高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆课堂检测

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆课堂检测，共19页。试卷主要包含了以椭圆C，若椭圆C等内容，欢迎下载使用。
题组一 由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=( )
A.2 B.2 C.14 D.4
2.(2022天津三中期中)已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆( )
A.有相同的长轴与短轴
B.有相同的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的离心率
3.[2021新高考八省(市)联考]椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.2
4.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=2,则椭圆的焦距等于( )
A.463 B.263 C.433 D.233
题组二 由椭圆的几何性质求标准方程
5.(2022四川凉山州月考)已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为4,焦距为2,则C的方程为( )
A.x216+y212=1
B.x216+y212=1或y216+x212=1
C.x24+y23=1
D.x24+y23=1或y24+x23=1
6.(2021江苏徐州沛县学情调研)过点(2,3),焦点在x轴上且与椭圆x24+y23=1有相同的离心率的椭圆方程为( )
A.x26+y24=1 B.x216+y212=1
C.x212+y29=1 D.x28+y26=1
7.以椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形,且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,则椭圆C的标准方程为( )
A.x24+y23=1 B.x28+y24=1
C.x216+y212=1 D.x264+y248=1
8.(2022湖南益阳期中)若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,焦距为25,椭圆C上的两点P,Q关于原点对称,|PF|-|QF|=a,且PF⊥QF,则椭圆C的方程为 .
题组三 椭圆的离心率
9.设e是椭圆x2k+y24=1的离心率,且e∈12,1,则实数k的取值范围是( )
A.(0,3) B.3,163
C.(0,2) D.(0,3)∪163,+∞
10.(2022广东福田月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为12,A是椭圆上位于x轴上方的一点,且|AF1|=|F1F2|,则直线AF1的斜率为( )
A.33 B.3 C.22 D.1
11.(2022四川树德中学月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.0,14 B.14,1
C.12,1 D.12,1
12.(2022湖南桃江一中开学考试)已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,若过原点的直线与椭圆相交于 A,B两点,且∠AFB=120°,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.32,1 B.0,32
C.0,12 D.12,1
题组四 直线与椭圆的位置关系
13.直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
14.(2022四川成都蓉城名校联盟期中)直线y=x+m与椭圆x22+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=423,则实数m的值为( )
A.±12 B.±1 C.±32 D.±2
15.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得的线段的中点的坐标是( )
A.23,53 B.43,73
C.-23,13 D.-132,-172
16.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
17.(2022湖南邵阳期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,B1为椭圆的上顶点,△B1F1F2的面积为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,P0,12,|MP|=|NP|,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一 椭圆的几何性质及其应用
1.(2022江西景德镇一中期末)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x216+y28=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且F1M·PM=0,则|OM|的取值范围为( )
A.[0,3) B.(0,22)
C.[22,3) D.[0,4]
2.(多选)(2022山东泰安月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2且|F1F2|=2,点 P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为 2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12
D.若PF1=F1Q,则椭圆 C的长轴长为5+17
3.(2022湖北黄冈中学期末)已知A,B为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点,F1,F2分别为其左、右焦点,且满足AF1=2F1B,当∠F1AF2=π3时,椭圆的离心率为 .
4.(2022湖北武汉期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为8,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为4,P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为 .
5.(2022安徽芜湖期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).过F1且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点A,以F1A,F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB,点B恰好也在椭圆上,则b2= .
题组二 直线与椭圆的位置关系
6.(多选)(2022河北阜城中学期末)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点 P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”,下列直线是“椭型直线”的是( )
A.x-2y+6=0 B.x-y=0
C.2x-y+1=0 D.x+y-3=0
7.(2022河南新乡期末)已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(32,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点的坐标为(2,-2),则椭圆G的方程为( )
A.x232+y214=1 B.x238+y220=1
C.x248+y230=1 D.x236+y218=1
8.(2022陕西西安中学月考)已知曲线C上任意一点P(x,y)满足x2+y2+2y+1+x2+y2-2y+1=22,则曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是( )
A.23,-23 B.63,-63
C.32,94 D.-63,63
9.(2022湖南湘潭月考)已知点P(0,1)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,且直线x+2y-2=0过椭圆C的一个焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过点P(0,1)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,记直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=-2,则直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
10.(2022湖南师大附中期末)如图,已知动圆M过点E(-1,0),且与圆F:(x-1)2+y2=8内切,设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过圆心F的直线l交曲线C于A,B两点,问:在x轴上是否存在定点P,使得当直线l绕点F任意转动时,PA·PB为定值?若存在,求出点P的坐标和PA·PB的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 易知长轴长2a=2,短轴长2b=21m,
所以41m=2,解得m=4.故选D.
2.D 将椭圆方程x2+2y2=2整理得x22+y2=1,其焦点在x轴上,a1=2,b1=1,则c1=a12-b12=1,所以e1=c1a1=12=22.
将椭圆方程2x2+y2=1整理得x212+y2=1,其焦点在y轴上,a2=1,b2=22,则c2=a22-b22=22,
所以e2=c2a2=221=22,故选D.
3.C 由题意得a=m2+1,b=m,c=1,∠F1AO=π6(O为坐标原点),则tan π6=cb=1m=33,所以m=3.故选C.
4.A 不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是14+1b2=1,解得b2=43,所以c=4-43=263,所以焦距2c=463.
5.D 由题意得a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.
当焦点在x轴上时,椭圆的方程为x24+y23=1,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为y24+x23=1.故选D.
6.D 设所求椭圆方程为x24+y23=λ(λ>0),将(2,3)代入可得44+33=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为x28+y26=1.故选D.
7.C 由题意可得b=3c,a+c=6,a2=b2+c2,解得a=4,b=23,c=2,所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1.
8.答案 x28+y23=1
解析 设椭圆C的左焦点为F',则F'(-c,0),由椭圆的对称性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又因为|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=3a2,|QF|=a2,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2=|FF'|2,
即a24+9a24=(2c)2=20,解得a2=8,又因为c=5,所以b2=a2-c2=3,因此椭圆C的标准方程为x28+y23=1.
9.D 当椭圆的焦点在x轴上时,k>4,e=k-4k∈12,1,∴k-4k∈14,1,∴k∈163,+∞;当椭圆的焦点在y轴上时,0