高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数学案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数学案，共9页。
教材要点
要点一 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用____________的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用__________的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．
要点二 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解．
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为________________，再借助y＝ax的________求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
要点三 指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__________的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝ax(a＞0且a≠1)的最小值为0.( )
(2)y＝21－x是R上的增函数．( )
(3)若0.1a＞0.1b，则a＞b.( )
(4)由于y＝ax(a＞0，且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也构不成具有奇偶性的函数．( )
2．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝1x B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
3．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜2e D．0.90.2＞0.90.5
4．函数y＝2|x|的单调递减区间是________．
题型1 指数函数单调性的应用
角度1 比较大小
例1 (1)(多选)下列各组数的大小比较不正确的是( )
A．1.52.5＜1.53.2 B．0.6－1.2＞0.6－1.5
C．1.50.3＞0.81.2 D．0.30.4＜0.20.5
(2)比较下列各值的大小：4313，223，−233，3412.
方法归纳
比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的特征，或引入中间数进行比较．角度2 解简单的指数不等式
例2 (1)不等式3x－2＞1的解集为________．
(2)若ax＋1＞1a5−3x(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
方法归纳
解与指数相关的不等式的策略
底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解．
跟踪训练1 (1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，则a、b、c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
(2)解不等式(13)x2PAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX−2≤3.
题型2 与指数函数有关的复合函数的单调性
例3 (1)函数y＝31x的单调递减区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
(2)求函数y＝ax2＋2x－3的单调区间．
方法归纳
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝(13)x2−2x，判断函数f(x)的单调性．
题型3 指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝1－a·3x3x+1(2b－6＜x＜b)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数；
(3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．
方法归纳
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝12x−1+12·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)＞0.
易错辨析 忽视对指数函数的底数分类讨论致误
例5 若函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为a2，则a的值为( )
A．12 B．32 C．23或2 D．12或32
解析：当a＞1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a，
故有a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．
当0＜a＜1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a，最小值为a2，
故有a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)．
综上，a＝32或a＝12.
答案：D
易错警示
课堂十分钟
1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．c＞b＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
2．设f(x)＝12x，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在−2，1上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为( )
A．12 B．14或12
C．116 D．12或116
4．不等式23－2x＜0.53x－4的解集为________．
5．已知函数f(x)＝2－x2＋2x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[0，3]上的值域．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
(1)指数函数 (2)指数函数图象 (3)中间值
要点二
(1)单调性 (2)以a为底的指数幂 单调性
要点三
(1)相同 (2)相同 相反
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.
答案：D
3．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞
答案：D
4．解析：函数y＝2|x|的图象如图．由图可知，函数y＝2|x|的单调递减区间是(－∞，0].
答案：(－∞，0]
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中，函数y＝1.5x在R上是增函数，∵2.50.20.5，D不正确．故选BD.
(2)先根据幂的特征，将这4个数分类：①负数：−233；②大于1的数：4313，223；③大于0且小于1的数：3412. 也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y=(43)x，y=2x 的图象，再分别取x=13，x=23，比较对应函数值的大小，如图) 故有−233