北师大版（2024）九年级上册3 反比例函数的应用优秀课堂检测

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.反比例函数在实际问题中的应用（重点）
知识点2.反比例函数与一次函数图象的交点（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.跨学科的反比例函数应用题
题型2.反比例函数与一次函数的综合应用
【方法三】 仿真实战法
考法1.反比例函数的实际应用
考法2.一次函数与反比例函数知识的综合应用
【方法四】成果评定法
【学习目标】
能分析实际问题中两个变量之间的关系，建立反比例函数模型，能从图象中获取信息，能用反比例函数解决简单的实际应用问题，进一步体会数形结合思想。
能解决反比例函数图象与一次函数图象的交点问题。
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.反比例函数在实际问题中的应用（重点）
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
【例1】（2022秋·河北·九年级校联考阶段练习）某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．该企业在整改过程中，所排污水中硫化物的浓度ymg/L与整改时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与整改时间x成反比例关系．

(1)在整改过程中，求硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式；
(2)试判断该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内（含15天）整改到不超过最高允许的1.0mg/L的程度？并说明理由．
【答案】(1)当0≤x≤3，y=−2x+10；当x>3时，y=12x
(2)能，理由见解析
【分析】（1）分0≤x≤3及x>3根据相关点的坐标利用待定系数法代入一次函数及反比例函数解析式求解即可得出答案；
（2）将x=15代入反比例函数解析式y=12x，求出y得值再比较即可说明．
【详解】（1）当0≤x≤3时，设硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式y=kx+b
将点A0,10和点B3,4代入y=kx+b，
解得k=−2b=10，
∴y=−2x+10
当x>3时，设硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式y=mx，
将点C6,2代入y=mx，
解得m=12，
∴y=12x
综上，当0≤x≤3，硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式为y=−2x+10；
当x>3时，硫化物的浓度y与整改时间x的函数解析式为y=12x；
（2）能；
理由：当x=15时，y=1215=0.8<1，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天内（含15天）整改到不超过最高允许的1.0mg/L的程度．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，根据图中信息得出相关点的坐标是解题的关键．
【变式】（2023·广东汕尾·统考一模）生理学家发现每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“嗐转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）x>0的反比例函数，y与x之间有如表关系，
请根据表中的信息解决下列问题：
(1)求出y与x之间的函数解析式；
(2)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，则其两腿迈出的步长之差是多少厘米？
【答案】(1)y与x之间的函数解析式为y=14x
(2)某人走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是0.4厘米
【分析】（1）将2,7代入函数解析式为y=kx，运用待定系数法解答即可；
（2）令y=35，求得x的值即可解答．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx，
将2,7代入得7=k2，
∴k=14，
∴y与x之间的函数解析式为y=14x；
（2）当y=35时，即14x=35，
解得x=0.4
∴某人走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是0.4厘米
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与实际的综合应用等知识点，理解反比例函数的定义及图象的特点是解题的关键．
知识点2.反比例函数与一次函数图象的交点（难点）
确定交点坐标：
方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
【例2】（2023秋·河南信阳·九年级校联考期末）如图，函数y=kx+bk≠0与y=mxm≠0的图象交于点A−2,3,B1,−6两点，则不等式kx=mx+b>0的解集为（ ）
A．x>−2B．−21C．x>1D．x<−2或0【答案】D
【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵函数y=kx+bk≠0与y=mxm≠0的图象相交于点A(−2,3),B(1,−6)两点，
∴不等式kx+b>mx的解集为：x<−2或0故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式】．（2022·河南漯河·校考一模）如图，点C在反比例函数y＝kx（x>0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为2，则k的值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为2，即可求得k的值．
【详解】解：设点A的坐标为（a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为2，
∴点C（-a，−ka），
∴点B的坐标为（0，-k2a），
∴−a⋅(−k2a)2＝2，
解得，k=8，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【方法二】实例探索法
题型1.跨学科的反比例函数应用题
1．（2022秋·河北·九年级校联考阶段练习）一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例函数，小明通过组合电路做实验时，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，其数据如下表所示．若在该电路中，电流表的最大量程是3A，为确保不超过电流表的最大量程，则该电路中电阻不小于（ ）
A．2ΩB．1.8ΩC．1.6ΩD．1.5Ω
【答案】C
【分析】根据表中数值求出反比例函数解析式，把I≤3代入解析式即可求出结果．
【详解】解：解：∵一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R(Ω)之间成反比例函数，
∴设I=UR，
把R=2时，I=2.4代入得2.4=U2，
∴U=4.8，
∴电流I（A）和电阻R(Ω)之间的反比例函数解析式为I=4.8R，
当4.8R≤3时，
即R≥1.6，
∴该电路中电阻不小于1.6Ω．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解决问题的关键．
2.（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，p随V的变化情况如表所示．
（1）写出一个符合表格数据的p关于V的函数解析式 （2）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数解析式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？
【答案】（1）P=96V；（2）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为23立方米．
【分析】1 设p与V的函数的解析式为p=kv，利用待定系数法求函数解析式即可；
2由p=144时，v=23，所以可知当气球内的气压＞144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于23立方米．
【详解】（1）由表格中数据可得PV=96，
则p=96v;
故答案为p=96v.
（2）由P=144时，v=23，
∴p≤144时，v≥23
当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为23立方米．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
题型2.反比例函数与一次函数的综合应用
3.（2023·江苏连云港·统考二模）如图，已知点A在正比例函数y=−2x图像上，过点A作AB⊥x轴于点B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数y=kx图像上．

(1)若点A的横坐标为−2，求k的值；
(2)若设正方形的边长为m，试用含m的代数式表示k值．
【答案】(1)k=−24
(2)k=−32m2
【分析】（1）根据正比例函数的上得到点A的坐标为−2，4，再根据正方形的性质及反比例函数的解析式即可解答；
（2）根据正比例函数的解析式及正方形的性质得到A的坐标为−m2,m，再根据反比例函数的解析式得到 k=−32m2．
【详解】（1）解：∵点A在正比例函数图象上，
∴当x=−2时，y=4，点A的坐标为−2，4，
∴AD=AB=BC=DC=4，OB=2，D的坐标为−6，4，
∴点D在反比例函数图像上，
∴k−6=4，
∴k=−24．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为m，
∴AD=AB=BC=DC=m，
∴D和A的纵坐标为m，
∴A的坐标为−m2,m，OC=32m，
∴点D的坐标为−32m,m，
∴代入反比例函数得，k=−32m2．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的上点的特征，正方形的性质，利用正方形的性质求各个点的坐标是解题的关键．
4.（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）某校九年级组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出函数解析式；
(2)若商场计划品牌运动鞋每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元一双？
【答案】(1)反比例函数关系，y=6000x
(2)240元
【分析】（1）由表中数据得出xy=6000，即可得出结果；
（2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验．
【详解】（1）解：由表中数据得：xy=6000，
∴y=6000x，
∴y是x的反比例函数，
故所求函数关系式为y=6000x；
（2）解：由题意得：(x−120)y=3000，
把y=6000x代入得：(x−120)⋅6000x=3000，
解得：x=240；
经检验，x=240是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键．
5.（2023·浙江台州·统考一模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强PPa与受力面积Sm2的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
(1)求桌面所受压强PPa与受力面积Sm2之间的函数表达式；
(2)现将另一长、宽、高分别为0.2m，0.3m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若桌面所受压强PPa与受力面积Sm2之间的关系满足（1）中的函数表达式，且该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【答案】(1)P=200S
(2)安全，见解析
【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式即可；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【详解】（1）解∶ 由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，
故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P=kS，
将400,0.5代入得：k=400×0.5=200，
∴P=200S．
（2）解∶ 这种摆放方式安全，理由如下：
由图可知s=0.2×0.3=0.06，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P=2000.06=100003Pa，
∵100003<5000，
∴这种摆放方式安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
6.（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式为y=4x．当广告停止后，销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)当x≥30时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式；
(2)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．
【答案】(1)y=3600xx≥30
(2)设计师可以拿到特殊贡献奖，理由见解析
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别求得销量不低于100万件的天数，相加后大于等于12天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【详解】（1）解：当x≥30时，设y=kx，把30,120代入得k=3600，
∴y=3600xx≥30
（2）当0即25≤x≤30，有6天；
当x>30时，由3600x ≥100，解得：x≤36，
即30共有6+6=12天，
因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型．
7.（2022秋·广西南宁·九年级统考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某化工厂从2022年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2022年1月为第1个月，第x（x为正整数）个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
(1)分别直接写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式，并写出自变量范围；
(2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
(3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
【答案】(1)y=100x,(1≤x≤5)10x−30,(x>5)
(2)13
(3)5
【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）把y=100代入y=10x−30即可得到结论；
（3）对于y=100x，当y=50时，得x=2，得到x>2时，y＜50，对于y=10x−30，当y=50时，得到x=8，于是得到结论．
【详解】（1）当1≤x≤5时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图可知：(1,100)在函数图像上，
∴k=100，
∴y=100x，
当x=5时，y=20
当x≥5时，设函数为y=kx+b，
由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元，
∴k=10，
由图可知，过点(5,20)，
∴20=5×10+b，
∴b=−30，
∴y=10x−30，
综上：y=100x,(1≤x≤5)10x−30,(x>5)，
（2）在函数y=10x−30中，令y=100，得10x−30=100，
解得：x=13，
答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．
（3）在函数y=100x中，
当y=50时，x=2，
∵100＞0，y随x的增大而减小，
∴当y＜50时，x>2，
在函数y=10x−30中，
当y＜50时，得10x−30＜50
解得：x＜8
∴2＜x＜8且x为整数；
∴x可取3，4，5，6，7；共5个月．
答：该化工厂资金紧张期共有5个月
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
8.（2022秋·陕西延安·九年级统考期末）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清（1≤x≤30）．y与x的函数关系如图所示，
根据图像回答下列问题：
(1)求出y与x的函数解析式；
(2)若王先生交了首付款后，打算用20个月结清，平均每月应付多少万元？
【答案】(1)y=9x
(2)平均每月应付0.45万元
【分析】（1）由图像可知y与x成反比例，设y与x的函数解析式为y=kx(k≠0)，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将x=20代入函数解析式并求解即可获得答案．
【详解】（1）解：由图像可知y与x成反比例，设y与x的函数解析式为y=kx(k≠0)，
将(5,1.8)代入解析式，得1.8=k5，解得k=9，
∴y与x的函数解析式为y=9x；
（2）当x=20时，y=920=0.45（万元），
答：平均每月应付0.45万元．
【点睛】本题主要考查了利用反比例函数解决实际问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
9.（2022秋·山西太原·九年级统考期末）市政府计划建设一项惠民工程，工程需要运送的土石方总量为105m3，经招投标后，先锋运输公司承担了运送土石方的任务．
(1)直接写出运输公司平均每天运送速度v（单位：m3/天）与完成任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式；
(2)如果每辆车每天平均运送102m3的土石方，要求不超过50天完成任务，求运输公司平均每天至少安排多少辆车．
【答案】(1)v=105t，t>0
(2)运输公司平均每天至少安排20辆车
【分析】（1）由题意知vt=105，然后写成反比例函数解析式的形式；
（2）设运输公司平均每天至少安排x辆车，则有105102x≤50，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知vt=105
∴v=105t，t>0
∴函数关系式为：v=105t，t>0．
（2）解：设运输公司平均每天至少安排x辆车
则105102x≤50
解得x≥20
∴运输公司平均每天至少安排20辆车．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意列正确的等式或不等式．易错点是解析式未给出自变量的取值范围．
【方法三】 仿真实战法
考法1.反比例函数的实际应用
1．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），于是得到结论．
【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），R、I均大于0，
∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（ ）
A．3AB．4AC．6AD．8A
【分析】根据函数图象可设I＝，再将（8，3）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设I＝，
∵图象过（8，3），
∴U＝24，
∴I＝，
当电阻为6Ω时，电流为：I＝＝4（A）．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
3．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．
【解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．
∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．
4．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
【分析】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
5．（2023•南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为 N．
【分析】根据题意可知此函数为反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数，再将v＝30m/s代入即可求解．
【解答】解：设功率为P，由题可知P＝FV，即v＝，将F＝3750N，v＝20m/s代入可得：P＝75000，即反比例函数为：v＝．当v＝30m/s时，F＝＝2500N．
胡答案为：2500．
【点评】本题考查反比例函数，掌握功率、速度、阻力关系便可解决问题．
考法2.一次函数与反比例函数知识的综合应用
6．（2023•潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞3时，y1＜y2B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
【分析】结合函数图象以及A、B的坐标解答即可．
【解答】解：由题意得：
当x＞3时，y1＞y2，故选项A结论错误，不符合题意；
当x＜﹣1时，y1＜y2，故选项B结论正确，符合题意；
当0＜x＜3时，y1＜y2，故选项C结论错误，不符合题意；
当﹣1＜x＜0时，y1＞y2，故选项D结论错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的交点问题，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
7．（2023•怀化）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，0）B．（5，0）
C．（﹣3，0）或（5，0）D．（3，0）或（﹣5，0）
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝9，求得CD的长度，进而即可求得点C的坐标．
【解答】解：把点A（1，3）代入y＝（k＞0）得，3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数为y＝，
设直线AB为y＝ax+b，
代入点D（﹣1，0），A（1，3）得，
解得，
∴直线AB为y＝x+，
解，得或，
∴B（﹣2，﹣），
∵S△ABC＝9，
∴S△ACD+S△BCD＝，
∴CD＝4，
∴点C的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．
故选：D．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．（2023•阜新）正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，连接BC，则△ABC的面积是 ．
【分析】先求出A，B两点的坐标，进而得出点C的坐标，以AC为底，则高为A，B两点间的水平距离，可求得△ABC的面积．
【解答】解：由题知，
，解得或，
即A（，），B（，）．
又AC⊥x轴，垂足为点C，
所以C（，0）．
则AC＝，
故h＝＝．
所以＝5．
故答案为：5．
【点评】本题是一道一次函数和反比例函数的综合题，正确的表示出△ABC的面积是解题的关键．
9．（2023•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于A（3，m），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足AC⊥BC，求点C的坐标．
【分析】（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据反比例函数的对称性可求出AB的长，再由AC⊥BC并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得OC的长，进而解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（3，m）在一次函数 的图象上，
∴．
∴点A的坐标为（3，4）．
∵反比例函数 的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12．
∴反比例函数的解析式为 ．
（2）过A点作y轴的垂线，垂足为点H，
∵A（3，4），
则 AH＝3，OH＝4．
由勾股定理，得 ．
由图象的对称性，可知 OB＝OA＝5．
又∵AC⊥BC，
∴OC＝OA＝5．
∴C点的坐标为（5，0）．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下，阻力和阻力臂分别是和，若动力（单位：N），则动力臂与（单位：m）的数量关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
【详解】解：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，
动力（单位：关于动力臂（单位：的函数解析式为：，
则，
动力（单位：关于动力臂（单位：是成反比例，
动力臂随动力的增大而减小，
动力（单位：，
动力臂，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：①当时，，
一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；
②当时，，
一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限．
3．（2023春·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知反比例函数，当时，y随着x的增大而增大，则下列各坐标对应的点可能在该反比例图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据当时，y随着x的增大而增大，可得，再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得答案．
【详解】解：∵当时，y随着x的增大而增大，
∴，
∵，，，，
∴可能在该反比例图象上的是．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟记反比例函数的作增减性是解本题的关键．
4．（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数（）的图象上，则的值为（ ）

A．B．16C．8D．17
【答案】C
【分析】根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，，得到，然后再求和．
【详解】解：过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、，

则，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
，
其斜边的中点在反比例函数，
，即，
，
，
设，则，
此时，代入得：，
解得：，即：，
同理：，
，
∴，
，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
5．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考三模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为D．玻璃从降至室温需要的时间为
【答案】C
【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可．
【详解】解：∵，
∴玻璃加热速度为，
故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是，
故B选项不合题意；
∴设玻璃温度上升时的函数表达式为，
由题可得，在正比例函数图象上，
代入点可得，，
∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是，
∴将代入，得，
∴将代入，得，
∴，
∴能够对玻璃进行加工时长为，
故C选项符合题意；
将代入得，，
∴，
∴玻璃从降至室温需要的时间为，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键．
6．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气体体积（）的反比例函数，如图，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积应（ ）．

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得与成反比例，设气球内气体的气压和气体的体积之间的函数关系式为，代入，求出解析式，由，求出的范围即可．
【详解】解：设气球内气体的气压和气体的体积之间的函数关系式为，
∵图象过，
∴，
解得，，
∴，
∵在第一象限内随的增大而减小，
∴当时，，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
7．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考开学考试）如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当值由小变大时，先经过点A，把点A的坐标代入即可；最后和直线有交点时最大，即联立的方程中,解题即可．
【详解】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是，
∵过点的反比例函数解析式为
∴
随着 值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意。
经过点的直线解析式设为，代入得
，解得，
∴,
由 得,根据,得
综上可知
故答案为: ．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形有交点，解题的关键必须找出临界点．
8．（2023·河南周口·校联考三模）已知点、关于x轴对称，若点M、N分别在反比例函数和的图象上，则k的值为（ ）
A．5B．10C．D．无法确定
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，得到，再根据关于x轴对称的点的坐标特征，得到，然后代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
点、关于x轴对称，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，关于x轴对称的点的坐标特征，求反比例函数系数，解题关键是掌握关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
9．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．则图中阴影部分的面积是（ ）．

A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积即可求出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过B点，
∴，
∴，
∴小正方形的面积为，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且，
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
10．（2023·河南信阳·校联考二模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元
D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
【答案】D
【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
∵当时，，
月份的利润为万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，
则，解得：，
故一次函数解析式为：，
当时，，解得：，
∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意．
D、当时，，解得：，
∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
二、填空题
11．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，两点在函数图像上，垂直轴于点，垂直轴于点，，面积分别记为，，则 ．（填“”、“”、“”）

【答案】
【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求解．
【详解】解：根据题意，设，，且两点在函数图像上，
∴，，则，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的系数与几何图形面积的关系是解题的关键．
12．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，的对应点是的对应点是，函数的图像经过点和的中点，则的值是 ．

【答案】
【分析】如图所示，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，根据反比例函数的几何图形面积的关系，利用方程思想解答即可．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，

∵点，，
∴，，
∵向右平移到，
∴，，，设，
∴四边形的面积为，
∵为的中点，轴，轴，
∴为的中位线，
∴，，则，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积为，
∵点，点在反比例函数的图像上，
∴，即点处，，点处，，
∴，解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握几何图形变换的特点，几何图形的面积的计算方法，中位线的判定和性质，几何图形面积与反比例函数系数的关系等知识是解题的关键．
13．（2023·山西长治·统考模拟预测）学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压、电流、电阻三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为：．由此可得，当电阻时，电流 A．

【答案】
【分析】根据题意和表格中的数据，可以得到的值是一个定值，然后将代入函数解析式，求出的值即可．
【详解】解：由题意可得，
，由表格可知：当时，，
，
解得，
，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出U的值．
14．（2023·山东青岛·统考中考真题）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴或（舍去），
∴反比例函数的表达式为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键．
15．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在如图所示的网格中（每个小正方形的边长为1），以点O为原点作平面直角坐标系，则与点P不在同一反比例函数上的点为 ．
【答案】B
【分析】由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出点A、B、C的横纵坐标的积，比照后即可得出结论．
【详解】解：∵点P在反比例函数图象上，
∴．
∵点A的坐标为，
∴点A在反比例函数图象上；
∵点B的坐标为，
∴点B不在反比例函数图象上；
∵点C的坐标为，
∴点C在反比例函数图象上，
故与点P不在同一反比例函数图象上的是点B，
故答案为：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
16．（2023秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，其中，点C为斜边的中点，反比例函数的图象过点C且交线段于点D，连接，若，则k的值为 ．

【答案】2
【分析】过点C作轴于E，设，且，求出，推出，再由，求出，，利用梯形面积公式求出，由此得到答案．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于E，
∵，，的边在轴正半轴上，
∴设，且，
∴，
∵点为斜边的中点，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式，
∵，点D在线段上，
∴点D的横坐标为m，
∵反比例函数的图象过点D，
∴当时，，
∴，
∴AD=，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．

【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，各图形面积的计算公式，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，正确设出各点的坐标是解题的关键．
17．（2023秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）菱形在平面直角坐标系中如图1所示，已知，轴，点C的横坐标为．直线向左平移m个单位，在平移过程中，被菱形截得的线段长为n，n与m之间的函数关系如图2所示，则过点B的反比例函数表达式为 ．

【答案】
【分析】观察所给图象可知，当时，平移后图象经过点C，由此求出点C的坐标；当平移后图象在点B和点D之间时，被菱形截得的线段长，由此求出菱形边长，由此可解．
【详解】解：直线向左平移m个单位后的解析式为，当平移后图象经过点B时如下图所示，直线与交于点E，过点B作于点F，

由图2知，当时，平移后图象经过点C，即直线经过点C，
点C的横坐标为，，
点C的坐标为．
由图2知，当平移后图象在点B和点D之间时，被菱形截得的线段长，即，
轴，
直线与的夹角，
又菱形中，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
点B的坐标为，即
设过点B的反比例函数表达式为，
将代入，得：，
点B的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图象，一次函数图象的平移，求反比例函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质等，解题的关键是求出菱形边长和点C的坐标．
18．（2020秋·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）如图1，矩形的四个顶点、在上，、在上，满足，且点、的横坐标之和等于点的横坐标，则矩形的面积为 ．

【答案】
【分析】设，，得的横坐标为，由结合构造相似，计算出的坐标，再根据平移求出点坐标，即可求出的值，最后计算矩形面积即可．
【详解】∵点、在上
∴设，，且
过作轴交轴于，过作交于，过作于，
则，，

∵矩形满足，
∴
∴
∴,
∴，
∵矩形
∴从到和从到都可以看成先向右平移，再向上平移
∴，
∵、在上，
∴
整理得：
∵点、的横坐标之和等于点的横坐标，
∴
∴，整理得，
代入可得，
整理得，
解得或，
当，，不合题意；
当，，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数值的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征．找到符合条件的关键点的坐标是解本题的关键．
三、解答题
19．（2023·广东广州·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线平移后经过点，且与反比例函数的图象的一个交点为，试确定反比例函数的解析式．
【答案】．
【分析】由直线的平移，运用待定系数法可确定平移后解析式，进而求得参数a,确定，代入反比例函数解析式，从而确定解析式．
【详解】解：设平移后的直线解析式为，
把点代入，得，
∴．
即平移后的解析式为，
∵点在上，
∴．
∴，
∴点A的坐标为，
代入中，
得．
∴反比例函数的解析式为．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象与坐标，图象平移；掌握数形结合的思想，理解函数解析式、图象与方程的联系是解题的关键．
20．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）已知：一次函数与反比例函数．其中的图象过．
(1)求出两个函数图象的交点坐标；
(2)根据图象直接回答：取何值时，．
【答案】(1)，．
(2)或
【分析】（1）依据题意，把，代入反比例函数解析式求出再将与联列方程组，进而可以求出交点的坐标；
（2）依据题意，根据一次函数图象在反比例函数下方时对应的自变量作答即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入反比例函数解析式得，，
．
联立方程组
解得：或．
两个函数图象的交点坐标为，．
（2）由题意，作图如下，
，
一次函数图象在反比例函数下方时对应的自变量为：或，即满足题意的为：或．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质，数形结合是解题的关键．
21．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）设函数（是常数，），点在该函数图象上，将点先关于轴对称，再向下平移4个单位，得点N，点恰好又落在该函数图象上．
(1)求该函数表达式；
(2)若，，是（1）小题函数图象上的三个点的坐标，且满足，请比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据题意由表示出的坐标，再由与都为反比例函数图象上的点，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数，得到第一象限为减函数，求出，，的大小，即可作出判断．
【详解】（1）解：∵将点先关于轴对称，再向下平移4个单位，得点N，
∴，
∵与都在反比例函数上，
∴，
解得：，
∴，
把代入反比例解析式得：，
解得：，
则反比例函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
∵，，是图象上三个点的坐标，
∴，
则．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称点的特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．

(1)______，______，点C的坐标为______．
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)，，
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．
（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．
【详解】（1）（1）将代入，得，
∴．
将代入，得，
∴．
如图，过点A作轴于点D，则．

∵点A，B关于原点O对称，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，．
当点P在x轴的负半轴上时，，
∴．
又∵，
∴与不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，．
①若，则，
∵，
∴，
∴；
②若，则，
又∵，，
∴，
∴．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．
23．（2023·江西南昌·校考二模）如图，一次函数的图象与反比例函数于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点D，C为反比例函数的图象上的点，且于点A

(1)求的面积．
(2)若，求k的值．
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）由一次函数的解析式求得A、D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解；
（2）作轴于E，轴于F，设，则，，，通过证得，求得，，，即可得出，由反比例函数的图象经过B、C点，得出，根据一次函数的图象经过点B，即可得出，即可得出，代入得到关于n的方程，解方程求得n的值，进一步求得m的值，由即可求得k的值．
【详解】（1）解：令，则，
令，则，解得，
∴，，
∴，，
∴的面积；
（2）解：作轴于E，轴于F，如图所示：

设，则，，
∵，
∴，
∵于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过B、C点，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确表示出点C的坐标的解题的关键．
24．（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足，请求出点P的坐标；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)点P的坐标为；
(3)x的取值范围是或．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或（舍去），
将代入，得，
∴P的坐标为；
（3）解：观察图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
25．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，过点作轴，垂足为，连接，已知四边形是平行四边形，且其面积是．

(1)求点A的坐标及和的值；
(2)求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
(3)若直线与四边形和反比例函数图象均无公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】令，则，解得，得到，根据平行四边形的性质求出，设，再根据平行四边形的面积是，列出方程得到，把分别代入，，即可求出m、k的值；
联立直线和双曲线的解析式，求解，即可得到答案；
找出邻界点直线经过点时的值，直线与双曲线在第四象限相切时的值，即可得出t的取值范围．
【详解】（1）令，则，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
轴，
设，
平行四边形的面积是，
，
，
，，
，
点在直线上，
，

即，，；
（2）由知，，
直线的解析式为，
由知，，
反比例函数的解析式为，
联立解得，（点的坐标）或，
一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为；
（3）当直线过点时，，
，
当直线与第四象限的双曲线相切时，
，
，
，
（舍），或，
直线与四边形和反比例函数图象均无公共点时，．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形．熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质，函数与方程的关系，是解决问题的关键．
26．（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．

(1)求的值，并直接写出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，点P的坐标为 或
【分析】（1）将 代入直线解析式，可求出m，即可求出答案；
(2)如图1，作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
(3) 分两种情况讨论：P在x轴上，P在y轴上，利用相似进行求解即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标为代入直线中，
得，
解得：，
，
，
∴反比例函数解析式为，
由，
解得 或，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点F，则，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，
，
，
，
设的解析式为，
，
，
解得： ，
解析式为，
当时，，
；
（3）解：存在．理由如下：
当点P在x轴上时，如图，

设点 的坐标为 ，过点B作轴于点M，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
经检验符合题意，
∴点 的坐标为；
当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2，
设点 的坐标为，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
即，
，
经检验符合题意，
∴点的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用轴对称解决线段和的最小值问题，能用分类讨论的思想解决问题．
x（厘米）
1
2
3
5
y（米）
14
7
143
2.8
R（Ω）
…
2
3
4
…
I（A）
…
2.4
1.6
1.2
…
P
1.5
2
2.5
3
4
…
V
64
48
38.4
32
24
…
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y/（双）
40
30
24
20
桌面所受压强P（Pa）
100
200
400
500
800
受力面积Sm2
2
1
0.5
0.4
0.25