北师大版（2024）九年级上册8 图形的位似精品综合训练题

这是一份北师大版（2024）九年级上册8 图形的位似精品综合训练题，文件包含专题17图形的位似4个知识点2种题型2种中考考法原卷版docx、专题17图形的位似4个知识点2种题型2种中考考法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.位似多边形的有关概念（重点）
知识点2.位似图形的性质（重点）
知识点3.位似图形的画法（重点）
知识点4.平面直角坐标系中的位似变换（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.确定位似中心
题型2.位似图形的规律探究题
【方法三】 仿真实战法
考法1.平面直角坐标系中的位似变换与坐标变化
考法2.作图——位似变换
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。
会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。
掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.位似多边形的有关概念（重点）
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：
①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②位似图形对应点的连线都经过同一个点；
③位似图形对应边平行．
【例1】（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形B．两个位似图形的位似中心可能不止一个
C．位似图形一定是相似图形D．两个多边形相似，面积比一定是相似比
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念和相似多边形的性质判断即可．
【详解】A. 两个多边形相似，则它们不一定是位似图形，，故该选项说法错误；
B. 两个位似图形的位似中心只有一个，故该选项说法错误；
C. 位似图形一定是相似图形，故该选项说法正确；
D. 两个多边形相似，面积比是相似比的平方，故该选项说法错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似多边形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．
【变式】（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得△DEF是△ABC位似图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
知识点2.位似图形的性质（重点）
①对应角相等，对应边之比等于位似比；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．
【例2】（2023·重庆渝中·统考二模）如图，△ABC与△ A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1 =1:2，则△ABC与△ A1B1C1的面积比是（ ）

A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，进而得出△AOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵ΔABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，
∴∠CAO=∠C1A1O，∠ACO=∠A1C1O，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴ ACA'C'=OAOA'=12，
∴ΔABC与△A1B1C1的面积比为1:4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．
【变式】（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，若OB:BE=1:2，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（ ）

A．4B．6C．8D．18
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质，得到△ABC∽△DEF，根据OB:BE=1:2得到相似比，再结合相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵ △ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，
∴ △ABC∽△DEF，
∴ACDF=OBOE=OBOB+BE，
∵ OB:BE=1:2，
∴BE=2OB，
∴ACDF=OB3OB=13，
∴ S△ABCS△DEF=19，
∵ △ABC的面积为2，
∴ △DEF的面积为18，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解题的关键．
【例3】（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）

A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【答案】D
【分析】根据题意求出△ABC与△DEF的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．
【详解】解：以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，
∴AB∥DE，
∵AD=OA，
∴AB:DE=OA:OD=1:2，
∴△ABC与△DEF的位似比为1:2，
∴△ABC与的周长之比为1:2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．
【变式】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OC:CF=2:3，△DEF的周长为15，则△ABC的周长为（ ）

A．10B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质，得到△ABC∽△DEF，根据OC:CF=2:3得到相似比为：OCOF=OCOC+CF=25，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF
∴ACDF=OCOF=OCOC+CF
OC:CF=2:3
∴ACDF=OCOC+CF=25
∴C△ABCC△DEF=ACDF=25
△DEF的周长为15，
∴C△ABC=25×15=6
故选B．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
知识点3.位似图形的画法（重点）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
【例4】（2022秋·江西萍乡·九年级统考期末）如图，已知A(0,−2)，B(−2,1)，C(3,2)．

(1)求线段AB的长；
(2)把A、B、C三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到A'，B'，C'的坐标，画出△A'B'C'，并求A'B'的长；
(3)△ABC与△A'B'C'是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．
【答案】(1)AB=13；
(2)见解析，A'B'=213；
(3)△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心(0,0)，位似比为12．
【分析】（1）将线段AB放在直角三角形中，根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据题意分别求出A'，B'，C'的坐标，再根据勾股定理进行计算即可；
（3）根据位似图形的定义判定即可．
【详解】（1）解：AB=22+32=13；
（2）△A'B'C'如图所示，

由题意得：A'(0,−4)，B'(−4,2)，
∴ A'B'=42+62=213；
（3）∵把A、B、C三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到A'，B'，C'的坐标
∴ △ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心(0,0)，
位似比为：ABA'B'=13213=12．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似三角形的判定，勾股定理的应用，掌握位似图形的概念是解题的关键．如果两个相似多边形每组对应顶点A，A'的连线都经过同一个点O，且OA'=k⋅OA，那么这两个多边形称为位似多边形．
【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中已作出△ABC的位似图形△A1B1C1．
(1)在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；
(2)若以点A1为位似中心，请在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2，且△A1B1C1与△A1B2C2的位似比为2∶1．
【答案】(1)作图如图所示，M0,2
(2)△A1B2C2如图所示
【分析】（1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，改点即为位似中心即可求解；
（2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形．
【详解】（1）解：M点位置如图所示，M0,2．
（2）△A1B2C2如图所示．
【点睛】本题考查了位似图形的定义与作图，解题关键是掌握相关概念与作图技巧．
【变式2】（2023春·宁夏银川·九年级银川一中校考期中）如图，是边长为1个单位的小正方形组成的12×12方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为−4,2和0,0．△ABC顶点都在格点上，将△ABC的三边分别扩大得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形．

(1)画出△ABC向下平移3个单位后的三角形△A2B2C2；
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的三角形△A3B3C3；
(3)直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)(−4,−3)．
【分析】（1）将A、B、C三点分别向下平移3个单位，得到A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到△A2B2C2；
（2））作出A、B分别关于原点O的对称点A3、B3，顺次连接A3、B3、O，即可得到△A3B3C3；
（3）连接A1A、B1B并延长，它们的交点就是P点．

【详解】（1）如图△A2B2C2即为所求；
（2）如图△A3B3C3即为所求；
（3）连接A1A、B1B并延长，交点为(−4,−3)，则P点的坐标为(−4,−3)．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形变换：平移变换／旋转变换和位似变换．正确的找到变换以后的对应点是解题的关键．
知识点4.平面直角坐标系中的位似变换（难点）
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。
【例5】（2023·安徽淮北·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，已知点，，，则点的坐标为( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，，求出的长度，结合位似，得到相似比，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∵与位似，，
∴与的相似比为，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查位似，解题的关键是根据线段比得到位似比，再根据位似性质求解．
【变式1】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A−6,9、B−9,−3，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．−2,3B．−18,27
C．−18,27或18,−27D．−2,3或2,−3
【答案】D
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k解答．
【详解】解：∵点A的坐标为−6,9，以原点为位似中心将△ABO缩小，位似比为13，
∴点A'的对应点的坐标为：−6×13,9×13或−6×−13,9×−13，即−2,3或2,−3，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变换-位似变换，熟知位似变换规则是解答的关键．
【变式2】（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为2,4，点E的坐标为−1,2．则点P的坐标为（ ）
A．−3,0B．−2,0C．−32,0D．−23,0
【答案】B
【分析】根据点B的坐标为2,4，点E的坐标为−1,2得AB=4，OA=2，OD=2，根据矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心得POPA=ODAB=24=12，可得PO=OA=2，即可得．
【详解】解：∵点B的坐标为2,4，点E的坐标为−1,2，
∴AB=4，OA=2，OD=2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，
∴POPA=ODAB=24=12，
∴PO=OA=2，
∴点P的坐标为(−2,0)，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是理解题意，掌握位似变换．
【变式3】（2022秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，点A的坐标为3,2，点F的坐标为−1,−1，则这两个正方形位似中心的坐标为（ ）

A．1,0或57,27B．−5,−2或−3,−2
C．1,0D．1,0或−5,−2
【答案】D
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点，分别求出直线的函数解析式，然后求交点即可．
【详解】解：∵正方形ABCD和正方形EFOG中，点A的坐标为3,2，点F的坐标为−1,−1，
∴E(−1,0),G(0,−1),,B(3,0),C(5,0),D(5,2)，
（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.
设AG所在的直线的解析式为y=kx+b
3k+b=2b=−1 解得k=1b=−1
∴AG所在的直线的解析式为y=x−1
当y=0时，x=1，所以EC与AG的交点为1,0；
（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点
设AE所在的直线的解析式为y=kx+b
3k+b=2−k+b=0 解得k=12b=12
∴AE所在的直线的解析式为y=12x+12
设CG所在的直线的解析式为y=kx+b
5k+b=0b=−1 解得k=15b=−1
∴AG所在的直线的解析式为y=15x−1
联立y=12x+12y=15x−1解得x=−5y=−2
∴AE与CG的交点为(−5,−2)
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是1,0或(−5,−2)
故选：D．
【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键．
【方法二】实例探索法
题型1.确定位似中心
1.（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别是（ ）

A．2、点PB．12、点PC．2、点OD．12、点O
【答案】D
【分析】一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点：这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心．位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，位似比等于相似比．因而位似中心是点O，△P'Q'R'与△PQR位似比是OP':OP=12．
【详解】∵点O是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，
∴各对应点的连线交于点O，
∴位似中心是点O，
∵△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴△P'Q'R'与△PQR位似比是OP':OP=12，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，理解掌握位似中心和位似比的定义是解题的关键．
2.（2022秋·福建泉州·九年级泉州五中校联考期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点OB．点PC．点QD．点R
【答案】A
【分析】连接AA',CC'交于点O，即可．
【详解】解：如图，连接AA',CC'交于点O，
∴位似中心是点O．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
3.（2022春·九年级单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）

A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解．
【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点，
∴位似中心在A、B所在的直线上，
∵点D在直线AB上，
∴点D为位似中心．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键．
题型2.位似图形的规律探究题
4．（2023·山西阳泉·统考一模）阅读与思考
任务：（1）第三步发现的结论是______．
（2）已知图1中点A(6,2),A'(9,3),B(4,3),S△ABC=2，则点B'的坐标是_______，S△A'B'C'=______．
（3）如图2，以点P为位似中心，画出与矩形MNOP的相似比为0.75的一个图形．
【答案】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比；（2）(6,4.5)；4.5；（3）见解析．
【分析】（1）OA'OA=OB'OB=OC'OC=1.50，所以考查相似图形的性质．
（2）根据相似比即可推出对应点的坐标，面积比等于相似比的平方就可求出相关答案．
（3）因为相似比已知，所以根据位似图形的性质，分别求出所求矩形的长和宽，在网格中画图即可。
【详解】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论正确即可．
（2）∵OB'OB=1.50，且点B4,3，
∴点B'的横坐标为：1.5×4=6，纵坐标为：3×1.5=4.5,所以B'6,4.5．
又∵S△A'B'C'S△ABC=(A'B'AB)2=1.52，
∴S△A'B'C'=2×2.25=4.5．
（3）如图：

图中矩形PHIJ即为所作图形．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，以及根据性质在网格中画位似图形等相关知识点，能根据位似图形的性质进行分析是解题关键．
【方法三】 仿真实战法
考法1.平面直角坐标系中的位似变换与坐标变化
1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点F的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
2．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（ ）
A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）
【分析】根据位似变换的概念、点的坐标的变化情况找出点的横纵坐标的变化规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3），
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、点的坐标的变化规律，根据点的坐标的变化情况正确找出规律是解题的关键．
3．（2023•遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，0）C．（0，1）D．（1，0）
【分析】根据位似中心的定义作答．
【解答】解：如图：
△ABC与△DEF的对应顶点的连线相交于点（﹣1，0），则位似中心的坐标为（﹣1，0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握“位似中心”的确定方法．
4．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 （，2）或（﹣，﹣2） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6），
∴点A'的坐标是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．
故答案为：（，2）或（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．（2023•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为 （6﹣2a，﹣2b） .（结果用含a，b的式子表示）
【分析】过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，则∠ANC′＝∠AMC＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，
则∠ANC′＝∠AMC＝90°，
∵△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，
∴，
∵∠NAC′＝∠CAM，
∴△ACM∽△AC′N，
∴，
∵点A（2，0），点C（a，b），
∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，
∴AM＝a﹣2，
∴，
∴AN＝2a﹣4，C′N＝2b，
∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，
∴点C′的坐标为（6﹣2a，﹣2b），
故答案为：（6﹣2a，﹣2b）．
【点评】本题考查的是位似变换和坐标与图形性质，掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
6．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是 4：9 ．
【分析】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为2：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
考法2.作图——位似变换
7．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．
8．（2021•黑龙江）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．
【分析】（1）延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则可得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；
（3）先利用勾股定理计算出CB，然后根据弧长公式计算点B所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；
（3）CB＝＝，
所以点B所经过的路径长＝＝π．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换和弧长公式．
【方法四】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2023•铜梁区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，若OB＝2OE，S△ABC＝8，则S△DEF为（ ）
​
A．2B．4C．D．
【分析】直接利用位似图形的性质得出△DEF与△ABC的面积比，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，
∴△ABC与△DEF相似比为：2：1，
∴△ABC与△DEF面积之比为4：1，
∵S△ABC＝8，
S△DEF＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
2．（2023•牡丹区三模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（ ）
A．2：3B．4：9C．2：5D．4：25
【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，
∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
3．（2022秋•平度市期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A（3，0），B（2，﹣1），C（6，0），则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．（4，﹣2）B．（6，﹣3）C．（4，2）D．（6，3）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，
∴点B的坐标为（2×2，﹣1×2），即（4，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
4．（2023•城厢区校级开学）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：5D．1：6
【分析】根据三角形中位线定理得到＝，根据位似变换得到△DEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴＝，
∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，
∴△DEF∽△ABC，
∴＝（）2＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
6．（2022秋•永定区期末）如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为2：3，则OA：OA'＝（ ）
A．2：3B．4：9C．2：5D．
【分析】根据位似图形的概念、相似多边形的性质得到AD∥A'D'，，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为2：3，
∴AD∥A'D'，，
∴△AOD∽△A'O'D'，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（2022秋•伊川县期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB＝，则线段CD长为（ ）
A．2B．4C．2D．
【分析】根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），
∴线段AB与线段CD的位似比为1：2，
∵AB＝，
∴CD＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
8．（2023•温州模拟）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点D，位似比为2：3，则AB：DE的比值为（ ）
​
A．2：3B．2：5C．4：9D．4：13
【分析】利用位似变换的性质判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点D，位似比为2：3，
∴AB：DE＝2：3，
故选：A．
【点评】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．
9．（2023•碑林区校级开学）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（6，4）B．（，1）
C．（6，4）或（﹣6，﹣4）D．（，1）或（﹣，﹣1）
【分析】分△A′B′C′与△ABC在原点同侧和异侧两种情况结合位似图形的性质进行求解即可．
【解答】解：∵△ABC的位似比为2的位似图形是△A′B′C′，且C（3，2），
∴当△A′B′C′与△ABC在原点同侧时C′（2×3，2×2），即C′（6，4），
当△A′B′C′与△ABC在原点异侧时，C′（﹣2×3，﹣2×2），即C′（﹣6，﹣4），
故选：C．
【点评】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键：如果△ABC与△A′B′C′是关于原点位似且位似比为k的位似图形，那么A（a，b）的对应点A′的坐标为（ka，kb）或（﹣ka，﹣kb）．
10．（2021秋•江安县期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的面积的比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：9D．9：1
【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），
∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故选：C．
【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
二．填空题（共8小题）
11．（2022秋•沈河区期末）如图，在△ABO中，点A的坐标为（4，5），以原点O为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A'B'O，则点A的对应点A'的坐标是 （8，10） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，A（4，5），
∴点A'的坐标是（4×2，5×2），即（8，10），
故答案为：（8，10）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
12．（2023•广陵区校级一模）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，若点A的坐标为（2，3），则A′的坐标为 （4，6）或（﹣4，﹣6） ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，点A的坐标为（2，3），
则A′的坐标为（2×2，3×2）或[2×（﹣2），3×（﹣2）]，即（4，6）或（﹣4，﹣6），
故答案为：（4，6）或（﹣4，﹣6）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
13．（2022秋•泰兴市期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AD＝3，则＝ ．
【分析】利用位似的性质求解．
【解答】解：∵点O为位似中心，△OAB放大后得到△OCD，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了位似变换，正确记忆位似的性质是解题关键．
14．（2023•东营区校级模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A（2，1），则位似中心的坐标是 （4，2） ．
【分析】直接利用位似图形的性质，连接各对应点，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
位似中心的坐标是（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
15．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是 4：9 ．
【分析】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为2：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 （，2）或（﹣，﹣2） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6），
∴点A'的坐标是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．
故答案为：（，2）或（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
17．（2023•裕华区三模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形是 △GEH （用图中字母表示），△ABC与该三角形的位似比为 ．
​
【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断△ABC的位似图形是△GEH，然后计算OB与OE的比得到位似比．
【解答】解：以点O为位似中心，△ABC的位似图形是△GEH，△ABC与△GEH的位似比为＝．
故答案为：△GEH，．
【点评】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．
18．（2022秋•细河区期末）如图．在平面直角坐标系中，点E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E'的坐标为 （﹣3，1）或（3，﹣1） ．
【分析】根据题意画出对应的图形即可得到点E'的坐标．
【解答】解：如图，
∵E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），点O为位似中心，相似比为，
∴点E'的坐标为（﹣3，1）或（3，﹣1）．
故答案为：（﹣3，1）或（3，﹣1）．
【点评】本题主要考查求位似图形对应点的坐标，掌握相关知识并正确画出图形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．（2023•南陵县二模）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC，并画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1
（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
20．（2022秋•大荔县期末）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转180°后得到的图形．
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质即可得到结论；
（2）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；利用位似图形的性质得出C，D点坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△OA′B′即为所求；
（2）如图所示△OCD即为所求，D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．
【点评】此题主要考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，得出对应点坐标是解题关键．
21．（2022秋•惠来县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别是A（1，1），B（2，3），C（3，2）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比为2：1；
（3）求△A2B2C2的面积．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）把三角形的面积转化为正方形与四个直角三角形面积之差进行计算便可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A2B2C2的面积＝＝6．
【点评】本题考查了轴对称变换，三角形的面积，位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
22．（2023•城厢区校级开学）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．并写出B1的坐标 （﹣7，6） ．
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标： （1，4）或（﹣1，﹣4） ．
【分析】（1）先找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连结即可；接下来根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；
（2）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况．
【解答】解：（1）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，可知B1的坐标（﹣7，6）；
故答案为：（﹣7，6）；
（2）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（1，4）或（﹣1，﹣4）．
故答案为：（1，4）或（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了平移变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点．
23．（2023•揭阳开学）（一）看图填空．（如图中每个方格的边长表示1厘米）
（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中涂色的三角形向 右 平移 5 厘米，平行四边形就变成了长方形．
（2）三角形ABC中，点B的位置用数对表示是 （15，6） ，点B在点C的 南 偏 东45 度方向上．
（二）画一画，填一填．
（3）画出三角形ABC绕点A顺时针旋转90度后的图形．
（4）画出把三角形ABC按2：1的比放大后的图形．原图形与放大后图形的周长比是 1：2 ，面积比是 1：4 ．
【分析】（一）（1）利用平移变换的性质判断即可；
（2）利用坐标写出点B的位置，利用方向角判定点B的位置；
（二）（3）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可；
（4）利用相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：（一）（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中涂色的三角形向右平移5厘米，平行四边形就变成了长方形．
故答案为：右，5；
（2）三角形ABC中，点B的位置用数对表示是（15，6），点B在点C的 南偏 东45度方向上．
故答案为：（15，6），南，东45；
（二）（3）如图，△AB′C′即为所求．
（4）如图，△DEF即为所求．原图形与放大后图形的周长比是1：2，面积比是1：4．
故答案为：1：2，1：4．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2022秋•叙州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，﹣2）．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A'B'C'．
（1）画出△A'B'C'；
（2）分别写出B，C两点的对应点B'，C'的坐标．
【分析】（1）由以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′，根据位似的性质，可求得点′、B′、C′的坐标，继而画出△A′B′C′；
（2）由（1）即可求得B，C两点的对应点B′，C′的坐标．
【解答】解：（1）∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′，
∴A′（4，0），B′（6，4），C′（10，﹣4）；
如图画出△A′B′C′：
（2）由（1）得：B′（6，4），C′（10，﹣4）．
【点评】此题考查了作图﹣位似变换．熟练掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．
25．（2023春•威海期末）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．并写出点B的对应点B2的坐标．
（3）△ABC内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标．
【分析】（1）将三个顶点分别顺时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点位似变换的对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据位似变换的定义可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，其中点B的对应点B1的坐标为（3，1）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点B的对应点B2的坐标为（2，﹣6）；
（3）M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标（﹣2a，﹣2b）．
【点评】本题考查了作图—位似变换、旋转变换，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
26．（2023春•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．
（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．
【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；
（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，A1（4，2），B1（2，﹣4）．
（2）如图所示，A2（0，2），B 2（﹣1，﹣1）．
（3）△OA1B1与△O2A2B2是关于点M（﹣4，2）为位似中心的位似图形．
【点评】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．
探索位似的性质利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．
小明利用《几何画板》软件，尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，步骤如下：
如图1，任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A'B'C'．
第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等．
第二步，以O为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A'的横坐标，并计算比值；分别度量点A，A'的纵坐标，并计算比值，观察比值与k的关系，发现它们相等．接下来对其它顶点作相同的操作，得出相同的结论．
第三步，作线段OA,OA',OB,OB',OC,OC'，度量它们，发现的结论是：_______．
第四步，任意改变△ABC的位置或形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．
于是，小明总结并得出了位似的性质．