广东省华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时限：120分钟 满分：150分 命审题：高二数学备课组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则（ ）
A.B.C.D.
2.函数（ ）
A.是偶函数，且在区间上单调递增B.是偶函数，且在区间上单调递减
C.是奇函数，且在区间上单调递增D..既不是奇函数，也不是偶函数
3.如图，一个电路中有，，三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ）
A.B.C.D.
4.已知数列，则“（，）”是“数列是等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（ ）
A.B.C.D.
6.设抛物线（）的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A.B.C.D.
7.若函数（）在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A.B.C.1D.2
8.已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A.1B.2C.3D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.如图，在正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，点是面，的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.，，，四点共面B.平面被正方体截得的截面是等腰梯形
C.平面D.平面平面
10.已知复数，满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.的最小值为3D.的最小值为3
11.已知函数的定义域为，对，，，且，为的导函数，则（ ）
A.为偶函数B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12.已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则______.
13.已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______.
14.一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球名1只，现从口袋中先后有放回地取球次（），且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______.（用表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（本小题满分13分）
已知函数（）
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有最大值，求实数的值.
16.（本小题满分15分）
（1）假设变量与变量的对观测数据为，…，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计；
（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果。下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5.已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述。
令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，与相交于点，点在上，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求.
18.（本小题满分17分）
已知圆：，动圆与圆相内切，且经过定点.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若直线：与（1）中轨迹交于不同的两点，，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得（），则称数列是“优分解”的.
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的；
（2）记，（），证明：如果数列是“优分解”的，则（）或数列是等比数列；
（3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，，，求的通项公式
2024届高三年级5月适应性考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 13. 14.
选择题与填空题详解：
1.【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
∴，，故正确选项为C
2.【答案】A
【解析】∵的定义域为，
∴
∴为偶函数；当时，，
∴在区间上单调递增，故正确选项为A.
3.【答案】B
【解析】∵这个电路是通路，∴原件A正常工作，且元件B，C至少有一个正常工作
其概率为，故正确选项为
4.【答案】B
【解析】先判断充分性：∵，∴，
令（），则，
∴数列的偶数项成等差数列，
令（），则，
∴数列的奇数项成等差数列，
但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，
∴“（，）”不是“数列是等差数列”的充分条件；
再判断必要性：若数列是等差数列，
则，∴，
∴“（，）”是“数列是等差数列”的必要条件；
综上，“（，）”是“数列是等差数列”的必要不充分条件，
故正确选项为B.
5.【答案】D
【解析】∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
，故正确选项为D.
6.【答案】C
【解析】∵，∴为的中点，过点作垂直于轴于点，
∴为的中位线，则，∴的坐标为，
则直线的斜率为，故正确选项为C.
7.【答案】A
【解析】，
依题意，（），（）
两式相减得，∵，∴，故正确选项为A.
8.【答案】C
【解析】（方法一）设的重心为，则，
∵，∴，∴点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
∴的最小值是，故正确选项为C.
（方法二）以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则
，，，设，
∵，∴，点的轨迹方程为，
设圆心为，由圆的性质可知当过圆心时最小，最小值为，故正确选项为C.
9.【答案】BD
【解析】易得经过，，三点的平面为一个正六边形，点在平面外，
∴，，，四点不共面，∴选项A错误；分别连接，和，，
则平面即平面，截面是等腰梯形，∴选项B正确；
分别取，的中点，，则平面即为平面，显然不平行平面，∴选项C错误，同时∵，，∴平面，∴平面平面，∴选项D正确.综上，正确选项为BD.
10.【答案】ABD
【解析】∵为纯虚数，∴设（），∴，∴选项A正确；
∵，则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，∴，
∴选项B正确；∵为纯虚数，∴对应点在轴上（除去原点），∴的取值范围为，
∴无最小值，选项C错误；∵，∵（）为纯虚数或0，对应的点在轴上（除去点），∴当时取得最小值3，∴选项D正确，故正确选项为ABD.
11.【答案】BCD
【解析】令，则，
∴，∴为奇函数，故选项A不正确；
令，则，令，则，
∵为奇函数，∴，∴，
∴的周期为4，∴，故选项B正确；
∵为奇函数，∴，∴，∴为偶函数；
∵，∴，
∴的周期为4，且，
∴，
∵为偶函数，∴，
∴，∴关于对称，
∴，∴，故选项C正确；
令，则，即①，
令，则②，
由①＋②得，
∴，故选项D正确，故正确选项是BCD.
12.【答案】
【解析】∵圆锥曲线的离心率为2，∴该圆锥曲线是双曲线，将方程化成焦点在轴上的标准形式
，则，∴.
13.【答案】
【解析】如图，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，则所求几何体体积
14.【答案】
【解析】由题知，∴
∵，∴
∵
，
∴，∴
四、解答题：
15.【解析】（1）（）
1° 当时，∴在区间上单调递增。
2° 当时，时，，∴单调递增
时，，∴单调递减
综上，当时，的增区间是，
当时，的增区间是，减区间是.
（2）由（1）知当时，无最大值.
当时，，
平方有，解得，∴.
16.【解析】（1）
要使残差平方和最小，当且仅当；
（2）∵，，由（1）知，
∴关于的经验回归方程为，∴，
∵，，∴，
当，（万）
因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆，
17.【解析】（1）证明：∵底面是菱形，∴，
∵平面，平面，∴，
又∵，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，∴平面，
∵平面，∴，
∵，∴
即，∴平面.
（2）（方法一）由（1）知平面，延长，，相交于点，
图3
则即为与平面所成的角
∵，∴，∴.
过作，作于点，连接，
∵平面，∴，
∵，，∴，∴，
又∵，∴平面，∴
∴即为平面与平面的夹角，，
∴，∴
（方法二）以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，
图3
∴，
∵，，，∴，
∴，∴
∵平面，∴与平面所成的角为
∴平面，∴是平面的一个法向量，
又∵平面平面，设只需，
则平面，
令，则，
∴，∴.
18.【详解】（1）设圆的半径为，圆与动圆内切于点，
∵点在圆内部，∴点在圆内部
∴，
∴点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为.
（2）（方法一）联立与椭圆方程，消得，
设，，则，，
的中垂线方程为：，即①
同理可得的中垂线方程为：②
由①②两式可得，
∴外接圆圆心的横坐标，
其中
∴
，
又∵的中垂线方程为，即，
∴圆心的纵坐标为，
∴，
∴圆心在双曲线上，
∴存在定点，，使得（定值）
（方法二）设外接圆方程为，
联立与圆的方程消得，
则，，
∴，，解得，，
设圆心坐标为，则，，
∴，
∴圆心在双曲线上，
∴存在定点，，使得（定值）
19.【解析】（1）∵是等差数列，∴设，
令，，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的.
（2）因为数列是“优分解”的，设（），
其中，（，），
则，.
当时，（）；
当时，是首项为，公比为的等比数列.
（3）一方面，∵数列是“优分解”的，设（），
其中，（，），
由（2）知
因为，，所以.
∴，∴，∴是首项为2，公比为（）的等比数列.
另一方面，因为是“优分解”的，设（），
其中，（，）
，.
∵是首项为2，公比为（）的等比数列，
∴，，且，
∴，
化简得，∵，，，
∴，∴，
即数列是首项，公比为的等比数列.
又∵，∴，
又∵，∴，
∵，，∴解得，∴，
综上所述，.年份
1
2
3
4
5
销量（万）
4
9
14
18
25
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
D
C
A
C
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
BCD