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2024年宁夏回族自治区 银川市金凤区银川市第六中学九年级第一次模拟考试数学试题（解析版）
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这是一份2024年宁夏回族自治区 银川市金凤区银川市第六中学九年级第一次模拟考试数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题8小题，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；
根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：
的倒数是，
故选：C．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
D．绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 当光从一种介质射入另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，是解题的关键．
根据平行线的性质先求出，，然后等量代换即可．
【详解】解：如图：
，，
，
空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行，得：
，
，
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合选项分别进行合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方以及完全平方公式的运算，选出正确答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方以及完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和之间，则n的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，估算出是解题的关键．
6. 如图九年级3班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图，(满分为30分，成绩均为整数)．若将不低于25分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 （ ）
A. 80﹪B. 70﹪C. 62﹪D. 86﹪
【答案】A
【解析】
【分析】根据直方图可知，合格的人数即50−10＝40人，除以总人数即可求得．
【详解】解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是：
．
故答案是：A．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
7. 有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
8. 如图，已知抛物线与直线交于两点．下列结论：；；③关于x的不等式的解集是；；⑤关于x的方程无解；其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点， 根据二次函数图象与系数的关系可判断①和②；结合图象可直接得关于x的不等式的解集是或，即可判断③；将代入，结合图象可得，而，则，即可判断④；由图象可知，抛物线与直线没有交点，即关于x的方程无解，即可判断⑤．
【详解】解：由抛物线图象可知，，
∴，
∴，故结论①不正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，故结论②正确，符合题意；
由图象可知，关于x的不等式的解集是或，
故结论③不正确，不符合题意；
由抛物线图象可知，当时，抛物线对应的函数值小于0，
即，
∵，
∴，故结论④正确，符合题意；
由抛物线图象可知，抛物线的最低点的纵坐标介于和之间，
∴抛物线与直线没有交点，
∴关于x的方程无解，故结论⑤正确，符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：＝_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同分母分式的减法和平方差公式，直接计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算．熟练掌握同分母的加减法法则和平方差公式是解题的关键．
10. 宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光．闽宁合作、山海情深，某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动．选取三个景点：A．沙坡头，B．六盘山C．水洞沟．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，求小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先列表展示所有种等可能的结果数，再找出小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的的结果数，然后根据概率公式求解即可；
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的结果有1种，
∴小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的概率为．
故答案为：．
11. 关于的方程没有实数根，则的取值范围为____________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用根的判别式进行分析计算，即可求出的取值范围.
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查根的判别式相关，熟练掌握一元二次方程中，当时，方程没有实数根是解答此题的关键．
12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体；
先判断出几何体的形状，再利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【详解】解：根据三视图可知侧面是一个高为2，底边为的三角形的三棱柱，
该几何体的体积是，
故答案为：．
13. 已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 _______．
【答案】k≤﹣2
【解析】
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
由①得x＞﹣1；
由②得x＞k+1．
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴k+1≤﹣1，
解得k≤﹣2．
故答案为k≤﹣2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组应用，能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式是解题的关键．
14. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接．若，，则的面积为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
由作图可得，为线段的垂直平分线，则，由三角形外角的性质可得，则，利用三角形的面积公式计算可得答案．
【详解】解：由作图可得，为线段垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：1．
15. 如图，正六边形内接于，若，则阴影部分的面积为________．
【答案】##2π3
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质和不规则图象的面积，阴影部分的面积等于菱形的面积的一半加上一个扇形的面积再减去一个三角形的面积，根据图形的性质分别求出相应边的长即可解答．学会用割补法求面积是解题关键．
【详解】解：连接、、、、，如图，作，
∵正六边形内接于，，
则，，，均是等边三角形，
∴，四边形是菱形，
则，，，
，，
∴，
∴，
，
，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．将绕点顺时针旋转一定角度后得到，并且点恰好落到线段上，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
过点作轴的垂线，根据旋转的性质得出是等边三角形， 先解中， 求得，再解即可．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，
点坐标为，
．
在中，，
．
由旋转可知，，
又，
等边三角形，
．
在中，
，
，
∴，
点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24小题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则，熟记特殊角的三角函数值．
根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值化简，特殊角的三角函数值计算求解即可．
【详解】解：原式
．
18. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②；③ （2）见解析
【解析】
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可．
【小问1详解】
解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
【小问2详解】
解：选择乙同学的解法．
.
．
选择甲同学的解法：
原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
19. 【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据可得四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB可得结论．
【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵，即，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
20. 2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：
72，84，72，91，79，69，78，85，75，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：
85，72，92，84，80，74，75，80，76，82
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）计算八年级同学测试成绩的方差，并估计哪个年级的竞赛成绩更整齐?
（3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人?
【答案】（1）2，78.5，80
（2）八年级同学测试成绩的方差是33，八年级的竞赛成绩更整齐
（3）60人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表，求众数、中位数及方差，用样本估计总体的数量，用方差判断稳定性等知识，掌握这些统计知识是关键；
（1）将七年级抽样成绩按大小排列后，则可确定a的值，中间两个数的平均数是中位数；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c；
（2）由方差公式计算即可，与七年级的方差比较即可作出判断；
（3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可．
小问1详解】
解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个，
故．
中位数为（分），
将八年级的成绩出现次数最多是80分，共出现2次，
众数（分），
故答案为：2，，80；
【小问2详解】
解：．
七年级同学测试成绩的方差是，八年级同学测试成绩的方差是33，
，
估计八年级学生的竞赛成绩更整齐些．
【小问3详解】
解：由题意得（人），
这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共约60人．
21. 某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的．
（1）求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
（2）该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
【答案】（1）每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
（2）建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，根据“用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的”列分式方程求解即可；
（2）设建燃油车位个，则建新能源车位个，根据题意列一元一次不等式，求出的取值范围，设喷涂总费用为，根据题意列一次函数，再根据一次函数的性质求出最值即可．
【小问1详解】
解：设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
【小问2详解】
解：设建燃油车位个，则建新能源车位个，
由题意得：，
解得：，
设喷涂总费用为，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
22. 实验数据显示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线的函数表达式；
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）
（2）第二天早上不能驾车去上班
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出时对应的时间，结合规定可进行判断．
读懂题意，正确的识图，是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意得，直线OA过，即小时时酒精含量为20毫克/百毫升，
则1小时时酒精含量为80毫克/百毫升，
则直线OA的表达式为，
当时，，即，
设函数表达式为，将点代入得：，
∴；
【小问2详解】
由得，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为小时，
∵，
∴第二天早上不能驾车去上班．
23. 如图，是的直径，过圆上点的直线交延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到，通过角的转换证明，即可证明是的切线；
（2）由正切函数的定义得，证明，得到，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
24. 如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．（参考数据：）
（1）求出遮阳棚前端M到墙面的距离；
（2）已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？
【答案】（1）遮阳棚前端M到墙面的距离为米
（2）则加装的前挡板的宽度的长是米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点M作，垂足为N，在中，利用正弦求出的长度即可；
（2）过点E作，垂足为H，在中，利用余弦求出的长度，在中，利用正切求出，最后利用线段的和差求出结果．
【小问1详解】
解：过点M作，垂足为N，
在，米，，
，
米，
遮阳棚前端M到墙面的距离为米；
【小问2详解】
如图，过点E作，垂足为H，
在，米，，
米，
米，
米，
由（1）可知米，
米，米，
米，
在中，米，
米，
加装的前挡板的宽度的长是米．
25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标；
（3）若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ．
【答案】（1）；
（2）的周长的最小值为，点P的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1中，连接与对称轴交于点，此时的周长最小．求出直线的解析式即可解决问题；
（3）为抛物线在第一象限的一动点，则，，依据二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长，
令，则，
，
，，
，，
的周长的最小值为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
【小问3详解】
解：为抛物线在第一象限的一动点，
，
，
当时取最大值，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题．
26. 综合与实践
数学活动课上同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中
（1）操作判断
将矩形纸片按图1折叠，使点落在上的点处，可得到一个角，请你写出一个的角．
（2）探究发现
将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点，求的周长．
（3）拓展应用
改变图2中点的位置，令点为射线上一动点，按照（2）中方式将沿折叠得到，所在直线交于点，若点为的三分点，请直接写出此时的长．
【答案】（1）（或）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论；
（2）连结，先证明四边形是矩形，可得，由折叠性质并结合为中点可得到，，，然后证明可得到，最后计算；
（3）分两种情况计算：①当点为的三分点且靠近点时，②当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的角有（或）．
【小问2详解】
解：连结，
∵四边形矩形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠性质得：，
∵为的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴的周长为：
．
【小问3详解】
解：①如图，当点为的三分点且靠近点，连接，
∴，
∴，
在中，，
；
②如图，当点为的三分点且靠近点时，连接，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
老师的问题：
已知：如图，．
求作：菱形，使点C，D分别在上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；
（2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点C；
（3）连接．
四边形就是所求作的菱形，
成绩
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
年级
统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
66．6
八年级
80
80
c
一、选择题（本题8小题，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；
根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：
的倒数是，
故选：C．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
D．绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 当光从一种介质射入另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，是解题的关键．
根据平行线的性质先求出，，然后等量代换即可．
【详解】解：如图：
，，
，
空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行，得：
，
，
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合选项分别进行合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方以及完全平方公式的运算，选出正确答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方以及完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和之间，则n的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，估算出是解题的关键．
6. 如图九年级3班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图，(满分为30分，成绩均为整数)．若将不低于25分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 （ ）
A. 80﹪B. 70﹪C. 62﹪D. 86﹪
【答案】A
【解析】
【分析】根据直方图可知，合格的人数即50−10＝40人，除以总人数即可求得．
【详解】解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是：
．
故答案是：A．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
7. 有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
8. 如图，已知抛物线与直线交于两点．下列结论：；；③关于x的不等式的解集是；；⑤关于x的方程无解；其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点， 根据二次函数图象与系数的关系可判断①和②；结合图象可直接得关于x的不等式的解集是或，即可判断③；将代入，结合图象可得，而，则，即可判断④；由图象可知，抛物线与直线没有交点，即关于x的方程无解，即可判断⑤．
【详解】解：由抛物线图象可知，，
∴，
∴，故结论①不正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，故结论②正确，符合题意；
由图象可知，关于x的不等式的解集是或，
故结论③不正确，不符合题意；
由抛物线图象可知，当时，抛物线对应的函数值小于0，
即，
∵，
∴，故结论④正确，符合题意；
由抛物线图象可知，抛物线的最低点的纵坐标介于和之间，
∴抛物线与直线没有交点，
∴关于x的方程无解，故结论⑤正确，符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：＝_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同分母分式的减法和平方差公式，直接计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算．熟练掌握同分母的加减法法则和平方差公式是解题的关键．
10. 宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光．闽宁合作、山海情深，某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动．选取三个景点：A．沙坡头，B．六盘山C．水洞沟．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，求小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先列表展示所有种等可能的结果数，再找出小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的的结果数，然后根据概率公式求解即可；
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的结果有1种，
∴小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的概率为．
故答案为：．
11. 关于的方程没有实数根，则的取值范围为____________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用根的判别式进行分析计算，即可求出的取值范围.
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查根的判别式相关，熟练掌握一元二次方程中，当时，方程没有实数根是解答此题的关键．
12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体；
先判断出几何体的形状，再利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【详解】解：根据三视图可知侧面是一个高为2，底边为的三角形的三棱柱，
该几何体的体积是，
故答案为：．
13. 已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 _______．
【答案】k≤﹣2
【解析】
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
由①得x＞﹣1；
由②得x＞k+1．
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴k+1≤﹣1，
解得k≤﹣2．
故答案为k≤﹣2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组应用，能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式是解题的关键．
14. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接．若，，则的面积为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
由作图可得，为线段的垂直平分线，则，由三角形外角的性质可得，则，利用三角形的面积公式计算可得答案．
【详解】解：由作图可得，为线段垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：1．
15. 如图，正六边形内接于，若，则阴影部分的面积为________．
【答案】##2π3
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质和不规则图象的面积，阴影部分的面积等于菱形的面积的一半加上一个扇形的面积再减去一个三角形的面积，根据图形的性质分别求出相应边的长即可解答．学会用割补法求面积是解题关键．
【详解】解：连接、、、、，如图，作，
∵正六边形内接于，，
则，，，均是等边三角形，
∴，四边形是菱形，
则，，，
，，
∴，
∴，
，
，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．将绕点顺时针旋转一定角度后得到，并且点恰好落到线段上，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
过点作轴的垂线，根据旋转的性质得出是等边三角形， 先解中， 求得，再解即可．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，
点坐标为，
．
在中，，
．
由旋转可知，，
又，
等边三角形，
．
在中，
，
，
∴，
点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24小题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则，熟记特殊角的三角函数值．
根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值化简，特殊角的三角函数值计算求解即可．
【详解】解：原式
．
18. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②；③ （2）见解析
【解析】
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可．
【小问1详解】
解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
【小问2详解】
解：选择乙同学的解法．
.
．
选择甲同学的解法：
原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
19. 【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据可得四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB可得结论．
【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵，即，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
20. 2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：
72，84，72，91，79，69，78，85，75，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：
85，72，92，84，80，74，75，80，76，82
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）计算八年级同学测试成绩的方差，并估计哪个年级的竞赛成绩更整齐?
（3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人?
【答案】（1）2，78.5，80
（2）八年级同学测试成绩的方差是33，八年级的竞赛成绩更整齐
（3）60人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表，求众数、中位数及方差，用样本估计总体的数量，用方差判断稳定性等知识，掌握这些统计知识是关键；
（1）将七年级抽样成绩按大小排列后，则可确定a的值，中间两个数的平均数是中位数；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c；
（2）由方差公式计算即可，与七年级的方差比较即可作出判断；
（3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可．
小问1详解】
解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个，
故．
中位数为（分），
将八年级的成绩出现次数最多是80分，共出现2次，
众数（分），
故答案为：2，，80；
【小问2详解】
解：．
七年级同学测试成绩的方差是，八年级同学测试成绩的方差是33，
，
估计八年级学生的竞赛成绩更整齐些．
【小问3详解】
解：由题意得（人），
这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共约60人．
21. 某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的．
（1）求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
（2）该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
【答案】（1）每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
（2）建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，根据“用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的”列分式方程求解即可；
（2）设建燃油车位个，则建新能源车位个，根据题意列一元一次不等式，求出的取值范围，设喷涂总费用为，根据题意列一次函数，再根据一次函数的性质求出最值即可．
【小问1详解】
解：设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
【小问2详解】
解：设建燃油车位个，则建新能源车位个，
由题意得：，
解得：，
设喷涂总费用为，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
22. 实验数据显示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线的函数表达式；
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）
（2）第二天早上不能驾车去上班
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出时对应的时间，结合规定可进行判断．
读懂题意，正确的识图，是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意得，直线OA过，即小时时酒精含量为20毫克/百毫升，
则1小时时酒精含量为80毫克/百毫升，
则直线OA的表达式为，
当时，，即，
设函数表达式为，将点代入得：，
∴；
【小问2详解】
由得，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为小时，
∵，
∴第二天早上不能驾车去上班．
23. 如图，是的直径，过圆上点的直线交延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到，通过角的转换证明，即可证明是的切线；
（2）由正切函数的定义得，证明，得到，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
24. 如图1，某社区服务中心在墙外安装了遮阳棚，便于居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳棚长为5米，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为米，是为了增加纳凉面积加装的一块前挡板（前挡板垂直于地面）．（参考数据：）
（1）求出遮阳棚前端M到墙面的距离；
（2）已知本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若此时房前恰好有米宽的阴影，则加装的前挡板的宽度的长是多少？
【答案】（1）遮阳棚前端M到墙面的距离为米
（2）则加装的前挡板的宽度的长是米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点M作，垂足为N，在中，利用正弦求出的长度即可；
（2）过点E作，垂足为H，在中，利用余弦求出的长度，在中，利用正切求出，最后利用线段的和差求出结果．
【小问1详解】
解：过点M作，垂足为N，
在，米，，
，
米，
遮阳棚前端M到墙面的距离为米；
【小问2详解】
如图，过点E作，垂足为H，
在，米，，
米，
米，
米，
由（1）可知米，
米，米，
米，
在中，米，
米，
加装的前挡板的宽度的长是米．
25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标；
（3）若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ．
【答案】（1）；
（2）的周长的最小值为，点P的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1中，连接与对称轴交于点，此时的周长最小．求出直线的解析式即可解决问题；
（3）为抛物线在第一象限的一动点，则，，依据二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长，
令，则，
，
，，
，，
的周长的最小值为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
【小问3详解】
解：为抛物线在第一象限的一动点，
，
，
当时取最大值，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题．
26. 综合与实践
数学活动课上同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中
（1）操作判断
将矩形纸片按图1折叠，使点落在上的点处，可得到一个角，请你写出一个的角．
（2）探究发现
将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点，求的周长．
（3）拓展应用
改变图2中点的位置，令点为射线上一动点，按照（2）中方式将沿折叠得到，所在直线交于点，若点为的三分点，请直接写出此时的长．
【答案】（1）（或）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论；
（2）连结，先证明四边形是矩形，可得，由折叠性质并结合为中点可得到，，，然后证明可得到，最后计算；
（3）分两种情况计算：①当点为的三分点且靠近点时，②当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的角有（或）．
【小问2详解】
解：连结，
∵四边形矩形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠性质得：，
∵为的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴的周长为：
．
【小问3详解】
解：①如图，当点为的三分点且靠近点，连接，
∴，
∴，
在中，，
；
②如图，当点为的三分点且靠近点时，连接，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
老师的问题：
已知：如图，．
求作：菱形，使点C，D分别在上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；
（2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点C；
（3）连接．
四边形就是所求作的菱形，
成绩
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
年级
统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
66．6
八年级
80
80
c
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