3
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2＝＝3．
考法2：一元二次方程根与系数关系的综合应用
26．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【答案】
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴，
27．（2022·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．
【答案】
【详解】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
28．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
29．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
30．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【答案】1
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
∴，
解得：．
【方法五】成功评定法
一、单选题
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】D
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程（）的两根时， ， ．
2．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）设方程的两个根为与，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之积即可．
【详解】解：∵方程的两个根为与，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，两根之和是，两根之积是．
3．（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）若方程的两根为，，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两根之和与之积，再根据即可求出答案．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟记：，．
4．（2023春·广西柳州·九年级统考期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】D
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据一元二次方程根的定义得，由，整体代入求解即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
5．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】当a、c异号时，，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；当时，则，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；若，，，计算出，则可对④进行判断．
【详解】解：，
当a、c异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以①正确；
若时，，则方程一定有两实数根，所以②正确；
若，，，，所以方程没有实数根，所以③错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
6．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】是方程的两个实数根，则，，代入即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，整体代入是解题的关键．
7．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据是方程的两根，得出，，，然后对代数式变形，最后代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
8．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知、为一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系求得，，利用根的定义得到，，即可得到，，然后将其代入整理后的代数式求值即可．
【详解】解：、为一元二次方程的两个根，
，，，，
，，
．
故选：．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【分析】先根据方程根的定义和根与系数的关系可得，然后再对变形后整体代入即可解答．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程的根，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义、根与系数的关系等知识点，由题意得到是解答本题的关键．
10．（2023秋·九年级单元测试）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【详解】①若方程两根为-1和2，
则，则，即；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝＞1或a＝＞1，
∴1﹣a＜0，
∴；此选项符合题意；
③∵，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．
二、填空题
11．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】设另一个根为，
根据题意：，
解得，，
即另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义．
12．（2021春·广东广州·九年级校考期中）已知是方程的一个解，方程的另一个解为，则 ．
【答案】
【分析】利用要根的定义求得m的值，再根据根与系数的关系求得方程的另一个解，代入数据即可求出答案．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
∴，
∵方程的另一个解为，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，．
13．（2022秋·湖北随州·九年级校联考阶段练习）已知方程的两根为，则 ．
【答案】13
【分析】根据两根之和，两根之差的公式，代入计算即可解答．
【详解】根据题意得，，
则．
故答案为：13
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．
14．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为、，且，则m的值为 ．
【答案】1或
【分析】根据根与系数的关系即可得出，，再由，求出，，进而根据得出，解之即可得出的值．
【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，
，，
，
，
，
，
，
，
解得或．
，
∴无论m取何值，方程都有两个实数根，
∴的值为1或．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系．
15．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知、，满足等式：，则 ．
【答案】
【分析】根据题意可得出，为以为未知数的一元二次方程的两根，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∵满足
∴，为以为未知数的一元二次方程的两根，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，得出，为以为未知数的一元二次方程的两根是解题的关键．
16．（2023·江苏盐城·统考二模）若方程的两根为，，则的值为 ．
【答案】2023
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的概念可得，，再代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：方程的两根为，，
，
，
，
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的概念，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
17．（2022·湖南永州·统考一模）已知不等式的解集是，其中，则不等式的解集 ．
【答案】或
【分析】由于不等式的解集为，其中，可得，是一元二次方程的实数根，且，利用根与系数的关系可把不等式化为，解出即可．
【详解】解：不等式的解集为，
则，是一元二次方程的实数根，且，，其中，
，，
则不等式化为，
，可化为，
或，
，
，
不等式的解集为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18．（2023·全国·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝ ，的最大值是 ．
【答案】 4； -3
【分析】利用（）与方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值．
【详解】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为，
∴，
展开，，
可得，，
∴；
∵，，
∴，
∵方程（）有两个根为、，
∴，且，
∴，
设（），得，
∵方程有正数解，
∴，
解得，即，
∴．
故答案为：4，-3．
【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键．
三、解答题
19．（2022秋·甘肃定西·九年级校考期中）已知实数a、b满足，，求的值．
【答案】或2
【分析】分为两种情况进行讨论：①当时，a，b可能是方程的同一个根，两数相等；②当时，由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．
【详解】解：①当时，．
②当时，可以把a，b看作是方程的两根．
由根与系数的关系，得，，
所以；
综上可知，的值为或2．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不要漏掉“”的情况．
20．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）已知 ，是关于x的方程的两个实数根，若，求m的值．
【答案】
【分析】先由一元二次方程根与系数关系得，，再根据得，然后整体代入得，求解即可．
【详解】解∶由题意得∶ ，，
∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系．熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)且
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
（2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
（2）假设存在，设方程的两根分别为、，则，．
，
．
且，
不符合题意，舍去．
假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于的方程．
22．（2022秋·湖北随州·九年级校联考阶段练习）已知关于的方程．
(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围；
(2)当方程的两个根满足时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出，．结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围为；
（2）∵关于的方程的两个根分别为：，，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理得，
∴，
解得：，，
∵，
∴m的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合，找出关于m的一元次方程．
23．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期中）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）运用根的判别式，根与系数的关系，平方数的非负性进行判断即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；根据根与方程的关系即可求解．
【详解】（1）解：在关于的方程中，，，，
∴
∵
∴无论取何值，方程总有实数根．
（2）解：是等腰三角形，一边长，另外两边分别为，，且、恰好是这个方程的两个根，
①当时，即方程两根相等，
∴，解得，方程可化为：，解得，
∴三边为长分别为，，，
∵，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
②当或者时，即是原方程的一个根，
把代入得，，解得，，
∴原方程可化为：，解得：或，即的一边长为，另一边长为，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法的综合，掌握一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质与方程的根的关系等知识是解题的关键．
24．（2023·全国·九年级假期作业）阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，
(2)或或
【分析】（1）利用换元法解方程，设，则原方程可化为，解关于的方程得到，，则或，然后分别解两个元二次方程即可；
（2）根据已知条件，当时，，解关于的一元二次方程得，则；
当时，把、看作方程的两不相等的实数根，则根据根与系数的关系得到，，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：，
设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，解得：，，
当时，，解得：，，
∴原方程的解为，，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵实数，满足：，且，
当时，，解关于的一元二次方程，
得：，
∴；
当时，则、是方程的两不相等的实数根，
∴，，
∴；
∴的值为或或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；也考查了换元法，解一元二次方程，求代数式的值，运用了恒等变换的思想．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
25．（2022秋·辽宁大连·九年级校考阶段练习）材料一：法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的根完全由它的系数决定，当时有两根：，于是，两根之和为，两根之积为．
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，利用韦达定理可以快速求出两个方程的关系．
材料二：已知一元二次方程的两个根满足，且a、b、c分别是△ABC的的对边，若，求的度数
解题过程如下：， ．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵ ，
∴．
如图，过点B作，则．
∵，
∴，
∴．
(1)在上题中，将方程改为，要得到，而条件“”不变，那么对应条件中的的值是多少？请说明理由；
(2)已知一元二次方程的两根满足，且a、b、c分别是的的对边，若，求n的值．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质可得出，从而可求出，，进而可由求解；
（2）过点C作于点D．由等腰直角三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，．进而可求出，，最后再代入等式中，利用公式法解出n的值即可．
【详解】（1）解：如图，
∵，
∴，
∴．
由勾股定理得：，
∴．
∵，，
∴；
（2）如图，过点C作于点D．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴．
∴n的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，数据处理较大，较难．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．