人教A版必修第一册高一数学4.5函数的增长率同步培优题典(含详细解析)

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人教A版必修第一册高一数学4.5函数的增长率同步培优题典(原卷版)姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alog3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有(　　)A．4 000只　　　　　　　　 B．5 000只C．6 000只 D．7 000只3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　)A．60安 B．240安C．75安 D．135安4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　)A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t35．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（ ）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为(　　)A．125 B．100 C．75 D．507．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)(　　)A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．11．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？13．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为．（1）求p%的值；（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.（1）求常数的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为121元.（1）求的值；（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.人教A版必修第一册高一数学4.5函数的增长率同步培优题典(解析版) 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x【答案】D【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alog3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有(　　)A．4 000只　　　　　　　　 B．5 000只C．6 000只 D．7 000只【答案】C【解析】当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)得a＝3 000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　)A．60安 B．240安C．75安 D．135安【答案】D【解析】由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　)A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3【答案】ABD【解析】图象过(1,2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t.∵，∴每月的增长率为1，A正确．当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．∵2＝，3＝，6＝，∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选A、B、D. 5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（ ）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【解析】因为，代入，，得，两式相减，得得到，即，故选：B.6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为(　　)A．125 B．100 C．75 D．50【答案】C【解析】由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝. 设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴，t1＝75.7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)(　　)A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40【答案】B【解析】由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．【答案】－1【解析】设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x＝－1.9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.【答案】e6－1【解析】当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6，所以＝e6－1.10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．【答案】2ln 2　1 024【解析】由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝k，∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.11．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．【答案】4　320·2－(t≥0)【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2－(t≥0)．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【解析】(1)由题意知当0≤x≤8时，y＝0.15x；当x>8时，y＝8×0.15＋log5(2x－15)＝1.2＋log5(2x－15)，所以(2)当0≤x≤8时，ymax＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x＞8.由题意知1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20.所以小江的销售利润是20万元．13．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为．（1）求p%的值；（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？【解析】（1）设砍伐n年后的森林面积为f（n），则f（n）＝a（1﹣P%）n．由题意可得f（10），即a（1﹣P%）10，解得：p%＝1．（2）由（1）可得f（n）＝a•（）n＝a•，令f（n）可得，，∴，即n＝5．故到今年为止，该森林已砍伐5年14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.（1）求常数的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）【解析】（1）由已知得，当时，；当时，.于是有，解得（或）.（2）由（1）知，当时，有，解得.故污染物减少到40%至少需要42h.15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为121元.（1）求的值；（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.【解析】（1）依题意知第10天的日销售收入为，得； （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，，从表中任意取两组值代入可得，，解得，； （3）由（2）知，所以，当时，在上是减函数，在是增函数，所以. 当时，为减函数，所以.综上所述，当时，取得最小值，t(单位时间)0246810A(t)3202261601158057/天10202530/件110120125120t(单位时间)0246810A(t)3202261601158057/天10202530/件110120125120