湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2-2-3 2-2-4直线的方向向量与法向量练习含答案

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2.2.3　直线的一般式方程2.2.4　直线的方向向量与法向量基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　题组一　直线的一般式方程1.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示的图形是一条直线,则实数m的取值范围是　　　　. 2.(2020北京天坛中学模拟)已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线的方程为　　　　　　　　. 3.(2021江苏宿豫中学期中)过点A(-2,3)且与直线x-3y+5=0成60°角的直线的一般式方程是　　　　　　　　　　　. 题组二　直线三种方程之间的转化4.(2022湖南怀化一中期中)下列有关直线l:x+my-1=0(m∈R)的说法中正确的是(　　)A.直线l的斜率为-m　　　　B.直线l的斜率为-1mC.直线l过定点(0,1)　　　　D.直线l过定点(1,0)5.(2022湖南师大附中月考)已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=(　　)A.1　　　　B.-1C.2或1　　　　D.-2或16.(2022北京人大附中期中)直线xsin α+3y+1=0(α∈R)的倾斜角的取值范围是(　　)A.-π4,π4　　　　B.π6,5π6C.0,π4∪3π4,π　　　　D.0,π6∪5π6,π7.(2021山东昌邑一中期中)已知直线4x+m2y-m=0(m>0),若此直线在x轴和y轴的截距的和取得最小值,则直线的方程为(　　)A.4x+2y-2=0　　　　B.4x+y-1=0C.2x-2y+1=0　　　　D.2x+2y-1=08.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值.(1)直线l在x轴上的截距为-3;(2)直线l的倾斜角为45°.题组三　直线的方向向量与法向量9.若直线l的倾斜角等于135°,则下列向量中不是直线l的方向向量的是(　　)A.(2,2)　　　　B.(-3,3)C.(2,-2)　　　　D.14,-1410.(2020辽宁阜新一中月考)已知向量a=(1,3)是直线l的一个方向向量,点A(2,7)和点B(-1,y)均在直线l上,则y的值为(　　)A.-9　　B.10　　C.4　　D.-211.(2020湖南岳阳一中期中)若直线l的一个法向量是-33,-13,则其倾斜角为(　　)A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°12.(2022湖南雅礼中学期中)若直线l经过点P(-2,1),且直线l的一个法向量为v=(2,-1),则直线l的方程为　　　　　　　. 能力提升练题组　直线三种方程的应用1.(2022湖南永州月考)关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是(　　)2.(2022湖南常德期末)已知点A(1,3),B(2,1),若直线l:y=k(x+2)-1与线段AB相交,则k的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.12,+∞　　　　B.-∞,43C.-∞,12∪43,+∞　　　　D.12,433.(多选)(2021安徽合肥期中)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论中正确的是(　　)A.直线l与直线l1的斜率互为相反数B.直线l与直线l1的倾斜角互补C.直线l在y轴上的截距为-1D.这样的直线l有两条4.已知直线l的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍,且l经过点P(3,2),则直线l的方程为　　　　　　　. 5.已知直线l:2x-2y+1=0,其法向量记为a,直线m的方向向量记为m,=60°,且点A(1,2),B(4,-2)到直线m的距离相等,则直线m的方程为　　　　　　　　. 6.(2022山东济宁实验中学月考)直线l过点(4,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为　　　　,当△AOB面积取最小值时,直线l的一般式方程是　　　　　　　. 7.已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,-1),B(3,1),C(1,2).求:(1)BC边所在直线的方程;(2)经过BC的中点,且垂直于BC方向向量的直线方程;(3)经过AB的中点,且方向向量平行于BC的直线方程.答案与分层梯度式解析基础过关练1.答案　m≠0解析　由题意得m与m2-m不同时为0,故m≠0.2.答案　15x-3y-7=0解析　因为直线的斜率存在,所以B≠0.由题意得-AB=5,A-2B+3C=0,所以A=-5B,C=73B,所以该直线的方程为-5x+y+73=0,即15x-3y-7=0.3.答案　x=-2或x+3y-1=0解析　由直线方程x-3y+5=0,可得此直线的斜率为33,倾斜角为30°,则与该直线成60°角的直线的倾斜角为90°或150°,又因为所求直线过点A(-2,3),所以所求直线方程为x=-2或y-3=-33(x+2),即x=-2或x+3y-1=0.4.D　直线l:x+my-1=0可化为my=-(x-1).当m≠0时,直线l的方程可化为y=-1m(x-1),其斜率为-1m,过定点(1,0);当m=0时,直线l的方程为x=1,其斜率不存在,也过点(1,0).故选D.5.C　依题意可知a≠0,当-2+a=0,即a=2时,直线ax+y-2+a=0化为2x+y=0,此时直线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意;当-2+a≠0,即a≠2时,直线ax+y-2+a=0化为x2-aa+y2-a=1,由直线在两坐标轴上的截距相等,可得2-aa=2-a,解得a=1或a=2(舍去).综上所述,a=2或a=1.故选C.6.D　将直线方程xsin α+3y+1=0(α∈R)化为斜截式为y=-33sin α·x-33,故直线的斜率k=-33sin α,∵sin α∈[-1,1],∴k∈-33,33,∴直线的倾斜角的取值范围为0,π6∪5π6,π.故选D.7.D　直线方程4x+m2y-m=0(m>0)可化为xm4+y1m=1,则此直线在x轴和y轴上的截距分别为m4,1m,且m4>0,1m>0,所以m4+1m≥2m4·1m=1,当且仅当m=2时,m4+1m取得最小值1,此时直线方程为4x+4y-2=0,即2x+2y-1=0.故选D.8.解析　(1)由题意得m2-2m-3≠0,-2m+6m2-2m-3=-3,解得m=-13.故当m=-13时,直线l在x轴上的截距为-3.(2)由题意得2m2+m-1≠0,-m2-2m-32m2+m-1=1,解得m=43.故当m=43时,直线l的倾斜角为45°.9.A　由题意得直线l的斜率k=tan 135°=-1,因此直线l的方向向量是m(1,-1)(m∈R,m≠0),故选A.10.D　由题意可知,AB=(-3,y-7),设AB=λa(λ∈R且λ≠0),∵a=(1,3),∴-3=λ,y-7=3λ,解得λ=-3,y=-2,故选D.11.C　由题意得直线l的一个方向向量为13,-33,因此其斜率k=-3313=-3,则其倾斜角等于120°.12.答案　2x-y+5=0解析　由题意得kl=2,则直线l的方程为 y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.能力提升练1.D　由题意得直线的斜率为a,在y轴上的截距为-1a,直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为-1.对于A、C,直线的斜率和它在y轴上的截距同号,所以排除A、C;对于B,直线的斜率小于1,在y轴上的截距大于-1且小于0,所以排除B;对于D,直线的斜率小于-1,在y轴上的截距大于0且小于1,所以D可能成立.故选D.D　直线l:y=k(x+2)-1恒过点P(-2,-1),则kPA=3-(-1)1-(-2)=43,kPB=1-(-1)2-(-2)=12,结合图形可得k的取值范围是12,43.故选D.3.ABC　由于直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l1的倾斜角互补,斜率互为相反数,故A,B均正确;易知直线l的方程为y-1=-2(x+1),因此其在y轴上的截距为-1,故C正确;易知这样的直线l只有一条,故D错误.4.答案　8x-15y+6=0解析　设所求直线的倾斜角为θ,直线x-4y+3=0的倾斜角为α,则θ=2α,故tan α=14,故tan θ=tan 2α=2tanα1-tan2α=815,从而可得直线l的方程为8x-15y+6=0.5.答案　(4+23)x-2y-10-53=0或(4-23)x-2y-10+53=0解析　由已知得a可以是(2,-2),当直线m的斜率不存在时,不满足=60°,故直线m的斜率存在,设为k,所以m=(1,k),则cos=a·m|a|·|m|=2-2k22×1+k2=12,解得k=2+3或2-3.易求得kAB=-2-24-1=-43,显然直线m不与直线AB平行.故直线m过线段AB的中点52,0,所以直线m的方程为y=(2+3)x-52或y=(2-3)x-52,即(4+23)x-2y-10-53=0或(4-23)x-2y-10+53=0.6.答案　8;x+4y-8=0解析　设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0).由点(4,1)在直线上得4a+1b=1.∵a>0,b>0,∴1=4a+1b≥24a·1b=4ab,当且仅当4a=1b,即a=8,b=2时取等号.从而ab≥4,即ab≥16,∴S△AOB=12ab≥8,∴△AOB面积的最小值为8,此时直线l的方程为x8+y2=1,即x+4y-8=0.7.解析　(1)BC边所在直线方程为y-12-1=x-31-3,整理得x+2y-5=0.(2)易得BC的中点坐标为2,32,因为所求直线垂直于BC的方向向量,所以BC=(-2,1)是所求直线的法向量,设所求直线方程为-2x+y+m=0,把2,32代入,得m=52,所以所求直线方程为-2x+y+52=0,即4x-2y-5=0.(3)易知AB的中点坐标为(1,0),所求直线的方向向量为BC=(-2,1),又因为1×(-2)+2×1=0,可知所求直线的法向量为(1,2),设所求直线方程为x+2y+n=0,把(1,0)代入,得n=-1,故所求直线方程为x+2y-1=0.