数学选择性必修 第一册3.3 抛物线课堂检测

这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线课堂检测，共12页。试卷主要包含了已知抛物线C，设抛物线C等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 抛物线的定义及其应用
1.(2022湖南湘潭一中期中)动圆M 经过双曲线x2-y23=1的左焦点F且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是( )

A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=4x D.y2=-4x
2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3.(2021湖南长郡中学期中)设O为坐标原点,F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,若|PF|=6,则△POF的面积为( )
A.2 B.42 C.43 D.4
题组二 抛物线的标准方程和准线方程
4.(2021辽宁朝阳期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的准线被圆E:x2+y2-8y=0所截得的弦长为43,则抛物线C的方程为( )
A.y2=12x B.y2=8x
C.y2=4x D.y2=x
5.(2022湖南师大附中期末)已知抛物线C1的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上.若点F到双曲线C2:x22-y26=1的一条渐近线的距离为2,则C1的标准方程是( )
A.y2=833x B.y2=1633x
C.x2=8y D.x2=16y
6.(2021湖南益阳期末)抛物线x2=ay(a>0)的焦点到准线的距离为52,则a的值为 .
7.(2021湖南衡阳八中月考)已知抛物线y2=8x的焦点为F,准线与x轴交于点E,A是抛物线上一点,AE⊥AF,则|AF|= .
题组三 抛物线的综合应用
8.(2022湖南临澧一中期中)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx(b>0)的焦点F分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )
A.1617 B.41717 C.45 D.255
(2020江苏启东中学期初)中国古代的桥梁建筑有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.如图是一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面的宽度为( )
A.26 m B.46 m
C.42 m D.12 m
10.(2022湖南长郡中学期末)已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是( )
A.5 B.4
C.1155 D.115
11.(2021湖南岳阳二模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三个不同的点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|= .
能力提升练
题组一 抛物线的定义及其应用
1.(2021山东潍坊月考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点P,且AP=2AF,|BF|=2,则p=( )
A.3 B.2 C.4 D.6
2.(2021湖南湘潭一中三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上在第一象限的一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|= .
3.(2021江苏南京东山外国语学校月考)已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B,过点B作l的垂线,垂足为M.若AM⊥MF,则三角形AFM的面积为 .
题组二 抛物线的准线方程和标准方程
4.(2020湖南师大附中月考)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴正半轴上,点M为圆O:x2+y2=12与C的一个交点,且|MF|=3,则C的标准方程是( )
A.y2=2x B.y2=3x
C.y2=4x D.y2=6x
5.(2021湖南湘潭一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点T在C上,且|FT|=52,若点M的坐标为(0,1),且MF⊥MT,则C的方程为( )
A.y2=2x或y2=8x
B.y2=x或y2=8x
C.y2=2x或y2=4x
D.y2=x或y2=4x
题组三 抛物线的综合应用
6.(2022湖南常德一中期末)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线,垂足为N,则|MN||AB|的最大值为( )
A.2 B.233
C.1 D.33
7.(多选)(2022湖南师大附中期末)设抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点M为C上一动点,E(3,1)为定点,则下列结论正确的是( )
A.准线l的方程是x=-2
B.|ME|-|MF|的最大值为2
C.|ME|+|MF|的最小值为5
D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
8.(2021山东烟台期末)汽车前照灯的反射镜为一个抛物面,它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成.通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,其中灯泡位于抛物面的焦点上,由灯泡发出的光经反射镜反射后形成平行光束,再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图,从灯泡发出的光线FP经抛物线y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出,∠FPN的平分线PM交x轴于点M,直线PM的方程为2x+y-12=0,则抛物线的方程为 .
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 易知F(-2,0),由题意知圆心M到点F(-2,0)的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知M的轨迹是焦点为F,准线方程为x=2的抛物线,其方程为y2=-8x.故选B.
2.A 由抛物线C:y2=x可得p=12,∴|AF|=54x0=x0+p2=x0+14,解得x0=1.
3.B 由题意知F(0,2),准线方程为y=-2.设P(x0,y0),则|PF|=y0+2=6,解得y0=4,代入抛物线方程得x0=±42,故S△POF=12|OF||x0|=12×2×42=42,故选B.
4.B 由题意得,准线方程为x=-p2,圆心E(0,4),半径r=4,则42=4322+p22,所以p=4,所以抛物线C的标准方程为y2=8x.
5.D 双曲线C2的渐近线方程是x22-y26=0,
即y=±3x.该抛物线C1的标准方程为x2=2py(p>0),则F0,p2.因为抛物线C1的焦点F0,p2(p>0)到渐近线3x-y=0的距离为2,所以|p|23+1=2,即p=8,所以C1的标准方程是x2=16y,故选D.
6.答案 5
解析 抛物线x2=ay(a>0)的焦点为0,a4,准线方程为y=-a4,则a4+a4=52,解得a=5.
7.答案 25-2
解析 易知|EF|=4.设A(x0,y0).因为AE⊥AF,所以点A在以原点为圆心,2为半径的圆上,即x02+y02=4,又因为A是抛物线上一点,所以y02=8x0,所以由y02=8x0,x02+y02=4,解得x0=25-4(负值舍去),由抛物线的定义得|AF|=x0+2=25-2.
8.D 由题意得椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),抛物线y2=2bx(b>0)的焦点为Fb2,0,则c+b2c-b2=53,解得c=2b,又因为a2=b2+c2,所以5c2=4a2,
所以e=ca=c2a2=45=255.故选D.
9.B 以拱桥顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设拱桥所在抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由题意知,抛物线过点A(-4,-2),将点A的坐标(-4,-2)代入抛物线方程,得p=4,所以抛物线的标准方程为x2=-8y,水面下降1 m,即y=-3,代入抛物线方程,解得x1=26,x2=-26,所以此时水面的宽度d=2x1=46 m.故选B.
10.C 设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),由题意得d1=|PF|,则d1+d2的最小值即为F到直线x+2y-12=0的距离,则(d1+d2)min=|1+2×0-12|12+22=1155,故选C.
11.答案 6
解析 易知F(1,0),因为FA+FB+FC=0,所以点F为△ABC的重心,设A,B,C三点的横坐标分别为xA,xB,xC,xA≥0,xB≥0,xC≥0,则xA+xB+xC3=1,故|FA|+|FB|+|FC|=xA+1+xB+1+xC+1=6.
能力提升练
1.A 如图,设准线为l,l与x轴的交点为H,过点A作AE⊥l于点E,过点B作BC⊥l于点C.∵AP=2AF,
∴F是PA的中点,∴|AE|=|AF|=|PF|=12|PA|.在Rt△PEA中,∵sin∠EPA=|AE||AP|=12,∴∠EPA=30°,即∠HPF=30°.在Rt△PHF中,|HF|=p,∴|PF|=2p,∵△PCB∽△PHF,且|BC|=|BF|=2,∴|BC||HF|=|PB||PF|,即2p=2p-22p,解得p=3.故选A.
2.答案 2
解析 如图所示,连接MF,QF,设准线与x轴交于点H,由题意得|FH|=2,|PF|=|PQ|.
∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴MN∥QF.
∵PQ垂直l于点Q,∴PQ∥OR,∴四边形FRMQ为平行四边形,
∴|FR|=|QM|,∠PQF=∠NRF=60°,又∵|PQ|=|PF|,∴△PQF为等边三角形,∴FM⊥PQ,则四边形HFMQ为矩形,
∴|QM|=|FH|=2,
∴|FR|=|QM|=2.
3.答案 324
解析 如图所示.
由抛物线的定义可知|BF|=|BM|,Fp2,0,
又∵AM⊥MF,∴B为线段AF的中点,∴Bp4,1,
把p4,1代入抛物线方程得1=2p×p4,解得p=2(负值舍去),∴B24,1,
∴S△AFM=2S△BFM=2×12×1×24+22=324.
4.C 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),连接MO,则|MO|=23,过M作MM1垂直于准线于M1,交y轴于M2, 因为|MF|=3=xM+p2,所以|M2M|=xM=3-p2,所以|M2O|=yM=2pxM=6p-p2,在Rt△OMM2中,|M2O|2+|M2M|2=|MO|2,即6p-p2+3-p22=12,所以p=2,所以C的标准方程为y2=4x,故选C.
5.A 设T(x0,y0),则MT=(x0,y0-1),因为Fp2,0,所以MF=p2,-1.因为MF⊥MT,所以MF·MT=0,即p2x0-y0+1=0,与y02=2px0联立,消去x0并整理,可得y02-4y0+4=0,所以y0=2,故T2p,2,又因为|FT|=x0+p2=52,所以52-p2=2p,即p2-5p+4=0,解得p=1或p=4,所以C的方程为y2=2x或y2=8x.故选A.
6.D 如图,设|AF|=a,|BF|=b,分别过A,B作准线的垂线,垂足为Q,P,
由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
在梯形ABPQ中,|MN|=|AQ|+|BP|2=a+b2.由余弦定理,得|AB|2=a2+b2-2abcs 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab≥(a+b)2-14(a+b)2=34(a+b)2,当且仅当a=b时等号成立,所以|AB|≥32(a+b),所以|MN||AB|≤12(a+b)32(a+b)=33,即|MN||AB|的最大值为33.故选D.
7.ACD 由题意得p=4,则焦点F(2,0),准线l的方程是x=-p2=-2,A正确;|ME|-|MF|≤|EF|=(3-2)2+(1-0)2=2,当点M在线段EF的延长线上时等号成立,所以|ME|-|MF|的最大值为2,B错误;如图所示,过点M,E分别作准线l的垂线,垂足分别为A,B,则|ME|+|MF|=|ME|+|MA|≥|EB|=5,当点M在线段EB上时等号成立,所以|ME|+|MF|的最小值为5,C正确;设点M(x0,y0),线段MF的中点为D,则xD=x0+22=|MF|2,所以以线段MF为直径的圆与y轴相切,D正确.故选ACD.
8.答案 y2=4x
解析 设Py022p,y0,因为点P在直线PM上,所以y02p+y0=12①,又因为PN∥FM,所以∠PMF=∠NPM,又因为PM平分∠FPN,所以∠FPM=∠NPM,所以∠PMF=∠FPM,所以|PF|=|MF|.易知M(6,0),Fp2,0,所以|MF|=6-p2,又因为|PF|=y022p+p2,所以6-p2=y022p+p2②,由①②可得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.