高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册3.4 曲线与方程巩固练习

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这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册3.4 曲线与方程巩固练习，共12页。试卷主要包含了方程·x-4=0表示的曲线是，已知曲线C，如图,圆E，若直线l等内容，欢迎下载使用。

题组一曲线与方程的关系及其应用
1.(2020辽宁抚顺模拟)已知直线l的方程是f(x,y)=0,点M(x0,y0)不在直线l上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线是( )
A.直线l
B.与l垂直的一条直线
C.与l平行的一条直线
D.与l平行的两条直线
2.(2022黑龙江八校期中)方程(x2+3y2-3)·x-4=0表示的曲线是( )
A.一个椭圆和一条直线
B.一个椭圆和一条射线
C.一条直线
D.一个椭圆
3.(多选)(2021湖南岳阳一中期末)已知曲线C:x|x|-y|y|=1,则下列结论正确的是( )
A.曲线C与直线y=x没有交点
B.曲线C与x轴的交点为(1,0),(-1,0)
C.A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上任意两点,若x1D.若点P(x,y)是曲线C上任意一点,则|x-y|≤2
4.已知P(x,y)满足(1+x)2+y2=|x+y-1|,则点P的轨迹为 .
题组二求曲线的方程
5.(2022山西汾阳期末)已知A(2,1),B(2,-1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足OP=mOA+nOB,其中m,n∈R,且m2+n2=12,则动点P的轨迹方程是( )
A.x2+y24=1 B.x24+y2=1
C.x2-y24=1 D.x24-y2=1
6.设A,B分别是直线y=2x和y=-2x上的动点,且满足|AB|=4,则AB的中点M的轨迹方程为( )
A.x2+y216=1 B.y2+x216=1
C.x2-y216=1 D.y2-x216=1
7.已知椭圆x23+y22=1,作垂直于x轴的直线l交椭圆于A,B两点,作垂直于y轴的直线m交椭圆于C,D两点,且|AB|=|CD|,直线l与直线m交于P点,则点P的轨迹方程为 .
8.如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,则动圆P的圆心P的轨迹方程为 .
题组三曲线与方程的综合应用
9.(2022湖南湘潭一中期中)若直线l:kx-y-2=0与曲线C:1-(y-1)2=x-1有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.43,2 B.43,4
C.-2,-43∪43,2 D.43,+∞
10.(2020湖南岳阳期末)在平面直角坐标系中,定义两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上的两个不同定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )
11.(多选)(2022湖南雅礼中学月考)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则下列说法正确的是( )
A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线
B.当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)
C.当m=-1时,点C在圆x2+y2=25[除去点(5,0),(-5,0)]上运动
D.当m<-1时,点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
12.已知曲线C1:|x|a+|y|b=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为45,曲线C1的内切圆的半径为253,记C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设AB是过椭圆C2中心的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上异于椭圆中心的点,|MO|=λ|OA|(O为坐标原点,λ≠0),当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程.
13.(2021湖南永州期末)已知点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l:x=4距离的比值为12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为C,过F的直线l与曲线C交于点M,N,与抛物线y2=4x交于点A,B,设D(-1,0),记△DMN与△DAB的面积分别是S1,S2,求S2S1的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 因为点M(x0,y0)不在直线l上,所以f(x0,y0)是不为0的常数,所以方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的是过点M(x0,y0)且与直线l平行的一条直线.故选C.
2.C 原方程可化为x2+3y2-3=0(x≥4)或x-4=0,即x23+y2=1(x≥4)或x=4,因为当x≥4时,x23+y2=1不成立,所以x=4,所以方程(x2+3y2-3)x-4=0表示的曲线是直线x=4,故选C.
3.ACD 由x|x|-y|y|=1,知曲线C的方程由x2-y2=1(x≥0,y≥0),x2+y2=1(x>0,y<0),y2-x2=1(x<0,y<0)三部分组成,如图所示,两边为双曲线的一部分,中间为圆的一部分,且双曲线的渐近线为直线y=x,所以曲线C与直线y=x没有交点,故A正确;易知曲线C与x轴的交点为(1,0),故B错误;由图可知曲线的方程所对应的函数单调递增,所以若x14.答案双曲线
解析由(1+x)2+y2=|x+y-1|得[x-(-1)]2+y2|x+y-1|2=2,其几何意义可看成动点P(x,y)到定点(-1,0)的距离与到定直线x+y-1=0的距离之比为2,由2>1,结合圆锥曲线的统一定义可知,轨迹为双曲线.
5.B 由题意得(x,y)=(2m+2n,m-n),
∴x=2m+2n,y=m-n,∴m=x+2y4,n=x-2y4,∵m2+n2=12,∴x+2y42+x-2y42=12,即x24+y2=1.
6.A 设A(x1,2x1),B(x2,-2x2),M(x,y),
则Mx1+x22,x1-x2,故x=x1+x22,y=x1-x2,又因为|AB|2=(x1-x2)2+(2x1+2x2)2=16,所以y2+(4x)2=16,即x2+y216=1,所以点M的轨迹方程为x2+y216=1.
7.答案 y223-x232=1(-3解析设直线l的方程为x=p(-3C-31-q22,q,D31-q23,q,所以|AB|=221-p23,|CD|=231-q22,因为|AB|=|CD|,所以221-p23=231-q22,所以q223-p232=1(-38.答案 x2-y23=1(x≤-1)
解析由已知,得圆E的半径为2,|EF|=4,P,E,M三点共线,设圆P的半径为R,
则|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2,
易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,
由题意得a=1,c=2,所以b=3,
故所求轨迹方程为x2-y23=1(x≤-1).
易错警示
求轨迹方程时要注意“补点”和“去点”.“补点”是指求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件进行补充;“去点”是指求轨迹方程时,有些方程会因整理、变形而产生不合题意的点,应去掉.
9.A 直线l:kx-y-2=0恒过定点(0,-2),曲线C:1-(y-1)2=x-1表示以点(1,1)为圆心,1为半径,且位于直线x=1右侧的半圆[包括点(1,2),(1,0)].如图,当直线l 经过点(1,0)时,l 与曲线C有两个交点,此时k=2,直线记为l1;当l 与半圆相切时,由|k-3|k2+1=1,得k=43,切线记为l2.分析可知当4310.A 设F1(-c,0),F2(c,0),c>0,动点M(x,y)到定点F1,F2的“L-距离”之和为定值m(m>2c),则有|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.当x<-c,y≥0时,方程可化为x-y+m2=0;当x<-c,y<0时,方程可化为x+y+m2=0;当-c≤x11.BC 设C(x,y)(y≠0),则yx+5·yx-5=m⇒x225-y225m=1(y≠0).当m>0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点),A错误,B正确;
当m=-1时,方程为x2+y2=25(y≠0),则点C在圆x2+y2=25[除去点(5,0),(-5,0)]上运动,C正确;当m<-1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆(不含左、右顶点),则离心率e=1-25-25m=1+1m,此时e随着m的增大而减小,D错误.故选BC.
12.解析 (1)由题意得2ab=45,aba2+b2=253,
所以a2=5,b2=4,所以C2的标准方程为x25+y24=1.
(2)设A(xA,yA),当AB所在直线的斜率存在且不为0时,设AB所在直线的方程为y=kx(k≠0),
由x25+y24=1,y=kx,得xA2=204+5k2,yA2=20k24+5k2,
所以|OA|2=xA2+yA2=20(1+k2)4+5k2,
设M(x,y),由题意得|MO|2=λ2|OA|2(λ≠0),
即x2+y2=λ2·20(1+k2)4+5k2,
又因为直线l的方程为y=-1kx,即k=-xy,
所以x2+y2=λ2·201+x2y24+5·x2y2=λ2·20(x2+y2)4y2+5x2,
又因为x2+y2≠0,所以x24+y25=λ2.易得当AB所在直线的斜率不存在或为0时,上式仍然成立.综上所述,点M的轨迹方程为x24+y25=λ2(λ≠0).
13.解析 (1)依题意有(x-1)2+y2|4-x|=12,
化简得3x2+4y2=12,即x24+y23=1,故点P的轨迹方程为x24+y23=1.
(2)依题意有S2S1=|AB||MN|.
①当l不垂直于x轴时,设l的方程是y=k(x-1)(k≠0).
联立y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,
则|AB|=x1+x2+2=4(k2+1)k2.
联立y=k(x-1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),
则x3+x4=8k23+4k2,x3x4=4k2-123+4k2,
则|MN|=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=12(1+k2)3+4k2,
则S2S1=|AB||MN|=3+4k23k2=43+1k2∈43,+∞.
②当l垂直于x轴时,易知|AB|=4,|MN|=2b2a=3,
此时S2S1=|AB||MN|=43.
综上,S2S1的取值范围是43,+∞.

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