北师大版（2024）九年级上册1 反比例函数精品练习题

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）
知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）
知识点3.根据实际问题列反比例函数的表达式（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值
题型2.反比例关系的应用
题型3.反比例函数关系的判断及应用
题型4.应用几何图形中的数量关系建立反比例函数关系
【方法三】 仿真实战法
考法. 反比例函数的概念
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。
能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．xy＝1B．y＝C．y＝D．y＝
【变式】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝﹣C．xy＝5D．y＝
知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）
待定系数法求反比例函数解析式一般步骤：
【例2】（2022秋·九年级单元测试）已知y＝y1－y2，y1与x成反比例，y2与x－2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝－1；求当x＝－1时，y的值．
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式．
【变式2】（2022秋·江西九江·九年级统考期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式．
知识点3.根据实际问题列反比例函数的表达式（重点）
【例3】（2021秋·福建三明·九年级统考阶段练习）水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为．
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
【变式】（2023秋·九年级课时练习）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表：
根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ．
【方法二】实例探索法
题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值
一、单选题
1．（2023·江苏淮安·校考二模）反比例函数的图象经过、两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．4或﹣4D．0
3.（2022秋•惠来县期末）函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（ ）
A．3B．2C．1D．0
4．（2023秋·九年级课时练习）当k 时，关于x的函数是反比例函数．
5．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考开学考试）若函数是反比例函数，则 ．
6．（2023秋·九年级课时练习）已知关于x的反比例函数，则m的值为 ．
7．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，是反比例函数与的图象上的点，则 ．
8．（2023·陕西宝鸡·统考三模）若点在反比例函数的图像上，则代数式 ．
9．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）已知点在函数（是常数，）的图象上，若将点C先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点D，点D恰好落在此函数的图象上，的值是 ．
10．（2023秋·九年级课时练习）已知函数，
(1)当m，n为何值时是一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数？
题型2.反比例关系的应用
11．（2023秋·九年级课时练习）已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（ ）
A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；
B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；
C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；
D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．
12．（2023秋·九年级课时练习）下列问题中的两个变量是成反比例的是（ ）
A．被除数（不为零）一定，除数与商B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
13．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系
14．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图为时的视窗情形．
（1）当时，与的交点坐标为 ；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．
例如，为在视窗中看到（）中的交点，可将图中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由－及－变成了及（如图）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数 ．
15．（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ．
题型3.反比例函数关系的判断及应用
16．（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数．
(1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式．
(2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式．
(3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式．
17．（2022春·全国·九年级专题练习）写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化．
18．（2023春·湖南常德·九年级统考开学考试）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
(1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式；
(2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？
题型4.应用几何图形中的数量关系建立反比例函数关系
19．（2022春·九年级课时练习）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
20.如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上一动点，连接AP，过点D作于点E.设，，若，，试求y与x之间的函数关系式.
【方法三】 仿真实战法
考法. 反比例函数的概念
1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（ ）
A．反比例函数关系B．正比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
2．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·九年级校联考阶段练习）若函数为反比例函数，则m的值是（ ）
A．1B．0C．D．
2．（2023·海南·统考中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ）
A．2B．C．D．
3．（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期中）下列函数是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·重庆·九年级专题练习）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）下列函数中属于反比例函数的个数为（ ）
① ② ③ ④（为常数，且）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）已知点在反比例函数（为常数，）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）已知点在函数的图象上，则a的值为（ ）
A．B．1C．D．2
8．（2023·北京·九年级专题练习）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；
②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
9．（2022春·九年级课时练习）下列选项中，能写成反比例函数的是（ ）
A．人的体重和身高
B．正三角形的边长和面积
C．速度一定，路程和时间的关系
D．销售总价不变，销售单价与销售数量的关系
10．（2018·安徽芜湖·校联考一模）已知点A（﹣2，1），B（1，4），若反比例函数y=与线段AB有公共点时，k的取值范围是（ ）
A．﹣≤k＜0或0＜k≤4B．k≤﹣2或k≥4
C．﹣2≤k＜0或k≥4D．﹣2≤k＜0或0＜k≤4
二、填空题
11．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）若某城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为 ．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则a的值为 ．
13．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值是______．
14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
15．（2023春·福建福州·九年级校考期中）点，，，都在反比例函数 的图象上，若，则 的值为 ．
16．（2021春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）若函数是反比例函数，则的值等于 ．
17．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，矩形的边与y轴平行，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，若反比例函数的图像与矩形有公共点，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
18．（2021春·全国·九年级专题练习）已知反比例函数的解析式为，则最小整数k＝ ．
三、解答题
19．（2023秋·九年级课时练习）下列y关于x的函数中，哪些是反比例函数？是反比例函数的，指出它的比例系数．
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
20．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）关系式 中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由．
21．（2023秋·九年级单元测试）A，B两地相距．一辆汽车从A地驶往B地，速度为，驶完全程的时间为．求v关于t的函数表达式．若汽车驶完全程用了，求汽车的速度（精确到）．
22．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级校考期末）已知是反比例函数，求m的值．
23．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的负等积点已知点．
(1)在，，，中，点M的负等积点是 ．
(2)如果点M的负等积点N在双曲线上，求点N的坐标．
24．（2023·广东广州·统考二模）已知：．
(1)化简A；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
25．（2023·山东滨州·九年级统考自主招生）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，，的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为．
(1)用列表法或画树状图表示出的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点落在反比例函数的图像上的概率．
26．（2022秋·广西防城港·九年级校考阶段练习）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”，例如三个实数，3，4，因为的倒数为，而3与4的倒数和为，所以三个实数，3，4构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则有，．
问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
(2)若，是关于x的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于x的方程（b，c均不为0）的解．求证：，，可以构成“和谐三数组”；
(3)若A(m，)，B(m+1，)，C(m+3，)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
第1天
第2天
第3天
第4天
售价(元/双)
150
200
250
300
销售量(双)
40
30
24
20