人教A版(2019)必修第一册3.5.5 抽象函数-同步练习【含解析】

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人教A版(2019)必修第一册3.5.5抽象函数-同步练习（原卷版）1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【典题2】对任意实数x , y，均满足fx+y2=fx+2fy2且f(1)≠0， 则f(2001)=_______.【题型二】单调性问题设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x , y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)0且f(2)=1；(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[−4 , 0)∪(0 , −4]上的最大值；(3)求不等式f(3x−2)+f(x)≥4的解集． 5 (★★★) 已知定义在(0 , +∞)的函数f(x)，对任意的x、y∈(0 , +∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当01时，f(x)0对x∈(−∞ , 1]恒成立，求t的取值范围． 挑战学霸已知fx是定义在R上不恒为0的函数，满足对任意x , y∈R，fx+y=fx+fy， f(xy)=f(x)f(y)．(1)求f(x)的零点；(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；(3)①当x∈Z时，求f(x)的解析式；②当x∈R时，求f(x)的解析式. 特殊模型抽象函数正比例函数fx=kx(x≠0)fx+y=fx+f(y)幂函数fx=xαfxy=fxf(y)或fxy=fxfy指数函数fx=ax (a>0且a≠1)fx+y=fxf(y)或fx−y=fxfy对数函数fx=logax (a>0且a≠1)fxy=fx+f(y)或fxy=fx−f(y)人教A版(2019)必修第一册3.5.5抽象函数-同步练习（解析版）1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【解析】∵对任意x，y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．【点拨】① 对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；② 抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数fx=logax型，由f(2)=1可知fx=log2x，则易得f4=2，f8=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)=f(x)f(y)可令fx=ax，又因f(1)=2，得fx=2x，故易得f3=8.故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.【典题2】对任意实数x , y，均满足fx+y2=fx+2fy2且f(1)≠0， 则f(2001)=_______.【解析】令x=y=0，得f(0)=0，令x=n , y=1，得fn+1=fn+2f12 令n=1，得f1=f0+2f12=2f12， ∴f1=12， ∴fn+1−fn=12，∴fn=n2，即f2001=20012.【点拨】① 常常需要赋予一些特殊值(如取x=0等)或特殊关系(如取y=x， y=−x等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；② 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.【题型二】单调性问题设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x , y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)0，则x2x1>1 ∴由②得 f(x2x1)x时，f(y)−f(x)=f(y)+f(−x)=f(y−x)=(f(y−x))2>0，可得fy>f(x)．所以函数f(x)在R上递增．(3)①由f(xy)=f(x)f(y)中取x , y=1得f1=f21．因为f(1)≠0，所以f(1)=1，对任意正整数n，由①得f(n)=f(1)+⋯+f(1)n个=n×1=n，f−n=−fn=−n，又因为f(0)=0，所以x∈N时，f(x)=x；对任意有理数mn(m∈N∗，n∈N∗)，由①，f(m)=f(n⋅mn)=f(mn)+⋯+f(mn)=nf(mn)n个 ，所以f(mn)=f(m)n=mn，即对一切x∈Z , f(x)=x．②若存在x∈R，使得f(x)≠x，不妨设f(x)>x(否则以−f(−x)代替f(x)，−x代替x即可)，则存在有理数α，使得x0且a≠1)fxy=fx+f(y)或fxy=fx−f(y)